Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 (có đáp án chi tiết)

... CD + DA2 = AC + BD (Đpcm) ( Chú ý: làm chi u cho 0,75 đ) ) 0 ,25 0 ,25 0 ,25 1,00 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 1,0 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 1,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 b Tìm tất tam giác ABC thỏa mãn: 1... A H Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa N 0 ,25 0 ,25 0 ,25 SỞ GD&ĐT KONTUM —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không... = y = z= 0.5 0 .25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KonTum ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang)

Sở Giáo Dục & Đào Tạo TP HỒ CHÍ MINH KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4

Trường THPT Chuyên Môn thi : Toán - Khối : 10

Thời gian làm bài : 180 phút

Ghi chú : – Thí sinh làm mỗicâu trên mô ̣t hay nhiều tờ giấy riêng và ghi rõ câu số … ở trang 1 của mỗi tờ giấy làm bài

– Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay

Bài 2 (4 điểm): Cho đườ ng tròn (O) đường kính AB , C là điểm di đô ̣ng trên (O) không trùng với A

và B Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau ta ̣i N, AN cắt (O) tại D khác A Tiếp tuyến của (O) tại D cắt CN ta ̣i P Chứng minh rằng P di đô ̣ng trên mô ̣t đường cố đi ̣nh khi C di

đô ̣ng trên (O)

Bài 3 (3 điểm): Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý Chứng minh :

có nghiệm nguyên dương x , y

Bài 5 (3 điểm): Cho trước số nguyên dương n 2 Trong một giải đấu cờ vua có 2n vận động

viên tham gia, mỗi người đấu với người khác đúng một ván Tại một thời điểm trong giải, người ta thấy có n 2 1 ván đấu đã diễn ra Chứng minh rằng khi đó có thể chọn ra ba vận động viên sao cho hai người bất kỳ trong ba người được cho ̣n đều đã thi đấu với nhau

Bài 6 (3 điểm) Cho hàm số f: N*  N*\{1} (N* là tập hợp các số nguyên dương) thỏa mãn:

f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) – 168

Tính f(2014)

Hết

www.VNMATH.com

ĐÁP ÁN TOÁN 10

Bài 1 (4 đ): Giải hệ phương trình sau

3

5x 2xy 2y 2x 2xy 5y 3(x y) (1) 2x y 1 2 7x 12y 8 2xy y 5 (2)

Vì x ≥ 0 nên (*) vô nghiệm Do đó (3)  x = 0 hay x = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( , )x y  0; 0 , 1;1    0.5

Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm di động trên (O) không trùng với A và

B Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại N, AN cắt (O) tại D khác A Tiếp

tuyến của (O) tại D cắt CN tại P Chứng minh rằng P di động trên một đường cố định

khi C di động trên (O)

∑=4

Xét hệ trục Oxy sao cho A(0; 1), B(0; –1)

Ta có:

(O): x2 + y2 = 1; C  (O) nên C(cost; sint)

Vì C không trùng A và B nên cost ≠ 0

CP là tiếp tuyến của (O) tại C

Ta có D = AN  BD nên tọa độ D thỏa hệ:

0,5

P D

N O

B

A

C

www.VNMATH.com

2x cos t (1 sin t)y 1 sin t (1 sin t)x 2y cos t 2 cos t

t.y – 1 = 0 (Do DP là tiếp tuyến của (O) tại D)

 4cost.x + (5sint – 3).y = 5 – 3sint

0,5

Vì P = DP  CP nên tọa độ P thỏa hệ:

4 cos (5sin 3) 3sin 5 cos sin 1

Tương tự ta có:

1 2

3 3 7

Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình x2y2 x ykxy (1)

Không mất tính tổng quát, giả sử xy Xét giá trị k nguyên dương sao cho

phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương Trong các nghiệm ấy ta gọi

x0 ; y0 là nghiệm sao cho x0 y0 1 và x0y0 nhỏ nhất 0,5 Bài 4

Vì f x  là bậc 2 nên f(x) còn có thêm một nghiệm là x1 Do đó (x1; y0) thỏa (1)

nên (x1; y0) là một nghiệm của (1)

+ Với k 3 thì (1)  x2 + y2 + x + y = 3xy có nghiệm x y ;  2; 2

+ Với k 4 thì (1)  x2 + y2 + x + y = 4xy có nghiệm x y ;  1; 1 0,5

Cho trước số nguyên dương n  Trong một giải đấu cờ vua có 2n vận động viên 2

tham gia, mỗi người đấu với người khác đúng một ván Tại một thời điểm trong giải,

người ta thấy có n  ván đấu đã diễn ra Chứng minh: khi đó có thể chọn ra ba vận 2 1

động viên sao cho hai người bất kỳ đều đã thi đấu với nhau

∑ = 3.0

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

● Với n = 2: Giả sử bốn vận động viên tham dự là , , ,A B C D và có 5 ván đấu đã diễn

ra

Nếu hai trong ba người , ,B C D đều đã đấu với nhau một ván thì ta có đpcm

Nếu có hai trong ba người B C D chưa đấu với nhau Giả sử B và C chưa đấu với , ,

nhau thì do số trận tối đa là C – 1 = 5 mà đã có 5 ván diễn ra nên chỉ có B và C là 24

chưa đấu với nhau Khi đó ba người , ,A B D và , , A C D thỏa mãn yêu cầu bài toán

1.0

● Giả sử bài toán đúng với n = k k  * ,k  2

● Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1

Giả sử E và F là hai vận động viên đã đấu với nhau

Nếu tổng số ván đấu giữa 2k vận động viên còn lại lớn hơn hoặc bằng k2 + 1 thì theo

giả thiết quy nạp ta có đpcm

1.0 Bài 5

Nếu tổng số ván đấu giữa 2k vận động viên còn lại nhỏ hơn hoặc bằng k , mà tại thời 2

điểm này có (k + 1)2 + 1 = k2 + 2k + 2 ván đấu đã diễn ra nên tổng số ván mà E và F

đã đấu lớn hơn hoặc bằng 2k + 2 ( kể cả ván đấu giữa E và F ) Suy ra số ván đấu

giữa E, F với nhóm 2k vận động viên kia lớn hơn hoặc bằng 2k + 1 (*)

Nhận xét: Nếu không có người nào trong nhóm 2k vận động viên đã thi đấu với cả E và

F thì số ván thi đấu tối đa là 2k (mâu thuẫn với (*))

Do đó, trong số 2k vận động viên còn lại, phải có ít nhất một người đã đấu với cả E và

F (giả sử người này là G) Khi đó ta có 3 vận động viên , , E F G thỏa yêu cầu bài toán

Vậy bài toán được chứng minh

Điều này không thể xảy ra Vậy f(3) = f(1) suy ra f(2k + 1) = f(2k – 1) = a 0.5 Tương tự f(2k + 2) = f(2k) = b với a, b  N*; a, b ≥ 2

0.5

Chú ý:

Nếu học sinh làm bài 1 theo cách sau thì biểu điểm bài 1 như sau:

Bài 1 (4 đ): Giải hệ phương trình sau

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( , )x y  0; 0 , 1;1   

0.5

www.VNMATH.com

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình :

Câu 5 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M(1;-1) là trung điểm của BC,

Đáp án và biểu điểm Môn Toán lớp 10

Pt (1) là pt đẳng cấp bậc 3, giải pt thu được x 1

y  hoặc x 2

y   0.25 Giải pt được nghiệm là: x=2, x=2 2 3 .Kết luận 0.75

1

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Số báo danh:……… ……… ……….………

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x2 + 16y2 −x y2 2 = 14 xy

1

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN

* Bảng: A

* Lớp: 10

* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm)

Phương trình (2) có VT là số chính phương và VP là tích của 2 số nguyên

liên tiếp nên suy ra 1 0

x y

x y

x y

2 ( ) ( )

ĐỀ CHÍNH THỨC

BĐT đã cho tương đương với: a2013 + 2012 2013a (0.5đ)

+ Biến đổi và dùng BĐT Cô-si, ta có:

- Lập luận được A1, B1, C1 là các đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đường

kính OM (1.0đ)

3

- Lập luận được 2 2 2 2

3 2

OA +OB +OC = R (1.0đ)

- Vậy T = 18R4 (0.25đ)

-

HẾT -1

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Số báo danh:……… ……… ……….………

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x+ y = 2x y+ + 2.

1

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN

=

12

22

t y x

t xy

2 ( ) ( )

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 5: (4 điểm)

- Xác định được I(-2; -1) và bán kính của (C) là R = 2 (0.5đ)

3

- Viết được công thức tính diện tích của tam giác IAB: 1 2

.sin2

−

+ (0.5đ)

034

m m

HẾT -SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho học sinh THPT không chuyên

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 4 (3,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng OA OB OC+ + =OH

uuur uuur uuur uuur

và ba điểm O, H, L thẳng hàng

2 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho

MAB=MBC=MCD=MDA=ϕ Chứng minh đẳng thức sau:

trong đó α là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm

(1; 5 ,) 7 5; , 13 5;

    (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC) Tìm

tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q(−1; 1) và điểm A có hoành độ

dương

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

x

x x

0 -2

x y

x y xy

x y

x y xy

t x t

t y

C

A

B

0,5

Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của

BC cũng là trung điểm của HD, trong tam giác AHD có OK là đường trung bình nên

N

M

C B

A

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập

được phương trình này là: 2 2

Suy ra pt AC: 2(x−1)+ − =y 5 0⇔2x+y − = Khi đó tọa độ A, C là nghiệm 7 0

TRƯỜNG THPT KON TUM

2.Giải hệ phương trình: ( )

2 2

2 2

1 Biết đồ thị (P) của hàm số (1) có trục đối xứng x = 2 và có đỉnh nằm trên trục Ox

Hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P)

2 Tìm trên (P) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai trục tọa độ nhỏ nhất

-HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Chú ý:

1.Trong đề toán này có nhiều bài mà phương pháp giải có nhiều lựa chọn, do đó giáo viên chấm cần để ý kĩ cách giải của học sinh để xây dựng một đáp án phù hợp cho cách giải khác

2.Bài toán có nhiều ý độc lập nhau thì học sinh làm đúng bước nào thì cho điểm bước đó, nếu ý sau liên quan tới ý trước mà ý trước sai thì không chấm tiếp các ý còn lại

6 0

( )2

( )

2 2

1

(1) 6

a b

84

298

Gọi A là giao điểm của (P) với Oy ta có A(0;4), M

Ta chứng minh n = 3 là bậc nhỏ nhất cần tìm Thật vậy vì không có đa thức bậc

nhất với hệ số nguyên nhận x = 33 1+ làm nghiệm, giả sử tồn tại đa thức bậc hai

với hệ số nguyên nhận x = 33 1+ làm nghiệm là ax +bx+c khi đó tồn tại đa

thức với hệ số nguyên mx + n sao cho ( ) ( 2 )

( )

P x = mx+n ax +bx+c bằng cách đồng nhất hệ số ta thấy không tồn tại m, n, a, b, c nguyên

Gọi O là giao điểm hai đường phân giác

Ta có: AD BC sinADB=BE AC .sinAEB

mà AD BC =BE AC ⇒sinADB=sinAEB

TH1: Nếu ADB= AEB thì A,E,B,D cùng nằm trên một đường tròn do đó

EAD=EBD tức là A=B, điều này trái với giải thiết bài toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng 

là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2xy 1 0; Khoảng cách từ C đến  gấp 3 lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung

b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi  là góc giữa hai đường trung tuyến BM

và CN của tam giác Chứng minh rằng sin 3

Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng

b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b IB c IC 2a IA2 2 20

; Tìm điểm M sao cho biểu thức

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

m 1 1

    m  2; m  0

0,25 0,25

x  x   x , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 1 x 2

(1;2) (2 ;3)

5

2 a

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng  là

đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x    ; khoảng cách y 1 0

từ C đến  gấp 3 lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ của A và C biết C

 , theo bài ra ta có

Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, chú ý C khác phía B đối với  suy ra C(0;-8)

0,25 Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua  thì B’nằm trên AC

Do BB '  

u  (1; 2) 



nên ta có: a  2b 3   ; 0 Trung điểm I của BB’ phải thuộc  nên có: 2a   b 2  0

Xét các tam giác vuông ABC vuông ở A, gọi  là góc giữa hai đường trung

tuyến BM và CN của tam giác Chứng minh rằng sin 3

5

Gọi a, b và c tương ứng là độ dài các cạnh đối diện các góc A, B và C của tam giác Có

5(b c ) 5 (4c b )(4b c )

E

G B

M N

(x.IA  y.IB  z.IC )(x   y z)  xyc  xzb  yza

Từ đó có ( 2a IA 2 2b IB2 2c IC )2 2 3b c2 2

0,25

Mặt khác xMA2 x(IA    IM)2 x(IM2 IA2 2IA.IM)  

Tương tự cho yMB2; zMC2 rồi cộng các đẳng thức đó lại ta có

2 2

2x 1 2x 2(a) 2x 1 4x(b)

       Điều này luông đúng

Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z= 3 0,25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1 (5 điểm) Giải phương trình

a) sin 2x 2 sin 3x cos x 2

cos x2cos x2 2sin x 3

Câu 3 (4 điểm) Cho tập hợp A 0;1; 2;3; 4;5;6;7 Hỏi từ tập A có thể lập

được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho:

a) Số này là số chẵn có các chữ số khác nhau đôi một

b) Số này là số lẻ có các chữ số đôi một khác nhau và chữ số đứng ở vị trí

thứ 3 luôn chia hết cho 6

Câu 4 (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với

đường cao kẻ từ B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương

trình là 3x + 4y + 10 = 0 và x – y + 1 = 0; điểm M(0; 2) thuộc cạnh AB đồng

thời cách điểm C một khoảng bằng 2

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 5 (2 điểm) Chứng minh rằng: Nếu 1

SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG – NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán 10

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số 2

b) Tìm giá trị lớn nhất của góc A khi α =2( 2 1− )

Câu 4 (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A1(− −1; 2 ,) B1(2; 2 ,) C1(−1; 2)

a) Tìm tọa độ điểm M ∈Ox sao cho 0

1 1 45

MA B =

b) Tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự là A B C1, 1, 1 Viết

phương trình cạnh BC của tam giác ABC

Câu 5 (2 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x+y+z=3 Chứng minh rằng

4

x + y +z +xyz≥

ĐT 0.5

9/22

4

m

m m m

x x

x y

3a)

2đ

coscot

A b c a b c a A

uuuur uuuur uuuur uuuur

uuuur uuuur uuuur uuuur

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2

( x − 2) + ( y + 3) = 9 và điểm (1; 2) A − Đường thẳng ∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

1 a Tìm m: y = x2 + 2 mx − 3 m và y = − 2 x + 3 cắt nhau tại hai điểm

Yêu cầu bài toán ⇔ PT sau có hai nghiệm dương phân biệt

4

m m

Chứng tỏ TH2 vô nghiệm KL (1) có 1 nghiệm 3 3

Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại

B Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB( xA; y >B 0 ) 1,00

Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0 PT đường thẳng AB: x y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN 1,0

(C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3 Có A nằm trong đường tròn(C) vì

Tứ giác lồi ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC ⇔ AB − DC = 0

uuur uuur uuur uuur r

( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ) 0,25