Tuyển tập 36 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)

PHÒNG GD& T QUỲNH LƯU KH O SÁT NĂNG KHI U H C SINH L P NĂM H C 2014 - 2015 THI CHÍNH TH C thi mơn: Tốn Th i gian: 120 phút (Khơng k th i gian giao ) Câu (2,5 i m)   x2  1 + + : x + 3  x − 3x   27 − 3x  Cho bi u th c A =  a) Nêu i u ki n xác nh r i rút g n A b) Tìm giá tr c a x giá tr c a A < -1 Câu (2,5 i m) a) Gi i phương trình: x3 – 3x – = b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 Câu (1,0 i m) Cho s : x, y, x th a mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x2014 + y2014 + z2014 = Tính giá tr c a bi u th c: P = x25 + y4 + z2015 Câu (3,0 i m) Cho hình vng ABCD có AC c t BD t i O M i m b t kỳ thu c c nh BC (M khác B, C) Tia AM c t ng th ng CD t i N Trên c nh AB l y i m E cho BE = CM a) Ch ng minh: OEM vuông cân b) Ch ng minh: ME // BN c) T C, k CH ⊥ BN (H ∈ BN) Ch ng minh r ng ba i m O, M, H th ng hàng Câu (1,0 i m) Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) (v i k ∈ N*) Ch ng minh r ng: 4S + 1là bình phương c a m t s t nhiên H t H tên thí sinh: SBD: HƯ NG D N CH M MÔN: TOÁN N i dung Câu 1a 1b 2a 2b KX : x ≠ -3;0;3 x − 3x + x − x + x+3 A= : =− x x( x − 3) 3(3 − x)(3 + x) V i x ≠ {-3;0;3} ta có: x+3 < −1 ⇔ > ⇔ x > A < −1 ⇔ − x x K t h p v i i u ki n ta có < x ≠ A < -1 x3 - 3x - = ⇔ (x3 + 1) – 3(x + 1) = ⇔ (x + 1)(x2 – x – 2) = ⇔ (x - 2)(x + 1)2 = ⇔ x = 2; x = - P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 ≥ 2010 => Giá tr nh nh t c a P = 2010 x = ; y = 2 Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx) (x - y )2 +( y – z)2 + (z – x)2 = i m 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 x = y = z Thay vào bi u th c: x2014 + y2014 + z2014 = => x = y = z = ± 0,25 0,25 V i x = y = z = thi P = V i x = y = z = -1 P = -1 0,25 E A B 1 O M H' D C 4a Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC Và B1 = C1 = 450 BE = CM ( gt ) Suy OEB = OMC ( c g.c) H N 0,5 ⇒ OE = OM O1 = O3 L i có O2 + O3 = BOC = 900 t giác ABCD hình vng ⇒ O2 + O1 = EOM = 900 k t h p v i OE = OM ⇒ OEM vuông cân t i O 4b 0,5 T (gt) t giác ABCD hình vng ⇒ AB = CD AB // CD AM BM + AB // CD ⇒ AB // CN ⇒ = ( Theo L Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD ⇒ AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : = ⇒ ME // BN ( theo L o c a l Ta-lét) MN EB G i H’ giao i m c a OM BN 0,25 0,25 0,25 0,25 T ME // BN ⇒ OME = OH ' B ( c p góc ng v ) Mà OME = 450 OEM vng cân t i O 4c ⇒ MH ' B = 450 = C1 ⇒ OMC BMH’ (g.g) OM MC ⇒ = ,k t h p OMB = CMH ' ( hai góc i nh) BM MH ' CMH’ (c.g.c) ⇒ OBM = MH ' C = 450 ⇒ OMB V y BH ' C = BH ' M + MH ' C = 900 ⇒ CH ' ⊥ BN Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN) ⇒ H ≡ H’ hay i m O, M, H th ng hàng ( pcm) Ta có: k(k + 1)(k + 2) = = 0,25 0,25 0,25 0,25 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) [ (k + 3) − (k − 1)] 4 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 0,5 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + = (k2 + 3k + 1)2 Suy pcm (H c sinh làm cách khác úng v n cho i m t i a) 0,25 M t khác 0,25 S GIÁO D C VÀ ÀO T O B C GIANG THI CHÍNH TH C KỲ THI CH N H C SINH GI I VĂN HOÁ C P T NH NĂM H C 2012-2013 MƠN THI: TỐN; L P: PH THƠNG Ngày thi: 30/3/2013 Th i gian làm 150 phút, không k th i gian giao thi có 01 trang Câu (4,5 i m) 1) Phân tích bi u th c sau thành nhân t : P = 2a + 7a 2b + 7ab + 2b3 2) Cho x + x = Tính giá tr bi u th c Q = x + x5 + x + x + x + x + Câu (4,5 i m)  x −1 x +1  4026 1) Cho bi u th c: R =  Tìm x + − :  x − 2x x + 2x x − 4x  x nh, ó rút g n bi u th c bi u th c xác 2) Gi i phương trình sau: x − ( x − 1)( x + 1)( x + ) = Câu (4,0 i m) 1) Cho n s t nhiên l Ch ng minh n3 − n chia h t cho 24 2) Tìm s t nhiên n n + 4n + 2013 m t s phương Câu (6,0 i m) 1) Cho hình thang ABCD vng t i A D Bi t CD=2AB=2AD BC = a a Tính di n tích hình thang ABCD theo a b G i I trung i m c a BC, H chân ng vng góc k t D xu ng AC Ch ng minh HDI = 450 2) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c dài ng phân giác c a tam giác k t nh A, B, C l n lư t la , lb , lc Ch ng minh r ng: 1 1 1 + + > + + la lb lc a b c Câu (1,0 i m) Cho hai s không âm a b tho mãn a + b = a + b Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: S= a b + a +1 b +1 -H t -Cán b coi thi khơng gi i thích thêm H tên thí sinh: S báo danh: Giám th (H tên ký) Giám th (H tên ký) S GIÁO D C VÀ ÀO T O B C GIANG HƯ NG D N CH M BÀI THI CH N H C SINH GI I VĂN HOÁ C P T NH NGÀY THI 30 /3/2013 MƠN THI: TỐN; L P: PH CHÍNH TH C THƠNG B n hư ng d n ch m có 04 trang Câu Hư ng d n gi i Ta có P = ( a + b ) + 7ab ( a + b ) 3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) + ab ( a + b ) = ( a + b ) ( 2a + 2b + 5ab ) = ( a + b ) ( 2a + 4ab + 2b + ab ) (2.5 i m) = ( a + b )  2a ( a + 2b ) + b ( b + 2a )    = ( a + b )( 2a + b )( a + 2b ) K t lu n P = ( a + b )( 2a + b )( a + 2b ) Ta có Q = x ( x + x3 + x ) + ( x + x3 + x ) + x + x + x + 2 (4.5 i m) 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 = x2 ( x2 + x ) + ( x2 + x ) + x + 0.5 = x2 + x + = (2.0 i m) 0.5 V y Q=4 Câu 0.5 (4.5 i m)  x −1  x x +1  + −  x ( x − ) x ( x + ) x ( x − )  4026   K: x ( x − ) ≠ Ta có R =  x ≠ ⇔  x ≠ ±2 (2.5 i m) 0.5 0.5 Khi ó:  x −1 x +  + −   4026  x − x + x −  ( x − 1)( x + ) + ( x + 1)( x − ) − = 4026 x2 − 2 ( x − 4) = = 4026 x − 2013 x ≠ V y R xác nh  R = 2013  x ≠ ±2 R= 0.5 0.5 0.5 + N u x ≥ , phương trình ã cho tr thành ( x − )( x − 1)( x + 1)( x + ) = 0.5 ⇔ ( x − 1)( x − ) = ⇔ x4 − 5x2 = ⇔ x2 ( x2 − 5) = (2 i m)  x = (l )  ⇔  x = ( tm )   x = − (l )  N u x ≥ , phương trình ã cho tr thành ( − x )( x − 1)( x + 1)( x + ) = 0.5 0.5 ⇔ ( x − )( x − 1)( x + 1)( x + ) = −4 ⇔ ( x − 1)( x − ) = −4 ⇔ x4 − 5x2 + = 5  ⇔  x −  + = vô nghi m 2  KL: Phương trình có m t nghi m x = 0.25 0.25 Câu (4 i m) Ta có n − n = n ( n − 1)( n + 1) 0.5 Vì n − 1; n; n + ba s t nhiên liên ti p nên có m t ba s (2 i m) 0.5 ó chia h t cho Do ó ( n3 − n )M (1) Vì n s t nhiên l nên n − n + hai s t nhiên ch n liên ti p Do ó ( n − 1)( n + 1)M8 ⇒ ( n3 − n )M8 (2) 0.5 Vì hai s nguyên t nên k t h p v i (1), (2) suy ( n3 − n )M 24 ( pcm) 0.5 + Gi s n + 4n + 2013 = m , ( m ∈ ) 2 + Suy ( n + ) + 2009 = m2 ⇔ m − ( n + ) = 2009 0.5 ⇔ ( m + n + )( m − n − ) = 2009 + M t khác 2009 = 2009.1 = 287.7 = 49.41 m + n + > m − n − nên có trư ng h p sau x y ra: (2 i m) m + n + = 2009 m = 1005 ⇔ m − n − = n = 1002 m + n + = 287 m = 147 ⇔ m − n − = n = 138 m + n + = 49 m = 45 TH3:  ⇔ m − n − = 41 n = • TH1:  • V y s c n tìm là: 1002; 138; Câu 0.5 • TH1:  0.5 0.5 (6 i m) A B H I D C E a) + G i E trung i m c a CD, ch ABED hình vng BEC tam giác vng cân (4 i m) 0.5 +T 0.5 ó suy AB = AD = a; BC = 2a + Di n tích c a hình thang ABCD S = = ( AB + CD ) AD ( a + 2a ) a = 3a 2 0.5 0.5 b) + ADH = ACD (1) (hai góc nh n có c p c nh tương ng vng góc) 0.5 + Xét hai tam giác ADC IBD vng t i D B có AD IB = = , ó hai tam giác ADC IBD DC BD Suy ACD = BDI (2) ng d ng 0.5 + T (1) (2), suy ADH = BDI + Mà ADH + BDH = 450 ⇒ BDI + BDH = 450 hay HDI = 450 M A (2 i m) B D C + G i AD ng phân giác góc A, qua C k song song v i AD c t ng th ng AB t i M Ta có BAD = AMC (hai góc v trí ng v ) 0.5 ng th ng 0.5 DAC = ACM (hai góc v trí so le trong) Mà BAD = DAC nên AMC = ACM hay tam giác ACM cân t i A, suy AM = AC = b AD BA c + Do AD//CM nên = = CM BM b + c + Mà CM < AM + AC = 2b ⇒ c AD 11 1 > ⇒ >  +  (1) b + c 2b la  b c  0.5 0.5 + Tương t ta có 11 1 11 1 >  +  (2); >  +  (3) lb  c a  la  b c  0.5 C ng (1), (2), (3) theo v , ta có pcm Câu + Ta có a + ≥ 2a; b + ≥ 2b ⇒ a + b + ≥ 2a + 2b ⇒ a + b ≤ 2 2 + Ch ng minh c v i hai s dương x, y i m 1 + ≥ x y x+ y   + ≤1 ≤ 2− a +1+ b +1  a +1 b +1  + Do ó S = −  + K t lu n: GTLN c a S 1, t c a = b = i m 0.25 0.25 0.25 0.25 i m toàn (20 i m) Lưu ý ch m bài: - - Trên ây ch sơ lư c bư c gi i, l i gi i c a h c sinh c n l p lu n ch t ch , h p logic N u h c sinh trình bày cách làm khác mà úng cho i m ph n theo thang i m tương ng V i 4, n u h c sinh v hình sai ho c khơng v hình khơng ch m PHỊNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O QU N NGŨ HÀNH SƠN KÌ THI CH N H C SINH GI I NĂM H C 2012-2013 Đ CHÍNH TH C MƠN THI: TỐN - L P Th i gian: 150 phút (không tính th i gian giao đ ) Bài 1: (1,50 ñi m) 2a + thành hi u hai bình phương a (a + 1) 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.2012 + b./ Cho M = 2 + + + + 2 (1 + 1) (2 + 2) (3 + 3) (20122 + 2012) a./ Hãy vi t bi u th c sau : Ch ng minh r ng M < Bài 2: (2,00 ñi m) a./ Ch ng minh r ng n3 – 28n chia h t cho 48 v i m i n s nguyên ch n x + 3x + 3x + = x + x − x + 15 x    Bài 3: (2,50 ñi m) Cho bi u th c P =  + +   :  x −1 x − x   x + x −1  b./ Gi i phương trình sau: a./ Rút g n bi u th c P b./ Tìm giá tr c a x đ P > -1 c./ Gi i phương trình P = Bài 4: (1,00 ñi m) Cho a > ; b > a2 + b2 = 10; Tìm giá tr nh nh t c a Q = 1 + a b2 Bài 5: (3,00 ñi m) Cho tam giác ABC có AB = 2a; AC = 3a; BC = 4a Đư ng phân giác AD BE c t t i I G i M trung ñi m c a AC, G tr ng tâm tam giác ABC a./ Tính đ dài đo n th ng BD theo a b./ Ch ng minh IG // AC c./ Tính t s di n tích c a t giác EIGM ∆ ABC H T Tr n Văn H ng Phịng GD&ĐT Do ó chia t − 2t + 1993 cho t ta có s d 1993 4,0 4.1 4.2 4.3 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung CD CA (Hai tam giác = CE CB vuông CDE CAB ng d ng) Do ó, chúng d ng d ng (c.g.c) Suy ra: BEC = ADC = 1350 (vì tam giác AHD vng cân t i H theo gi thi t) Nên AEB = 450 ó tam giác ABE vuông cân t i A Suy ra: BE = AB = m BM BE AD Ta có: (do ∆BEC ∆ADC ) = ⋅ = ⋅ BC BC AC mà AD = AH (tam giác AHD vuông vân t i H) BM AD AH BH BH nên (do ∆ABH ∆CBA ) = ⋅ = ⋅ = = BC AC AC AB BE Do ó ∆BHM ∆BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 ⇒ AHM = 450 Tam giác ABE vuông cân t i A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD Suy ra: , mà = = ( ∆ABC ∆DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ó: = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 S 11 Bài 1: (2 i m) 3x y − 4xy b) N u a, b, c s dương m t khác giá tr c a a th c sau s dương: A = a + b3 + c3 − 3abc Bài 2: (2 i m) Ch ng minh r ng n u a + b + c = thì: a b   a − b b − c c − a  c A= + + + +  =9 a b  a − b b − c c − a   c Bài 3: (2 i m) M t ô tô ph i i quãng ng AB dài 60 km th i gian nh t nh N a quãng ng u i v i v n t c l n v n t c d nh 10km/h N a quãng ng sau i v i v n t c v n t c d nh km/h Tính th i gian tơ i quãng ng AB bi t ngư i ó n B úng gi Bài 4: (3 i m) Cho hình vng ABCD c nh BC l y i m E T A k ng th ng vuông góc vơi AE c t ng th ng CD t i F G i I trung i m c a EF AI c t CD t i M Qua E d ng ng th ng song song v i CD c t AI t i N a) Ch ng minh t giác MENF hình thoi b) Ch ng minh chi vi tam giác CME không i E chuy n ng BC Bài 5: (1 i m) x + 3x + = y Tìm nghi m nguyên c a phương trình: a) Cho x − 2xy + 2y − 2x + 6y + 13 = Tính N = THI H C SINH GI I TOÁN L P Bài 1: (2 i m) a) Phõn t ch thành th a s : (a + b + c) − a − b − c b) Rỳt g n: x − x − 12 x + 45 3x − 19 x + 33x − Bài 2: (2 i m) Ch ng minh r ng: A = n (n − 7) − 36n chia h t cho 5040 v i m i s t nhi n n Bài 3: (2 i m) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nư c gi ng N u làm m t m nh th m y bơm A hút h t nư c 12 gi , máy bơm B hút h tnư c 15 gi máy bơm C hút h t nư c 20 gi Trong gi u hai máy bơm A C làm vi c sau ó m i dùng n máy bơm B T nh xem bao lõu th gi ng s h t nư c b) Gi i phương tr nh: x + a − x − 2a = 3a (a h ng s ) Bài 4: (3 i m) Cho tam giác ABC vuông t i C (CA > CB), m t i m I c nh AB Trên n a m t ph ng b AB có ch a i m C ngư i ta k tia Ax, By vng góc v i AB ng th ng vng góc v i IC k qua C c t Ax, By l n lư t t i i m M, N a) Ch ng minh: tam giác CAI ng d ng v i tam giác CBN b) So s nh hai tam gi c ABC INC c) Ch ng minh: gúc MIN = 900 d) T m v tr i m I cho di n tích IMN l n g p di n tích ABC Bài 5: (1 i m) Ch ng minh r ng s : 22499 91004 244 s phương ( n ≥ ) 09 24 4 n-2 sè n sè THI H C SINH GI I TOÁN L P Bài 1: (2,5 i m) Phân tích a th c thành nhân t a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 v i x > Bài : (1,5 i m) Cho abc = Rút g n bi u th c: A= a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Bài 3: (2 i m) Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > Tính: P = ab 4a − b 2 Bài : (3 i m) Cho tam giác ABC cân t i A Tr n BC l y M b t kì cho BM < CM T N v ng th ng song song v i AC c t AB t i E song song v i AB c t AC t i F G i N i m i x ng c a M qua E F a) Tính chu vi t giác AEMF Bi t : AB =7cm b) Ch ng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M v trí t giác AEMF hình thoi c n thêm i u ki n c a ∆ ABC cho AEMF hình vng Bài 5: (1 i m) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia h t cho 23 THI H C SINH GI I TOÁN L P Bài 1: (4 i m) Phân tích a th c sau thành nhân t : a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 i m) Gi i phương trình: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 i m) Tìm x bi t: 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) ( 2009 − x ) − ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19 49 Bài 4: (3 i m) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = 2010x + 2680 x2 + Bài 5: (4 i m) Cho tam giác ABC vuông t i A, D i m di ng c nh BC G i E, F l n lư t hình chi u vng góc c a i m D lên AB, AC a) Xác nh v trí c a i m D t giác AEDF hình vng b) Xác nh v trí c a i m D cho 3AD + 4EF t giá tr nh nh t Bài 6: (4 i m) Trong tam giác ABC, i m A, E, F tương ng n m c nh BC, CA, AB cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF a) Ch ng minh r ng: BDF = BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính dài o n BD M t l i gi i: Bài 1: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y3 + z3      = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )   = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )    = ( x + y )( y + z )( z + x ) b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2010 ) Bài 2: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 ⇔ x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 −1+ −2+ −3+ −4=0 17 19 21 23 x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 + + + =0 17 19 21 23  1 1 ⇔ ( x − 258 )  + + +  =  17 19 21 23  ⇔ x = 258 Bài 3: 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) ⇔ ( 2009 − x ) − ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19 49 KX : x ≠ 2009; x ≠ 2010 t a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có h th c: ( a + 1) − ( a + 1) a + a = 19 ( a + 1) + ( a + 1) a + a 49 ⇔ a + a + 19 = 3a + 3a + 49 ⇔ 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 =  a=  2 (tho ⇔ ( 2a + 1) − 42 = ⇔ ( 2a − 3)( 2a + ) = ⇔  a = −   K) 4023 4015 ho c x = (tho K) 2 4023 4015 x = giá tr c n tìm V yx= 2 Bài 4: 2010x + 2680 A= x2 + −335x − 335 + 335x + 2010x + 3015 335(x + 3) = = −335 + ≥ −335 x2 +1 x2 +1 V y giá tr nh nh t c a A – 335 x = – Suy x = Bài 5: $ a) T giác AEDF hình ch nh t (vì E = A = F = 90o ) C t giác AEDF hình vng AD tia phân giác c a BAC b) Do t giác AEDF hình ch nh t nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nh nh t ⇔ AD nh nh t F ⇔ D hình chi u vng góc c a A lên BC Bài 6: a) t AFE = BFD = ω, BDF = CDE = α, CED = AEF = β D A E Ta có BAC + β + ω = 1800 (*) Qua D, E, F l n lư t k ng th ng vng góc v i BC, AC, AB c t t i O Suy O giao i m ba ng phân giác c a tam giác DEF A ⇒ OFD + OED + ODF = 90o (1) E F ω β Ta có OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270o (2) β ω O o (1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180 (**) s s s (*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF b) Ch ng minh tương t câu a) ta có: B = β, C = ω ⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC α α B B D C ⇒ 5BF 5BF 5BF  BD BA    = = BD = BD = BD =  BF BC    8     7CE 7CE 7CE  CD CA    = = ⇒ CD = ⇒ CD = ⇒ CD =  8  CE CB     AE AB 7AE = 5AF 7(7 − CE) = 5(5 − BF) 7CE − 5BF = 24  AF = AC =        ⇒ CD − BD = (3) Ta l i có CD + BD = (4) (3) & (4) ⇒ BD = 2,5 THI H C SINH GI I TOÁN L P Câu 1: Cho x = b2 + c2 − a2 a − (b − c) ;y= 2bc (b + c)2 − a Tính giá tr P = x + y + xy Câu 2: Gi i phương trình: a, 1 1 = + + a+b− x a b x (x n s ) (b − c)(1 + a ) (c − a)(1 + b) (a − b)(1 + c) b, + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c h ng s ôi m t khác nhau) Câu 3: Xác nh s a, b bi t: (3x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2 Câu 4: Ch ng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 khơng có nghi m ngun Câu 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính t s ng cao xu t phát t B C THI H C SINH GI I TOÁN L P Câu 1: Cho a + b = Tính giá tr bi u th c: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Ch ng minh r ng: a b c 1, + + = bi t abc = ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 n + n +1 * 2, (n ∈ N ) không phân s t i gi n n + n +1 Câu 3: Cho bi u th c: 1 1 P= + + + + a − a a − 3a + a − 5a + a − 7a + 12 a − 9a + 20 a Tìm i u ki n P xác nh b Rút g n P c Tính giá tr c a P bi t a3 - a2 + = Câu 4*: Tìm s t nhiên n a th c: 2n n A(x) = x + x +1 chia h t cho a th c x2 + x + Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB K ng th ng qua C vng góc v i AB t i E G i M trung i m c a AD a Ch ng minh: tam giác EMC cân b Ch ng minh: Góc BAD = góc AEM c G i P m t i m thu c o n th ng EC Ch ng minh t ng kho ng cách t P n Me n MC khơng ph thu c vào v trí c a P EC THI H C SINH GI I TOÁN L P Bài 1: (2 i m) a) Phân tích a th c sau thành nhân t : a(b + c) (b − c) + b(c + a) (c − a ) + c(a + b) (a − b) 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác + + = a b c 1 Rút g n bi u th c: N = + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 2: (2 i m) a) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: M = x + y − xy − x + y + b) Gi i phương trình: ( y − 4,5) + ( y − 5,5) − = Bài 3: (2 i m) M t ngư i i xe máy t A n B v i v n t c 40 km/h Sau i c 15 phút, ngư i ó g p m t ô tô, t B n v i v n t c 50 km/h ô tô n A ngh 15 phút r i tr l i B g p ngư i i xe máy t i m t m t a i m cách B 20 km Tính quãng ng AB Bài 4: (3 i m) Cho hình vng ABCD M m t i m ng chéo BD K ME MF vuông góc v i AB AD a) Ch ng minh hai o n th ng DE CF b ng vng góc v i b) Ch ng minh ba ng th ng DE, BF CM ng quy c) Xác nh v trí c a i m M t giác AEMF có di n tích l n nh t Bài 5: (1 i m) 2 Tìm nghi m nguyên c a phương trình: 3x + y = 345 THI H C SINH GI I TỐN L P Câu 1: Phân tích thành nhân t : a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2: Cho A =  x(1 − x )  − x3 + x3 : ( + x)( − x)  1+ x 1+ x  1− x  a, Rút g n A b, Tìm A x= - c, Tìm x 2A = Câu 3: a, Cho x+y+z = Tìm giá tr nh nh t c a M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá tr l n nh t c a P = x ( x + 10) Câu 4: a b c + + 0, CMR: 1< b, Cho x,y ≠ CMR: x2 y x y + ≥ + x y x y Câu 5: Cho ABC a, Tính s u có dài c nh a, kéo dài BC m t o n CM =a o góc ACM b, CMR: AM ⊥ AB c, Kéo dài CA o n AN = a, kéo dài AB o n BP = a CMR MNP u gdphòng gd-đt đức thọ Đề thi thức 2012đề thi olympic toán năm học 2012-2013 Thời gian l m b i 120  4xy  1 : + 2  2  y − x  y − x y + 2xy + x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A đợc xác định b) Rút gọn A c) NÕu x, y l c¸c sè thùc tháa m·n 3x + y + 2x − 2y = 1, hÃy tìm giá trị nguyên đơng A ? C©u 1: Cho biĨu thøc A =  y − x ≠  y ≠ ± x Lời giải: a) ĐKXĐ A l : y + 2xy + x ≠ ⇔ y ≠  1  2+ ≠0   y − x y + 2xy + x ( y − x )( y + x ) = 2x + 2xy 4xy 2y 4xy b) A = 2 : = y − x ( y − x )( y + x ) 2y ( y − x )( y + x ) c) ĐK cần: Từ điều kiện 3x + y + 2x − 2y = ⇔ 2x + 2xy + x − 2xy + y + ( x − y ) + = 2 ⇔ 2x + 2xy + ( x − y ) + ( x − y ) + = ⇔ 2x + 2xy + ( x − y + 1) = 2 ⇔ 2x + 2xy = − ( x − y + 1) ≤ Do ®ã < A nên giá trị A cần tìm l A {1;2} ĐK đủ: Với A = ⇒ ( x − y + 1) = XÐt x − y + = ⇒ x = y (loại x y) Xét x − y + = −1 ⇒ x = y − thay v o 3x + y + 2x 2y = đợc ( y − ) + y + ( y − ) − 2y = ⇔ 4y − 12y + = ⇔ 4y − 12y + = ⇔ ( 2y − )  3+ y = 2y − = 2 =2⇔ ⇔  3− 2y − = −  y =  3+ 2 −1 3− − −1 ; y= ⇒x= ⇒x= 2 2 Víi A = ⇒ ( x − y + 1) = ⇔ x − y + = ⇔ x = y − thay v o 3x + y + 2x 2y = đợc y=  y = (lo¹i) ( y − 1) + y + ( y − 1) − 2y = ⇔ 4y − 6y = ⇔ 2y ( 2y − ) = ⇔  ⇒x= y =   − +   − − −     VËy A = ( x;y ) ∈  ; ; ;          2    A = ( x;y ) ∈  ;    2   x − 17 x − 15 x − 13 x − 11 + = + 2008 2010 2012 2014 2 b) Tìm số x, y, z biÕt x + y + z = xy + yz + zx v x 2012 + y 2012 + z 2012 = 32013 Câu 2: a) Giải phơng tr×nh sau x − 17 x − 15 x − 13 x − 11 − 1+ −1= − 1+ −1 2008 2010 2012 2014 x − 2025 x − 2025 x − 2025 x − 2025 1   ⇔ + = + ⇔ x − 2025  + − − =0 2008 2010 2012 2014  2008 2010 2012 2014 Lời giải: a) Phơng trình tơng ®−¬ng ( ) 1 1 1 1 v nªn > > + − − >0 2008 2012 2010 2014 2008 2010 2012 2014 Do ®ã ta cã x − 2025 = ⇔ x = 45 Tập nghiệm phơng trình l : S = {45;45} Vì b) Từ giả thiết x + y + z = xy + yz + zx ⇔ 2x + 2y + 2z − 2xy − 2yz − 2zx = 2 ⇔ (x − y) + (y − z) + (z − x) = ⇔ x − y = y − z = z − x = ⇔ x = y = z Do ®ã x 2012 + y 2012 + z 2012 = 32013 ⇒ 3x 2012 = 2013 ⇔ x = ±3 VËy x = y = z = 3; x = y = z = -3 4x − = m + , với m l tham số Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng x b) Chứng minh nÕu a + b + c ≥ th× a3 + b3 + c ≤ a + b + c 4x − Lêi gi¶i: a) §KX§: x ≠ Ta cã = m + ⇒ 4x − = ( x − 1)( m + ) ⇔ 4x − = x ( m + ) − ( m + ) x −1 ⇔ 4x − = x ( m + ) − ( m + ) ⇔ x ( m − 1) = m + C©u 3: a) Cho phơng trình Nếu m = = nên phơng trình vô nghiệm m+2 Nếu m x = Để phơng trình có nghiệm dơng m m + 2   1  ∀m  +)  m − ⇔ ⇔ m2 + m − > ⇔ m2 + m + − > ⇔  m +  > 4 2  ( m + )( m − 1) >  m + >  m −1  ⇔ m + > ⇔ m < -2; m > Vậy giá trị m cần tìm l m < -2; m > 2 b) Ta dễ d ng chứng minh đợc a + b ≥ a3b + ab3 ThËt vËy a + b ≥ a 3b + ab3 ⇔ a3 ( a − b ) − b3 ( a − b ) ≥ ⇔ ( a − b ) a3 − b ≥ ( ⇔ (a − b) ( )  b  3b2  a + ab + b ≥ ⇔ ( a − b )  a +  +  ≥ ®óng víi mäi a, b 2     2 ) Chøng minh t−¬ng tù ta cịng cã b + c ≥ b3 c + bc v c + a ≥ c a + ca3 Do ®ã a + b + c ≥ a4 + b + b + c + c + a + a4 + b + c ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) 3 ≥ a b + ab + b c + bc + c a + ca + a + b + c = a ( a + b + c ) + b ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) a3 + b + c Mặt khác a + b + c ⇔ ( a + b + c ) a + b + c ( ( ) ( 4 Do ®ã ( a + b + c ) a + b + c ) ≥ (a + b + c )(a 3 +b +c )⇔ a 3 ) + b + c ≤ a4 + b4 + c DÊu “=” x¶y v chØ a = b = c = Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, gọi O l trung ®iĨm cđa AB VÏ vỊ mét phÝa cđa AB tia Ax, By vuông góc với AB Lấy ®iĨm C trªn tia Ax, ®iĨm D trªn tia By cho COD = 900 a) Chøng minh r»ng ∆ACO ∼ ∆BOD v ∆OCD ∼ ∆BOD b) KỴ OI ⊥ CD (I ∈ CD), gäi K l giao ®iĨm cđa AD v BC Chøng minh r»ng IK // AC c) Gäi E l giao ®iĨm cđa OD víi IK Chøng minh r»ng IE = BD y Lêi gi¶i: a) XÐt ∆ACO v ∆BOD cã CAO = OBD = 900 (gt)   D  AOC = BDO (cïng phô BOD)  x ⇒ ∆ACO ∼ ∆BOD (g – g) I CO AO CO OD CO OD (V× AO = OB) ⇒ = ⇒ = ⇒ = OD BD AO BD OB BD C K XÐt ∆OCD v ∆BOD cã  CO OD =  ⇒ ∆OCD ∼ ∆BOD (c – g – c)  OB BD B A COD = OBD = 900 (gt) O  b) Ta cã ∆ACO ∼ ∆BOD ⇒ ACO = BOD ∆OCD ∼ ∆BOD ⇒ DCO = BOD Do ®ã ACO = DCO E XÐt ∆CAO ( CAO = 900 ) v ∆CIO ( CIO = 900 ) cã:  ACO = DCO  ⇒ ∆CAO = ∆CIO (C¹nh hun – gãc nhän) ⇒ CA = CI Chøng minh t−¬ng tù ta cịng cã  CO chung  ∆DBO = ∆DIO (C¹nh hun – gãc nhän) ⇒ DB = DI CA ⊥ AB (gt) DK DB DI ⇒ CA // DB ⇒ (HƯ qu¶ định lí TaLets) Mặt khác = = AK CA CI DB ⊥ AB (gt) DK DI Tõ ®ã ta có suy IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes) = AK CI c) Theo câu b) ta cã IK // AC m AC // BD nªn IK // BD ⇒ IED = BDE (so le) MỈt khác DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) BDE = IDE Do ®ã IED = IDE ⇒ IED cân I IE = ID m ID = BD (Theo c©u b) VËy IE = BD 22 23 2n+1 22014 + + + + + + n 2013 2013 + 20132 + 20132 + 2013 + 2013 + 1 So s¸nh S víi 1006 x ( y + 1) − x ( y − 1) x x 2x x x 2x Lêi gi¶i: Ta cã − = = ⇒ = − y −1 y +1 y −1 y +1 y −1 y −1 ( y − 1)( y + 1) C©u 5: Cho S = 2013 Lần lợt thay x 2; 22; 23; …; 22014 v y bëi 2013; 20132; 20132 ; ; 20132 đợc 22 22 23 22014 22015 S= − + − + + − = 2013 2014 2013 − 20132 − 20132 − 20132 − 20132 − 2013 − 1 22015 1 = − < VËy S < 22014 1006 2013 − 1006 1006 Lêi gi¶i: Ngun Ngäc Hïng – THCS Ho ng Xu©n H·n ... nguyên; n – 28n = (2k) – 28( 2k) = 8k – 56k 2 = 8k ( k – 7) = 8k( k – –6 ) = 8k(k2-1) – 48k = 8k(k-1)(k+1) – 48k k(k-1)(k+1) tích ba s nguyên liên ti p có m t s chia h t cho 2; m t s chia h t cho... trình ch m nhóm th ng nh t chi ti t áp án chia nh i m n 0,25 - H c sinh có cách gi i khác áp án n u úng v n cho i m t i a ph n y Tr n Văn H ng PGD& T THI H C SINH GI I TOÁN L P Bài 1: (2 i m) ... DOC = ( S AOD ) Thay s có 20 082 .20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 20 08. 2009 Do ó SABCD= 20 082 + 2.20 08. 2009 + 20092 = (20 08 + 2009)2 = 40172 ( ơn 0,5 v DT) THI H C SINH GI I TOÁN L P Bài 1(3 i m): Tìm x