Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ 20 đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 có đáp án - Trường THCS Nguyễn Thái Bình được chia sẻ dưới đây hi vọng sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 8 ôn tập, hệ thống kiến thức Toán học nhằm chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi sắp diễn ra, đồng thời giúp bạn nâng cao kỹ năng giải đề thi nhanh và chính xác để đạt kết quả cao trong kì thi. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - BỘ 20 ĐỀ ƠN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (CĨ ĐÁP ÁN) TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 1) Câu 1: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 a b c d 2 abc bcd cd a d ab Câu 2: Cho a , b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư ? Câu 3: Cho a b c p Chứng minh : 2bc b2 c2 a2 p p a Câu 4: Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an Đặt S a13 a23 a33 an3 P a1 a2 a3 an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho Câu 5: a) Cho x, y > Chứng minh 1 xy x y 2 x y x y b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh Câu 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A 1 16 ac bc x2 x x2 Câu 7: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’ Câu 8: Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vng góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’ Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác HA ' HB ' HC ' 1; AA' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' 9; b) Chứng minh: HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E ………… HẾT………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 2) Câu 1: a) Chứng minh rằng: 2130 3921 chia hết cho 45 b) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: 5n 26.5n 82 n 1 59 Câu 2: Cho biểu thức M x5 x x3 x 3x x2 x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị số nguyên x3 x x 2x 1 Câu 4: Cho biểu thức M x a x b x b x c x c x a x 1 Tính M theo a, b, c biết x a b c 2 A Câu 5: Giải phương trình: x x 2016 x 3x 1000 x x 2016 x 3x 1000 2 Câu 6: Tìm giá trị biến x để: a) P x2 x b) Q đạt giá trị lớn nhất x2 x x2 x đạt giá trị nhỏ nhất Câu 7: Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a) Chứng minh DE = CF; DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD, N trung điểm BH a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; b) Tính góc BMK Câu 9: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F.Chứng minh S DEF S ABC Với vị trí hai điểm E F SDEF đạt giá trị lớn nhất? Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân; b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm ……………HẾT ………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN ( ĐỀ 3) x 12 x2 x x2 x Câu 1: Cho biểu thức R : x3 x 1 x3 x 3x x 1 a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức R xác định; b) Tìm giá trị x để giá trị R 0; c) Tìm giá trị x để R Câu 2: Chứng minh: a) A 210 211 212 chia hết cho b) B 6n 1 n 5 3n 5 2n 1 chia hết cho 2, với n Z c) C 5n3 15n 10n chia hết cho 30, với n Z d) Nếu a x yz; b y xz; c z xy D ax by cz chia hết cho a b c e) E x x3 x 12 x bình phương số nguyên, với x Z 2018 2018 f) F x x 1 x x 1 chia hết cho x 1 g) G x8 n x n chia hết cho x n x n , với n N Câu 3: a) Tìm GTLN A x x b) Tìm GTNN biểu thức B 9x , với x 2 x x Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE // BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC, A 900 Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD CM , BD cắt CA E Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE CA.CE BC c) ADE 450 Câu 6: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F.Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi; b) AKF CAF , AF FK FC ; c) Khi E thay đổi BC, chứng minh: EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE cắt K Chứng minh rằng: BKC BAC BDC ………… HẾT………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) a bc a c b bc a c b a b c a Tính giá trị biểu thức: P 1 1 1 a b c Câu 1: Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn đẳng thức: Câu 2: Cho a1 , a2 , a3 , , a2018 2018 số thực thoả mãn ak 2k k k , với k 1, 2,3, , 2018 Tính S2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 Câu 3: a) Biết a 7 5a b 3b 2a , b 2a b Tính giá trị biểu thức P 3a 2b b) Biết b 3a 6a 15ab 5b Tính giá trị biểu thức Q 2a b 5b a 3a b 3a b Câu 4: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta có bất đẳng thức sau: x2 y z t x y z t Dấu đẳng thức xảy nào? b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: x4 y xy3 x3 y Câu 5: Rút gọn: a) M 90.10k 10k 2 10k 1 , k N ; b) N 202 182 22 192 17 12 Câu 6: Tính giá trị biểu thức P x15 2018 x14 2018 x13 2018 x12 2018 x 2018 x 2018 , với x 2017 Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Cmr: MA MB ; ND NC c) MA MB, NC ND a) b) MA MB NC ND Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự E F Tính độ dài EF, biết DE = 10 Câu 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I điểm bất kỳ cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K Đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D, E Chứng minh DE =BK Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm CD,CB Gọi O giao điểm AE DF ; OA = 4OE; OD OF Chứng minh ABCD hình bình hành ………… HẾT………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 5) Câu 1: Tìm x, y biết : a) x2 x y y b) x y x xy y x y x xy y 16 c) x 1 y2 x y Câu 2: Giải biện luận nghiệm phương trình m2 x x m theo m Câu 3: Giải phương trình: a) x x x 10 72 x2 x2 x2 b) Giải phương trình: 25 20 0 x 1 x 1 x 1 Câu 4: Giải phương trình: x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x 99 98 97 96 95 94 2 x 1 x x 1 b) 2017 2018 2019 Câu 5: a) So sánh hai số A 332 B 1 32 1 34 1 38 1 316 1 a) 20192 20182 2019 2018 D 2019 2018 20192 20182 Câu 6: Cho x, y hai số khác nhau, biết x2 y y x Tính giá trị biểu thức A x2 xy y 3x y b) C Câu 7: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Cmr: IA KB ID KC Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với hai cạnh Chúng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự H, K Cmr: a)Tổng AH AK không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC AB AC b)Xét trường hợp tương tự M chạy đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a, M điểm bất kỳ tam giác ABC Chứng minh rằng: MA MB MC a Câu 10: Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Cmr: a) Tứ giác ANFM hình vng; b) Điểm F nằm tia phân giác MCN ACF 900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) …………… HẾT.………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) Câu 1: Cho a b c Chứng minh rằng: a3 b3 a 2c b 2c abc Câu 2: Cho x2 y z 10 Tính giá trị biểu thức: P xy yz zx x yz y xz z xy 2 2 Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x5 x ; b) x5 x c) x8 x ; d) x8 x Câu 4: Chứng minh ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 1 1 a b c 2018 ba số a, b, c phải có số 2018 Câu 5: Giải phương trình sau: b2 x2 ( Phương trình ẩn x ) a b2 x x b2 1 10 b) x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 a) x a x 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 c) 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2 19 49 Câu 6: a) Cmr : x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 b) Cho số dương a b thỏa mãn điều kiện a b Cmr : 1 1 a b Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D cạnh BC cho BD = 2DC Cmr: BM vng góc với AD Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh : AE = AB ; b) Gọi M trung điểm BE Tính AHM Câu 9:Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh: BD.CE.BC AH ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vng cân Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, cạnh BH lấy điểm M đoạn CH lấy điểm N cho AMC ANB 900 Chứng minh rằng: AM = AN …………… HẾT ………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 7) Câu 1: Chứng minh rằng: a) Đa thức M x95 x94 x93 x x chia hết cho đa thức N x31 x30 x 29 x x b) Đa thức P x 1985 x3 x2 x 1979 có giá trị nguyên với x số nguyên Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A x3 y3 z kxyz chia hết cho đa thức x y z b) Tìm đa thức bậc ba P x , biết chia P x cho x 1 , cho x 2 , cho x 3 dư P 1 18 Câu 3: Cho biểu P x2 x x 1 x2 : x2 x x x 1 x2 x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất P x Câu 4: Rút gọn phân thức: a) A x3 y z 3xyz x y y z z x 2 ; b) x B y y z z x2 3 x y y z z x 3 Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x y3 a y x3 x y a3 Câu 6: Chứng minh rằng: a b2 c c b a a) b c a b a c b) x x x x Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD ACF vuông cân B C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Cmr: a) AH =AK ; b) AH BH CK Câu 8: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh BC, AC theo thứ tự D E cắt cạnh BA F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F song song với BC cắt AH I Cmr: FI = DC Câu 9: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD đường trung tuyến AM Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vng góc với AC Gọi N giao điểm HK AM Cmr : NI vng góc với BC Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt cạnh AB, AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Cmr: HM vuông góc với PQ …………… HẾT…………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 8) Câu 1: Chứng tỏ đa thức: A x 1 x 1 21 x 1 x 31 không âm với giá trị biến x Câu 2: a) Rút gọn phân thức: A x 40 x30 x 20 x10 x 45 x 40 x35 x5 b) Rút gọn phân thức: B x24 x20 x16 x4 x26 x24 x22 x2 1 1 Câu 3: Cho số a, b, c khác 0, thoả mãn a b c a b c Tính giá trị biểu thức a 23 b 23 a5 b5 a 2019 b 2019 Câu 4: Giải phương trình sau: 2017 2016 1 1 2017 1 a) ; b) x 2018 2016 2017 10 x x 1 2019 2 1.2 2.3 3.4 98.99 x 2018 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x c) d) 5 ; 41 43 45 47 49 323400 1 1 e) x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Câu 5: Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y y z z x 8xyz Chứng minh rằng: x y z Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a 2b 4ab a 2c ac 4b 2c 2bc 4abc Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi E điểm bất kỳ thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Cmr: MN tia phân giác góc KNE Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC M cắt cạnh đáy AB K Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD I cắt cạnh AB F Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC P Cmr: a) MP / / AB b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng c) DC AB.MI Câu 9: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt đường thẳng BC, DC theo thứ tự K, G CMR: a) AE EK EG ; b) 1 AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi Câu 10: Cho tam giác ABC đều, điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho AD = BE Gọi M điểm bất kì thuộc cạnh BC Vẽ MH // CD, MK //BE (H AB; K AC) Cmr: Khi M chuyển động cạnh BC tổng MH + MK có giá trị không đổi …………… HẾT .…………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 9) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: 2 a) a b c a b c 4b ; b) a b c b c a c a b c) a b2 c a b2 c 3 Câu 2: Thực phép tính: a) A 2.36 36 53 23.36 23.53 93 125 183 103 b) B x3 y xy xy x3 y3 x2 y xy x y Câu 3: Cho a2 b2 c2 a b c Chứng minh rằng: 0 bc ca ab bc ca ab Câu 4: Chứng minh 1 1 1 a b c abc a b c a b c Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số ngun dương liên tiếp, biết tích chúng 120 4 b) a b 4ab Câu 6: Cmr: a) a b c a b c Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a) Chứng minh: tam giác ADI cân b) Chứng minh: AD.BD BI DC c) Từ D kẻ DK vng góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều ấy Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số Cmr: AE = DF; AE DF Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, AB CD Gọi E,F theo thứ tự trung điểm AB,CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Tính diện tích tứ giác EMFN theo S Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Điểm N cạnh CD cho CN =2 ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Cmr: S APQ S AMN ………… HẾT………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 10 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -OQ OP OC OD PQ // CD (định lý Talet đảo) Câu a) Chứng minh ∆ BFC (đpcm) ∆ AFD BC EB Vì BC // AD nên ta có (1) AD ED FB EB EF // AD nên ta có (2) FA ED BC FB Từ (1) (2) suy ; AD FA Lại có A B ( 900 ) Suy ∆ BFC B F A C E K D ∆ AFD (c-g-c) b) Gọi K giao điểm AC DF Chứng minh KE.FC = CE.FK ∆ BFC ∆ AFD BFC DFA CFE DFE Hay FE phân đường giác ∆CFK FK FC KE.FC CE.FK (đpcm) KE CE Câu 10 Cho ba số x, y, z a) Chứng minh x2 y z xy yz zx Ta có x2 y z xy yz zx 1 x2 y z xy yz zx x y z xy yz zx x y y z z x 2 Các bước biến đổi tương đương mà bất dẳng thức cuối nên bất đẳng thức đầu b) Khi Ta có x yz 673 Chứng minh xy yz zx 2019 x yz 673 x y z 3.2019 x2 y z xy yz zx 3.2019 2 Kết hợp 1 2 ta có : xy yz zx 3.2019 Hay xy yz zx 2019 ……… HẾT………… - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 93 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 18 Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 19 x 30 Ta có: x3 19 x 30 x3 x 10 x 30 x x 10 x 3 x x 3 x 3 10 x 3 x 3 x 3x 10 x 3 x x Vậy, x3 19 x 30 x 3 x 2 x 5 b) Chứng minh: 9n 12n n N hai số nguyên tố Gọi d UCLN 9n 2,12n 3 , d N * 9n d 36n 8 d 36n 36n d d d 12n 3 d 36n d Khi đó, Vậy, 9n 12n n N hai số nguyên tố c) Chứng minh: số có dạng n6 n 2n3 2n với n N n số phương Ta có n6 n 2n3 2n n n n 2n n2 n n 1 n 1 n 1 n2 n 1 n3 n2 n2 n 1 n3 1 n 1 n2 n 1 n2 2n 2 Với n N n n2 2n n 1 n 1 n2 2n n2 n 1 n2 2 Suy n 1 n 2n n với n N n n 2n khơng phải số phương Vậy, số có dạng n6 n 2n3 2n với n N n khơng phải số phương Câu a) Chứng minh rằng: A 2n 1 2n 1 chia hết cho với số tự nhiên n Theo giả thiết n số tự nhiên nên 2n 1, 2n , 2n ba số tự nhiên liên tiếp Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp ln chia hết 2n 1 2n 2n 1 Mặt khác, 2n ,3 nên 2n 1 2n 1 Vậy, A 2n 1 2n 1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương? Ta có B số phương 4B số phương Đặt 4B k , k N Khi đó, 4B 4n2 4n 52 k 2n 1 k 2n 1 k 51 Vì 2n 1 k 2n 1 k nên ta có trường hợp: 2n k , 2n k 51 2n k , 2n k 17 2n k 51 , 2n k 1 2n k 17 2n k 3 Giải ta được: n 12, n 3, n 13, n Vậy, n 12 n 3 n 13 n B n n 13 số phương - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 94 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - Câu Giải phương trình sau: a) x x 3x Ta có x x x với x 2 Do đó, x x 3x x x 3x x2 4x x 5 x 1 x x 1 Vậy, S 1;5 x3 x x b) 1 x x2 ĐKXĐ: x 0, x Ta có x3 x x x3 x x x x x x2 x 0(loai ) + Với x , ta có pt x x 3x x x 1 x 3 x x 3 + Với x , ta có pt x3 x x x 1 x loai Vậy, S 3;1 c) Ta có: x 1 2x x x 1 2x x (*) Các giá trị đặc biệt : x 1; x 3 ; x0 Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối : 3 x x 1 x 1 2x x 1 x 1 x 1 x 3 2x 2x 2x x -x -x x x VT 2x 2x 4 2x + Xét x + Xét 3 , pt cho trở thành 2x x 3 ( nhận ) 3 x , pt cho trở thành 2x x ( nhận ) + Xét x , pt cho trở thành x ( nhận ) + Xét x 1, pt cho trở thành 2x x ( nhận ) KL : Pt cho có nghiệm : x 3; x Câu Với a, b, c Hãy chứng minh BĐT: - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: 95 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -ab bc 2b a) c a ab bc 0, Với a 0, b 0, c nên c a ab bc ab bc ab bc Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta 2 b2 2b c a c a c a Dấu “=” a c ab bc 2b với a, b, c Dấu “=” a c Vậy, c a ab bc ca abc b) c a b ab bc c a 2b ab bc ca ab ac abc Áp dụng kết câu a, ta có: 2a c a b c b bc ca a b 2c Dấu “=” a b c ab bc ca a b c Dấu “=” a b c Vậy, c a b a b3 b3 c c a abc c) 2ab 2bc 2ca a b3 b3 c c a a b b c c a Ta có 2ab 2bc 2ca 2b 2a 2c 2b 2a 2c a2 c2 a c ac 2 4b b 2b 2b b c bc Áp dụng kết câu a, ta có: 2a 2a c a b ab c c c a3 b3 b3 c3 c3 a3 ab bc ca abc c a b 2ab 2bc 2ca Dấu “=” a b c a b3 b3 c c a a b c Dấu “=” a b c Vậy, 2ab 2bc 2ca x4 x2 Câu a) Cho x x Tính E x2 x2 x 3, x *Cách 1: Ta có x x x x 3x x x2 x 2x x4 x2 x2 x x2 x x2 x E 5 15 x2 x x x x x - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 96 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -x4 x2 15 x x Vậy, E x 2 x x 15 x x4 x2 x x 15, x *Cách 2: E x2 x2 x2 x x x a Tính F b) Cho theo a x x 1 x x2 + Xét x a F + Xét x a x2 x x x a Ta có F 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 x x2 x 2x 1 2a x2 a Mặt khác, 2 2 x x x a a x x 1 2a a a2 Từ 1 2 suy F a 2a a a x a Vậy, F x x 1 2a Câu Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P xy , x, y số thực thoả mãn điều kiện: x 2013 y 2013 x1006 y1006 Ta có: x 2013 y 2013 x1006 y1006 x 2013 y 2013 x 2012 y 2012 (2) Mặt khác: x 2013 y 2013 x 2013 y 2013 (3) Từ (2) (3) suy ra: x2012 y 2012 x 2013 y 2013 Hay : x 2012 y 2012 (1 xy) Do P xy Đẳng thức xảy khi: xy x 2013 y 2013 (4) x 2013 y 2013 x 2013 2013 2 x y y 1 Từ (1) (4) ta có: Vậy Min (P) = x = y =1 Câu Vì AB AC BC nên 2BC AB AC 3BC AB AC BC 18 BC 1 Theo BĐT tam giác ta có: BC AB AC 2BC AB AC BC 18 BC 2 Từ 1 2 suy BC mà BC có độ dài số chẵn Do BC 8cm Tương tự, c/m AB AC AB AC 10 Suy AB 3cm, AC 7cm AB 4cm, AC 6cm Vậy, AB 3cm, AC 7cm, BC 8cm AB 4cm, AC 6cm, BC 8cm A Câu Chứng minh AE//BC Gọi K giao điểm AC DE Vì: ADB 300 ; ADK 900 H Suy KDC 600 Và DEC Nên ABCDKC (g.g) E K B DK DC AB AC D C - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 97 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn - -1 KD DC DE (1) Do DK 3 KE KH DE Kẻ CHDE (HDE) DH ; KD Mặt khác AD//CH (cùng vng góc với DH) ; KC KH Nên theo Talet ta có: (2) KA KD Từ (1), (2) AKE CKD nên theo Talet AE//CD Câu Tính diện tích tam giác ABC + Gọi h khoảng cách từ K đến AB, ta có: SAKE AE h / AE AE SBKE BE h / BE BE S + Suy ra: ACE SBCE 2SACE S BCE S MA SAKM SCKM + Tương tự: AKM SCKM MB Đặt x SAKM SCKM , ta có: S ABM SCBM 20 10 x x SBCK SBCK 30 Do đó, SBCK SBEK 20 30 50 Mà BE = 2AE S AEC 25 S ABC 75 (đvdt) A 10 E M 20 K B AM AN PQ Câu 10.a) Chứng minh rằng: AB AC AQ Gọi E, F giao điểm NP, MP với BC Do NE//AB, MF//AC nên theo Thales ta có: AM FC AN BE ; AB BC AC BC PQ EQ FQ EQ FQ EF AQ BQ QC BQ QC BC AM AN PQ FC BE EF (đpcm) Từ đó: AB AC AQ BC BC BC AM AN PQ b) Xác định vị trí điểm Q để AB AC AQ 27 AM AN PQ , , Áp dụng câu a) BĐT Cauchy cho số dương: : AB AC AQ C D A N M P B E Q F C AM AN PQ AM AN PQ AM AN PQ 33 AB AC AQ 27 AB AC AQ AB AC AQ AM AN PQ Dấu “=” xảy AB AC AQ Khi MN//BC Vì AQ qua trung điểm MN nên Q trung điểm BC AM AN PQ Vậy, Q trung điểm BC AB AC AQ 27 1= -HẾT Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 98 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 19 Câu a) Cho a b Chứng minh rằng: a b Ta có a b mà 2ab a b 2 Do a b 2ab a b a b 2 a b 2 Vậy, a b a b b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b2 Đặt B 4a a b a 1 a b 1 b a ab a a ab a b b Đặt m a ab a , ta có: B 4m m b b 4m 4mb b 2m b Vậy, 4a a b a 1 a b 1 b2 Dấu “=” 2m b a ab a b c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: abc b c a a c b a b c Đặt b c a x 0, a c b y 0, a b c z xyz x y 2a, y z 2b, z x 2c C/m BĐT phụ: x y y z z x 8xyz với x, y, z Thật vậy, ta có x y xy, y z yz , z x zx 2 Suy x y y z z x 64 x y z x y y z z x 8xyz 2 2 x y y z z x 8xyz ( hai vế khơng âm) Do đó, x y y z z x 8xyz với x, y, z Dấu “=” x y z Áp dụng BĐT trên, ta có 2a 2b 2c b c a a c b a b c abc b c a a c b a b c Vậy, abc b c a a c b a b c Dấu “=” a b c tam giác cho Câu a) Ta có: A x a1 x a2 x a2m1 x a2m x a1 x a2 x am am1 x am2 x a2m x x a1 x a2 x am am1 x am2 x a2m x am1 am2 a2m a1 a2 am Dấu “=” am x am1 Vậy, GTNN A am1 am2 a2m a1 a2 am Dấu “=” am x am1 b) Ta có: B x a1 x a2 x a2m2 x a2m1 x a1 x a2 x am am1 x am2 x a2m1 x x a1 x a2 x am1 am1 x am2 x a2m1 x am1 am2 a2m1 a1 a2 am1 Dấu “=” x am Vậy, GTNN B am1 am2 a2m1 a1 a2 am1 Dấu “=” x am - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 99 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -14 54 94 214 Câu Rút gọn biểu thức: P 3 4 74 4114 234 Xét n4 n2 2 2n n2 2n 2 n2 2n n 1 1 n 1 1 2 1 4 49 21 Do đó, P 3 4 411 23 1 1 1 1 20 1 1 18 1 22 4 4 2 2 Ta có: 4 2 Câu Giải phương trình: 2 2 1 222 1 1 242 1 24 577 2x 3x 1 x x x 5x 2x 3x 4x 3x 1 1 x x x 5x x x 14 x 10 x 14 + Với x khơng nghiệm phương trình 1 14 14 x x 10 x x 14 1 Đặt y x , phương trình viết lại theo ẩn y x y y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 +Với x phương trình cho viết lại: y y2 y y + Với y x x 14 ( vô nghiệm ) x + Với y x x nhân x Vậy, S 1;7 Câu Cho m, n số thực thay đổi cho m2 n2 (1) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: Q m n mn (2) Từ (2) ta có: 2Q m n 2mn Do đó: 2Q m2 n m2 n 2m 2n 2mn m n 1 Suy ra: 2Q m2 n2 4 (do (1)) Q 2 m 2 m n n Dấu “=” xảy m m n n 2 Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2 - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 100 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn - Câu 6.Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Giả sử p m3 m , mà p m Khi p m3 m 1 m m 1 (*) Vì 7, p số nguyên tố, m 1, m2 m nên từ (*) suy m 1 m2 m a) m m p 73; m3 512 7.73 , b) m2 m m2 m Giải ta m = m = -3 không thỏa mãn điều kiện m Vậy có số nguyên tố p = 73 số cần tìm Câu So sánh GA GB Gọi I trung điểm AB Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆ABC IE // BC Mà GF BC GF IE (1) A I B Chứng minh tương tự GE IF (2) Từ (1) (2) G trực tâm ∆EIF (3) IG EF Dễ chứng minh EF // AB G E F (4) Từ (3) (4) IG AB C D Vậy ∆AGB cân G GA = GB BH 1 CD Kẻ DK vng góc với AC D, K AB , kẻ DL vng góc với BC L, Câu Chứng minh rằng: A Gọi O giao điểm DL BH AKD 900 C 1 900 A 900 C 900 1800 2C 900 C 450 2 Ta có DBC DBH HBC D K Suy tam giác BDL vuông cân L BL DL C/m: BLO DLC cgv gnk Suy BO = DC Mà BH = BO + OH > BO Do đó, BH > DC Suy O B L C BH (đpcm) CD Câu 9.a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c bc ca ab ( Xem câu 3b đề 14) b) Tìm giá trị bé nhất biểu thức Đặt BC a, AC b, AC b k a kb k c hb hc A F' Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 101 kc Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -1 Ta có S ABC a.ha 1 Mặt khác, S ABC S ABD S ADC b c ka ka a Từ (1) (2) suy b c k k b c , c Tương tự, b hb c a hc a b k k k a b c ( theo câu a) Suy a b c hb hc b c c a a b ka kb kc a b c Lúc tam giác ABC hb hc Suy GTNN Câu 10 ABCD hình bình hành nên N DAB CDA 180 Từ giả thiết ta lại có MAN DAB MAB DAN 1800 Suy MAN CDA Từ MAN CDA (c.g.c) Do AMN DCA BAC Lại có AB AM Suy MN AC B C A D M -HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 20 - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 102 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH CẤP TRƯỜNG LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ***** HƯỚNG DẪN CHẤM (Bảng hướng dẫn chấm gồm trang) I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2- Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống nhất thực Hội đồng chấm thi 3- Điểm toàn thi khơng làm trịn số II- Đáp án thang điểm: ĐÁP ÁN CÂU Câu 10 x x a) Rút gọn M : x x2 x 4 2 x x2 ĐKXĐ: x 2 x x 2 x 2 6 x2 Ta có: M : x x x 2 x x x Vậy, M , x 2 2 x 1 1 Ta có: x x x 2 2 + Với x ( thỏa ĐKXĐ) M 2 2 1 + Với x ( thỏa ĐKXĐ) M 2 2 Vậy, x M M c) Tìm giá trị x để M x x (thỏa ĐKXĐ) Ta có: M 2 x Vậy, M x d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị ngun b) Tính giá trị M , biết x ĐIỂM 4,00 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,50đ 0,50 đ 1,00 đ - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 103 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -0,50đ Để M có giá trị nguyên x nguyên x 2 x U 1 1;1 2 x 0,25 đ Giải x x ( thỏa ĐKXĐ) 0,25 đ Suy x 1;3 M có giá trị ngun Câu 4,00 đ a) Phân tích đa thức A a b c 3abc thành nhân tử Từ suy điều kiện 1,00 đ a, b, c để a3 b3 c3 3abc 0,50 đ 2 Ta có: A a b3 c3 3abc a b c a b b c c a 3 Để a b c 3abc 0,25 đ a b3 c3 3abc 2 a b c a b b c c a 0,25 đ a b c a b c 1 yz zx xy b) Cho Tính giá trị biểu thức sau: B 1,00 đ x y z x y z 3 1 1 1 nên ( ĐKXĐ: x, y, z ) x y z xyz x y z yz zx xy xyz xyz xyz Ta có: B x y z x y z 1 1 xyz xyz.3 3 y z xyz x 1 Vậy, B x y z c) Cho x, y, z ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z x3 y z 3xyz Áp dụng câu a), Tính C x 2019 y 2019 z x y z Vậy, C 0,25 đ 1,00 đ 2019 x 2019 y 2019 z 2019 x y z 2019 3.x 2019 3x 2019 0,25 đ 2018 0,50 đ với x, y, z ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z x3 y z 3xyz 2018 d) Giải phương trình: x Ta có: x 0,50 đ 2019 Áp dụng câu a), x, y, z ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z x3 y z 3xyz nên x y z Do đó, C 0,25 đ 2018 x 2018 2019 3 x 2019 2x 4037 3 2x 4037 0 x 2018 x 2019 4037 x 3 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ Vì x 2018 x 2019 4037 2x nên theo câu a) ta có: - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 104 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú n BDHSG Tốn - -3 3 0,25 đ x 2018 x 2019 4037 x 3 x 2018 x 2019 4037 2x x 2018 x 2018 x 2019 x 2019 4037 x 4037 x 0,25 đ 0,25 đ 4037 Vậy phương trình cho có tập nghiệm : S 2018; 2019; 4,00 đ 2,00 đ Câu a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K 4x 2x2 x x x x x x 1 x 1 Ta có: K 2x 2 x 1 x 1 x 1 2 2 0,25 đ 0,25 đ Dấu “=” x x 1 x2 Suy GTNN K 2 x x x x x x x 1 Ta có: K 2x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,50 đ x 1 2 0,50 đ 2 x 1 2 1 1 Suy GTLN K x b) Xác định hệ số hữu tỉ a b cho f x x4 ax2 b chia hết cho 0,25 đ Dấu “=” x x g x x2 x Phép chia hết f x x4 ax2 b cho g x x2 x có đa thức thương dạng h x x2 cx b Ta viết x ax b x x 1 x cx b với x Ta có: x x 1 x cx b x c3 x bx x3 cx bx x cx b x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b Suy x4 ax2 b x4 c 1 x3 b c 1 x2 b c x b với x Đồng nhất thức hai vế, ta được: c 0, b c a, b c Suy a b c Vậy, a b 0,25 đ 2,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 105 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -Câu 3,00 đ B A I E D H C M a) Chứng minh: AB AD Ta có: AB = 2AI (Vì I trung điểm AB ) (1) Ta lại có: ADI IDC ( Vì DI phân giác ADC ), mà AID IDC ( Vì AB // DC, slt) Do đó, ADI AID suy ADI cân A nên AD AI 2 Từ (1) (2) suy AB AD 1,00 đ 0,25 đ b) Kẻ AH DC ( H DC ) Chứng minh: DI AH 1,50 đ 0,50 đ 0,25 đ Gọi M trung điểm DC, E giao điểm AM DI Ta có DA DM AB ADM 600 nên tam giác ADM Suy DI đường phân giác nên đường cao Do đó, DI AM E Vì ADM có AH, DE hai đường cao nên AH DE 3 Vì ADI cân A, có AE DI E nên DI 2DE 4 Từ (3) (4) suy DI AH c) Chứng minh: AC AD Xét tam giác ADC có AM đường trung tuyến AM DM Vậy, AC AD Câu B 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ DC nên DAC 900 0,50 đ 3,00 đ A E 0,50 đ D C F a) Chứng minh hệ thức: AB AE.AF Ta có : BD / / FC ( vng góc với AC ) AD AB Suy (1) AC AF Ta lại có: AB AC AE AD (?) (2) 1,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy ln chiến thắng Trang: 106 Trường THCS Nguyễn Thái Bình –Tuy An – Phú Yên BDHSG Toán - -AE AB Từ (1) (2) suy , AB AE.AF AB AF 1,50 đ CE BE b) Chứng minh: CF BF + C/m : BCE CBD ch gn 0,50 đ Suy BCE DBC + Mặt khác, DBC BCF ( Vì BD // FC, slt ) 0,50 đ Suy BCE BCF Khi CB đường phân giác ECF 0,50 đ CE BE Suy ( đpcm ) CF BF Câu 2,00 đ B A H K M D C Chứng minh: BM MD Gọi K trung điểm DH C/m: MK đường trung bình DHC Suy KM / / DC KM DC 1 Ta lại có: AB DC AB // DC (gt) (2) Từ (1) (2) suy AB KM AB / / KM Do đó, ABMK hình bình hành, cho ta BM / / AK (3) Vì MK / / AB AB AD( gt ) nên MK AD Trong tam giác ADM có MK AD DH AM nên K trực tâm tam giác ADM, AK DM (4) Từ (3) (4) suy BM MD (đpcm) 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ - Giáo viên: Nguyễn Hồng Khanh Hãy chiến thắng Trang: 107 ... HUYỆN MÔN TỐN ( ĐỀ 20) PHỊNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP THCS NĂM HỌC 201 8 -2 01 9 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 02 trang) Môn thi. .. 201 7 201 6 1 a) x 201 8 201 6 201 7 2 1 201 6 1 1 1 x 201 8 2 201 6 201 7 201 8 201 8 201 8 201 8. .. 201 8 1 x 201 8 201 7 201 8 2 1 1 x 201 8 201 8 201 8 2 2 x 201 8 1 201 7 b) 10 x x 1 201 9 2 2 201 7