PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 04 tháng năm 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x x 14 x 24 b) x 2018x 2017 x 2018 2) Cho x + y =1 xy Chứng minh : 2 x y x y 2 0 y 1 x 1 x y 3 Bài (3,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : y xy 3x b) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn x y2 cho tích x.y đạt giá trị lớn x2 Bài (3,0 điểm) a) Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia cho x-2 dư 24, chia cho x thương -5x dư b) Cho p 2p+1 số nguyên tố lớn Chứng minh 4p+1 hợp số Bài (8,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A (AB < AC) có AD tia phân giác góc BAC Gọi M N hình chiếu D AB AC, E giao điểm BN DM, F giao điểm CM DN 1) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF // BC 2) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA H trực tâm AEF 3) Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, giao điểm BK AD I Chứng minh BI AO DM 9 KI KO KM Bài (2,0 điểm) a) Cho x > 0, y > m, n hai số thực Chứng minh rằng: m n (m n) x y xy b) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn a.b.c = Chứng minh rằng: 1 a (b c) b (c a) c (a b) -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 -2018 * MƠN TỐN LỚP Đáp án 1) (2đ) a) x x 14 x 24 Bài x x x x 12 x 24 x2 x 2 x x 12 x Điểm 0,25 x x x 12 0,25 x x 3 x 0,25 x 2018x 2017 x 2018 b) 0,25 x4 2017 x2 x2 2017 x 2017 x x 2017 x x x2 x 1 x x 1 2017 x x 1 x x 1 x x 2018 0,25 0,25 0,25 0,25 (2đ)Cho x + y =1 xy CMR : 2) 2 x y x y 2 0 y 1 x 1 x y Với x + y =1 xy ta có : Bài (4đ) x y x4 x y y y x3 y 1 x3 1 x y x y xy x x 1 y y 1 x y x y x y 1 xy x y xy x y x y xy x y x x y y 4 2 2 Bài (3đ) 0,25 xy x y x y 2 x y x x 1 y y 1 xy x y 3 x y x y y x x y 2 xy 2 x y x2 y xy x y 3 0,25 2 0,25 xy x y 3 0,25 0,25 0,25 0,25 KL : a) (1,5đ)Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : y xy 3x 0,25 y xy 3x x2 xy y x 3x 0,25 x y x 1 x * 0,25 VT * số phương , VP * tích số nguyên liên tiếp nên phải có 0,5 số x 1 x 1 x x 2 Với x = -1 suy y = Với x = -2 suy y = KL : 0,25 0,25 b) (1,5đ)Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn : x y cho x2 tích x.y đạt giá trị lớn Đk : x y2 y 2x x x xy xy x x 2 1 y x x xy x 2 0,25 1 y Vì x 0; x với x 0, mọiy x 2 Do xy mà x, y Z x 1, y x 2, y Dấu xảy : x 1, y 2 x 2, y 1 KL a) (1,5đ)Tìm đa thức f(x) , biết f(x) chia cho x+2 dư 10, chia x-2 dư 24, chia x thương -5x dư Giả sử f(x) chia cho x thương 5x dư ax+b Khi f(x) = x 5x xa b 2a b 24 f 24 a f 2 10 2a b 10 b 17 Do f (x) x 5 x x 17 47 Vậy f (x) 5 x x 17 Theo đề ta có : Bài (3đ) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 b) (1,5đ)Cho p 2p+1 số nguyên tố lớn CMR 4p+1 hợp số Do p số nguyên tố lớn nên có dạng p 3k , p 3k với k>1 + Nếu p = 3k+1 2p+1=6k+3=3(2k+1) Suy 2p+1 hợp số (vơ lí ) + Nếu p = 3k-1 , k>1 4p+1=12k-3=3(4k-1) Do k > nên 4k-1 > Do 4p+1 hợp số KL 0,25 0,5 0,5 0,25 Bài4 (8 đ) * Chứng minh tứ giác AMDN hình vuông + Chứng minh AMD = 900; AND = 900; MAN = 900 Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật + Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vuông * Chứng minh EF // BC Cách 1: FM DB (1) FC DC DB M B + Chứng minh (2) DC M A + Chứng minh + Chứng minh AM = DN MB MB (3) MA DN M B EM + Chứng minh (4) DN ED EM FM + Từ (1), (2), (3), (4) suy ED FC + Suy EF // BC Cách 2: FM NA FC NC EM BE + Chứng minh NA BN ED BE + Chứng minh NC BN EM + Từ (2) (3) suy NA EM NA + Suy (4) ED NC 0,25 0,25 0,25 0,25 + Suy Câu 1) 2,25 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Chứng minh (1) 0,25 (2) 0,25 (3) 0,25 ED NC 0,25 0,25 + Từ (1) (4) suy EM FM ED FC 0,25 + Suy EF // BC * Chứng minh ANB ~ NFA + Chứng minh AN = DN Suy 0,25 AN DN (5) AB AB DN CN (6) AB CA CN FN + Chứng minh (7) CA AM + Chứng minh Câu 2) 2,75 đ FN FN (8) AM AN AN FN + Từ (5), (6), (7) (8) suy AB AN + Chứng minh AM = AN Suy + Chứng minh ANB ~ NFA (c.g.c) * Chứng minh H trực tâm tam giác AEF Vì ANB ~ NFA nên NBA = FAN mà BAF + FAN = 900 Suy NBA + BAF = 900 Suy EH AF Tương tự FH AE Suy H trực tâm AEF Chứng minh 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 BI AO DM 9 KI KO KM Vì H trực tâm AEF nên AH EF mà EF // BC nên AO BC Lại có DM AB nên K trực tâm ABD Suy BI AD I 1 BI AD AO BD DM AB BI AO DM 2 Ta có 1 KI KO KM KI AD KO BD KM AB 2 S S S = ABD ABD ABD SAKD SBDK SAKB 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt SAKD = a; SBKD = b; SAKB = c Khi Câu 3) 2,5 đ SABD SABD SABD a b c a b c a b c = SAKD SBDK SAKB a b c b a a c b c = 3 ( ) ( ) ( ) a b c a c b b a Chứng minh: a b a c Tương tự : 2 c a b c 2 c b BI AO DM Suy : 9 KI KO KM Dấu "=" xảy ABD tam giác Suy trái với giả thiết 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy Bài (2đ) 5.a 0,25 đ BI AO DM 9 KI KO MK 0,25 Với x > 0, y > m, n R ta có: m n (m n) (1) x y xy (m2y + n2x)(x + y) ≥ xy (m + n)2 (nx - my)2 ≥ 5.b 1,75 đ 0,25 Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có m2 n p (m n)2 p (m n p)2 (2) x y z xy z xyz 0,25 1 2 1 a b c Ta có: a (b c) b (c a) c (a b) ab ac bc ab ac bc 0,25 Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có 2 1 1 1 1 1 2 a b c a b c (Vì abc = 1) a b c ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 2 a b c Hay 1 2 11 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 b c Mà nên a ab ac bc ab ac bc a b c Do 1 a (b c) b (c a) c (a b) 0,25 0,25 0,5 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 -2 0 18 * MƠN TỐN LỚP Đáp án 1) (2đ) a) x x 14 x 24 Bài x x x x 12 x 24 ... 2p+1=6k+3=3(2k+1) Suy 2p+1 hợp số (vơ lí ) + Nếu p = 3k-1 , k>1 4p+1=12k-3=3(4k-1) Do k > nên 4k-1 > Do 4p+1 hợp số KL 0,25 0,5 0,5 0,25 Bài4 (8 đ) * Chứng minh tứ giác AMDN hình vng + Chứng minh... AE Suy H trực tâm AEF Chứng minh 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 BI AO DM 9 KI KO KM Vì H trực tâm AEF nên AH EF mà EF // BC nên AO BC Lại có DM AB nên K trực tâm