Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán 9 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Thanh Ba

PHÒNG GD & ĐT THANH BA ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN NĂM HỌC 2017-2018 (Thời gian làm 120 phút) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu 1: Với x  1, giá trị rút gọn biểu thức: A = x  2x  - x  2x  là: A B 2x  C D 3 Câu 2: x0 = 20  14 + 20  14 nghiệm phương trình nào: A x3 - 3x2 + x - 20 = B x3 + 3x2 - x - 20 = C x2 + 5x + = D x2 - 3x - = Câu Tính giá trị biểu thức M = x3 – 6x với x = 20 + 14 + 20 - 14 A M = 50 B M = 80 C M = 10 D M = 40 Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khoảng cách hai điểm A(-2; 1) B(4;9) là: A 68 B 10 C 104 D Đáp án khác Câu 5: Biết phương trình 3x - 4x + mx = (m tham số) có nghiệm nguyên dương bé Khi giá trị m là: A - B C - D Câu 6: Đường thẳng (d) cho y = - 3x – 4, đường thẳng đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng y = x là: A y = 1 x3 B y = 1 x+ 3 C y = 3x + D y = 3x - Câu 7: Hệ phương trình vơ nghiệm : x  y  A   x  y  x  y  B   x  y  2 x  y   x  y  C  D   x   x    x  y  2 Câu Cho hai hàm số: y  x   2m (d) y   x  2m (d’) với m tham số Điều kiện để đồ thị (d) (d’) hai hàm số cắt điểm có hồnh độ dương là: A m   B m  C m  D m  Câu Cho tam giác ABC, AB = 4,8cm, BC = 3,6cm, AC = 6,4cm E thuộc AC cho AE = 2,4cm, D thuộc AB cho AD = 3,2cm Độ dài DE là: A 3,6cm B 2cm C 1,8cm D 1,5cm Câu 10 Cho tam giác ABC nhọn đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi M, N, P đối xứng H qua BC, AC, AB ( H trực tâm tam giác ABC) Giá trị AM BN CP là:   AA ' BB' CC ' A 3,5 B C D Câu 11 Cho Tam giác ABC vng A có AC = 8, AB = 192 , AH vng góc với BC (H thuộc BC) Độ dài AH là: A 24 B 48 C 12 D 4,5 Câu 11: Cho  ABC cân A, biết bán kính đường trịn nội tiếp 6, bán kính đường trịn ngoại tiếp 12,5 độ dài cạnh là: A AB = AC = 24 ; BC = 20 B AB = AC = 20 ; BC = 24 C AB = AC = 21 ; BC = 21 D AB = AC = 21 ; BC = 21 Câu 12: Cho  ABC cân A Có đường cao BH = a , ABC  m Độ dài đường cao AK là: a a A AK = B AK = C AK = 2a.sin m D AK = 2a.co s m 2sin m 2cos m Câu 13: Cho  MNP tam giác có cạnh 5cm Khi độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác là: A cm B cm C cm D cm Câu 14 Tam giác ABC có độ dài cạnh AB, BC, AC ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Độ dài HM bằng: A 2,4 B 2,8 C 1,4 D Câu 15 Cho đường trịn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt Ax C độ dài OC là: A 20cm B 25cm C 30cm D 35cm Câu 16: Nhân dịp tết siêu thị điện máy có khuyến mại hóa đơn tính tiền Nếu hóa đơn trị giá từ triệu giảm 5%, từ 12 triệu giảm 15% Bác Hoa mua quạt máy giá 2,2 triệu, máy lạnh giá 11triệu, nồi cơm điện giá 1,5 triệu siêu thị theo giá niêm yết Hỏi bác Hoa trả tiền sau giảm giá? A 11,87025 triệu B 11,76 triệu C 12,495 triệu D13,965 triệu  Câu 17: Với x  A: 32017 52  17  38  14  B: Giá trị biểu thức B   3x3  8x   C: 22017 2017 D:-1 Câu18: Cho số x, y, z thỏa mãn  x  y  z   x3  y  z Giá trị biểu thức P   x 2013  y 2013  y 2015  z 2015  z 2017  x2017  là: A:0 B: C:6 D: a  b  c  Câu 19: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn  2 a  b  c  12 2017 2017 2017 Giá trị biểu thức P   a  3   b  3   c  3 A: B: Câu 20: C: b Cho  1  B  b4  b3  b2  3b   11 D: -3 Giá  trị biểu thức 1 1  32 A: 2016 B: 2017 C: 32 D: -32 Câu 21: Cho số x, y, z thỏa mãn x  y  z  GTNN M  x2  xy  y  y  yz  z  z  zx  x2 là: A: B: 2017 C: D: Câu 22: Nếu a, b, c số hữu tỉ ab  bc  ac  1  a 1  b2 1  c2  bình phương số hữu tỉ 2 A:  a  1 b  1 c  1 B:  ac  ab  bc  C:  a  c  a  b  b  c  D: 52 Câu 23: số 13n  số phương A: n = 22; n=1 B: n  13m2  8m  1 m   C: n  13m2  8m  1 m   D: n = 6; n = Câu 24 Biết ax  by  cz  a  b  c  M ax  by  cz bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  2 Giá trị 2018 là: A:2017 B:2016 C:2018 D:2015 Câu 25: Hình thang cân ABCD ( AB CD) cóđáy lớn CD= 10 cm, đáy nhỏ băng đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Khi đường cao hình thang có độ dài : A: cm B: cm C: cm D: cm Câu 26: Diện tích tam giác vng có chu vi 72cm, hiệu đường cao đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 7cm là: A: 125 cm2 B: 96 cm2 C: 144 cm2 D: 120 cm2 Câu 27: Cho hình vng ABCD có cạnh 1dm canh tam giác AEF với E thuộc CD, F thuộc BC là: A: 11  B:  C:  D:  Câu 28: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, x độ dài đường phân giác tương ứngthì A: 1 1 1      x y z a b c x y z a b D: 2(   )    B: 1 1 1      x y z a b c C: 1 1 1    2(   ) x y z a b c c Câu 29: Cho  ABC, I giao điểm đường phân giác , G trọng tâm  ABC, biết AB = 6cm, AC = 12 cm, BC = cm A: B: 1,5 AI =? IN C: D: Câu 30: Cho ABC hình bình hành AEDF có E  AB; D  BC, F  AC Tính diện tích hình bình hành biết : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2 A: 11 B: 11,5 C:12 D: 22 Câu 31: Cho x1, x2 nghiệm phương trình x - 2(m-1)x-1=0 (1) Phương trình có nghiệm 1 2 x1 x2 A: x2 – 17mx +70 =0 B: x2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + =0 C: x2 - (2m2 - 4m + 3)x + = D: x2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + = Câu 32: Cho phương trình x2 - (m+1)x+m=0 (1) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1) A = x12x2 + x1x22 + 2007 đạt giá trị nhỏ là: A: 2007 B: 2006 C: 2007 D: 2006 Câu 33 Cho đường trịn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O 3dm Độ dài dây dài qua M A: B: C: D: Câu 34 Trên đường tròn (O), lấy ba cung liên tiếp AB, BC, CD có số đo tỉ lệ với 3; 2; số đo cung DA 900 Tiếp tuyến C D (O) cắt P Số đo góc CPD bằng: A: 300 B: 600 C: 500 D: 200 Câu 35: Một lão nông dân chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đát hình chữ nhật có chu vi 800 m Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn A: 200m  200m B: 300m 100m C: 250m 150m D: Đáp án khác II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (4 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x thì: P x  1985 x3 x2 x  1979  có 3 giá trị số nguyên b) Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 Câu (3 điểm) a) Giải phương trình x2  x   2 x2  x  2 x  xy  x  y   b Giải hệ phương trình:  2  4 x  y  x  Câu (3,5 điểm) Cho  ABC có diện tích S Một đường thẳng xy chuyển động qua điểm A.Gọi E, F hình chiếu B C xy a) Trong trường hợp BC cắt xy điểm G, chứng minh rằng: AG(BE + CF) = 2S b) Đường thẳng xy phải vị trí để tổng BE + CF có giá trị nhỏ xác định giá trị Câu (1,5 điểm) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x y z   1 x  3x  yz y  y  zx z  3z  xy - HẾT -Họ tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH BA HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) 10 Câu Đáp C A,D D D B,C A B,C B C D án Câu 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Đáp D A D A C C B C B C án Câu 33 34 35 Đáp A B A án 11 12 13 14 15 16 B B C D B 27 28 29 30 31 32 C B C B D II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (4 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x thì: P x  1985 x3 x2 x  1979  có giá trị 3 số nguyên b) Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Ta có: x3 x2 x P x   1985  1979  3 3970 x  3958 x  x x3  3x  x P x    661x3  659 x  x  6 0,5 điểm Ta có: x3  3x  x x3  x  3x3  3x  x  1 x  x  1  3x  x  1   6 x  3x  x Vì  x  1 x  x  1 6,3x  x  1  x3 x2 x Vậy P x  1985  1979  có giá trị số nguyên 3 0,5 điểm điểm A D b) Nếu n  3k  1 k   n   3k  , khơng số phương (loại) - Nếu n  3k   k   2n   6k   3k  2k  1  , không số phương(loại) Vậy n  3k  k   , n (1) Chứng minh n chia hết cho Vì 2n  số phương lẻ nên chia dư 1, nên 2n chia hết cho 8, n chia hết cho 4, n + số phương lẻ nên chia dư 1, n chia hết cho 8.(2) Từ (1) (2) suy n chia hết cho 3, mà  3,8  nên n 24 điểm điểm Câu (3 điểm) a) Giải phương trình  x3  (1  x )3  x  x  2 x  xy  x  y   b) Giải hệ phương trình:  2  4 x  y  x  a) điều kiện: 1  x2    1  x  0,25 điểm Đặt a  x; b   x2  a  b2  Phương trình cho tương đương với a  b3  ab  a  b3   a  b ab   a  b3    a  b   ab    a  b   a  b  ab    a  b   ab  2 0,5 điểm 2 a  b2 ;  a  b  ab   ab 2 a  b2  4ab .ab ta có:  a  b   4ab;  a  b2  ab   a  b a  b  ab     a  b  a  b  ab     a  b  ab  a  b  x   x2 Dấu xảy  x   x    x    0,75 điểm  x  Vậy nghiệm phương trình là:   x    2 Từ PT x  xy  5x  y    (2x – 5x + 2) + (2xy – y) =  (2x – 1)(x – 2) + y(2x – 1) = 2 x    (2x – 1)(x + y – 2) =   x  y   2 x   Giải hệ  1 ta (x;y) =  ;1,  ;1 2  2 4 x  y  x  x  y   Giải hệ  2 suy hệ vô nghiệm 4 x  y  x  2 0.5điểm 0,5 điểm  0,5 điểm   Vậy tập nghiệm hệ S =  ;1,  ;1    0,5 điểm  Câu (3,5 điểm) Cho  ABC có diện tích S Một đường thẳng xy chuyển động qua điểm A.Gọi E, F hình chiếu B C xy a) Trong trường hợp BC cắt xy điểm G, chứng minh rằng: AG(BE + CF) = 2S b) Đường thẳng xy phải vị trí để tổng BE + CF có giá trị nhỏ xác định giá trị a) Ta có: SABC = S = SABG + SACG =  2S  AG( BE  CF ) ( ĐPCM) 2.0 1 BE AG  CF AG 2 A D A F K 0,75 E E G B C B C F 2.0 b) +) Nếu xy cắt cạnh BC điểm G Ta có: 2S = AG(BE+CF) => BE + CF = 2S AG Bởi 2S khơng thay đổi nên ( BE + CF ) nhỏ AG đạt giá trị Max Vậy AG lớn AG độ dài lớn cạnh 1,25 Nếu AC  AB AG =AC max AG = AC min(BE+CF) = hb Nếu AC  AB max AG = AB min(BE+CF) = hc Khi xy qua cạnh lớn cạnh AB; AC +) Nếu xy không cắt BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AB = AD Xét tam giácACD đường thẳng xy cắt cạnh CD Vẽ DK  xy theo trường hợp có: min(CF+DK) = hc min(CF+DK) = hd ta có: ABE  ADK  BE  DK ; tương tự có hd = hb  min(CF+DK) = min(BE+CF) = hb AC  AB  min(CF+DK) = min(BE+CF) = hc AC  AB Khi xy qua cạnh lớn cạnh AB; AC Câu (1,5 điểm) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: 1,25 2.0 x y z   1 x  3x  yz y  y  zx z  3z  xy Từ  x  yz    x  yz  x yz (*) Dấu “=”  x2  yz 0.25 Chỉ : 3x  yz  ( x  y  z) x  yz  x2  yz  x( y  z )  2x yz  x( y  z ) 0.5 Suy : 3x  yz  x yz  x( y  z )  x ( y  z ) ( Áp dụng (*)) x  3x  yz  x ( x  y  z )  y z z (3)  x y z z  3z  xy x y z x y z Từ (1), (2) (3)    1 x  3x  yz y  y  xz z  3z  xy Tương tự : y  y  y  xz x x (1)  x  3x  yz ( x  y  z ) (2); Dấu “=” xảy x = y = z = Hết / 0.25 0.25 0.25 ... -Họ tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH BA HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 201 7-2 018 MƠN TỐN... P x  198 5 x3 x2 x  197 9  có giá trị 3 số nguyên b) Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Ta có: x3 x2 x P x   198 5  197 9  3 397 0 x  395 8 x  x... x - 2(m-1)x-1=0 (1) Phương trình có nghiệm 1 2 x1 x2 A: x2 – 17mx +70 =0 B: x2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + =0 C: x2 - (2m2 - 4m + 3)x + = D: x2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + = Câu 32: Cho phương trình x2 -