Tuyển tập 40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)

Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho.. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho di

=+ có   th (C)

Cho hình chóp S ABCD có  áy ABCD là hình thang (AD/ /BC), H là trung  i m

c a AB Bi t r! ng tam giác SAB   u c nh 2a và n! m trong m" t ph ng vuông góc v# i  áy,

(x−3) + +(y 4) =9 1/ Tìm t% a  & tr* c tâm c a tam giác ABC

10,( 1)

Gi i ph  ng trình: sin 2x−cos 2x+3sinx−cosx− =1 0

cos 2x= −1 2 sin x,   a v : 2

2 sin x+sin (2 cosx x+ −3) cosx− =2 0

+ s inx+ cosx= −2, vô nghi

m vì s inx+ cos 2 os( ) 2

4

x = c x−π ≤

0,5 0,5

1 Tìm   ( c tâm  t ngo i ti p tam giác AEF: I(3; -4); bán kính R = 3

Ch) ra   ( c t giác AEHF n& i ti p trong   ng tròn    ng kính AH

0,5 0,5

2 2

x

++



" t 2

5

x

t x

f x + 0 - - 0 + ( )

f x -2

−∞

52

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

THANH HÓA Năm học 2013 – 2014

Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp 12 BỔ TÚC THPT

Ngày thi: 21/03/2014

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi này có 01 trang, gồm có 5 câu

Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số   3 2  

y   m x  mx   m x  có đồ thị (Cm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1

2 Tìm m để đường thẳng d: y = - 2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; -2), B và

C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 13

8 49, ( , 3)

A  C C  nN n .

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0

và đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0 Gọi I là giao điểm của (d) và (d') Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc

a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho

b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính giá trị cos BMD

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;1), B(2;0;6),

C(3;2;0) , D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

THANH HÓA Năm học 2013 – 2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ( Đề chính thức )

Lớp 12 BỔ TÚC THPT

Ngày thi: 21/03/2014 Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang

fCĐ = f(1) = 2

fCT = f(3) = -2 Khi y’’ =6x-12=0 x2=>y=0 Khi x=0=>y=-2

2 Tìm m để đường thẳng d: y= - 2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0;-2), B và

C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 13 (2,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm là:

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt A(0;-2), B và C vậy phương trình (2)

có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ta có điều kiện:

0,50

Gọi h là khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d: y + 2 = 0 => h = 2

14

m m

2 2 cos 2

x x

x x

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0 và

đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0 Gọi I là giao điểm của (d) và (d') Viết

phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc bằng 60o (2,0 điểm)

Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ  

3x

7 1415x 8y 41 0 y 83

Gọi  là đường thẳng cần tìm, n(A; B)

(A2 + B2 > 0) là véc-tơ pháp tuyến của



Khi đó, do Ox có véc-tơ pháp tuyến j(0;1)

nên từ giả thiết bài toán ta có:

o

| B |1

a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho

b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính giá trị cos BMD

(2,0 điểm)

Từ giả thiết suy ra SAC cân, SBD đều cạnh bằng a

Gọi H = AC  BD  SH là đường cao của hình chóp S.ABCD

0.50

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;1); B(2;0;6);

C(3;2;0) ; D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều

C, D

(2,0 điểm)

+ Nếu C, D nằm cùng phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi CD//(P)

 ,  ( 12;18;6) (2; 3; 1))

2

;2

;4(),5

;1

;1

Pt (P) là 2(x1)3(y1)1(z1)02x3yz20 0,50 + Nếu C,D nằm khác phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi (P) đi qua trung

điểm M(5;3;1) cuả CD

 ,  ( 10;20;6) ( 5;10;3))

0

;2

;4(),5

;1

;1

1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định

2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm

3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn

 với m là tham số Chứng minh rằng, với mọi m khác 0 đồ thị

hàm số luôn cắt đường thẳng d: y3x3m tại hai điểm phân biệt A, B Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 lần diện tích tam giác OCD

Câu 4 (2.0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo bởi đường cao SH của hình

chóp và mặt bên bằng  Tìm  để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất biết a cố định,  thay đổi

Câu 5 (3.5 điểm)

1 Tính S C 020142C120143C22014  2014C201320142015C20142014

2 Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một

số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau

Câu 6 (1.5 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x y z xyz   và x1,y1,z1 Tìm giá trị nhỏ nhất

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

1

3 2

3 31

9 12 00

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2014 - 2015

Môn: TOÁN; Khối 12

(Đáp án – thang điểm gồm 05 trang)

2 08

(5.0 điểm) 1 (2.5 điểm) Giải phương trình:

PTcosx2cos x2  3sinx( cosx2  1) 4cos x cosx2 2 2( cos x2  1) 0

cosx( cosx2  1) 3sinx( cosx2  1) 2cos x( cosx2 2  1) 0

( cosx2 1)(cosx 3sinx2cos x)2 0

2 (2.5 điểm) Giải hệ phương trình:

Điều kiện: x,y

g(u) u

u

 với u0

 Hàm số g(u) đồng biến trên 0[ ; ) g(u)g( )0 0

Suy ra: f '(t)3g(t )2  0 Hàm số f(t) đồng biến trên 

Thử lại ta thấy x 61;x30là nghiệm của phương trình

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 30 30( ; ),(61 61; ) 0.5

3

(3.0 điểm) Tìm tọa độ giao điểm … Gọi MAIBC.

Giả sử ABx (x0), R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC

Do tam giác ABC đều nên

Do tam giác ABC đều nên trực tâm I là tâm đường tròn ngoại tiệp và nội tiếp

tam giác ABC 1 1 3 3

Tung độ giao điểm của d1và (C) là nghiệm của phương trình:

2 (2.0 điểm) Có bao nhiêu số …

Số phần tử của không gian mẫu là: 5

9

 Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số khác 0 là 3

9

C Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:

0.5

▪ TH1: Hai chữ số còn lại cùng là chữ số a hoặc b hoặc c có: 3 cách

Xếp 3 chữ số giống nhau vào 3 vị trí trong 5 vị trí có: C35 cách

Xếp 2 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại có: 2 cách

Số các số thỏa mãn TH1 là: 3

5

3.C 260 (số)

0.5

▪ TH2: Hai chữ số còn lại là chữ số a, b hoặc b, c hoặc c, a có: 3 cách

Xếp hai chữ số giống nhau thứ nhất vào 2 vị trí trong 5 vị trí có: C52 cách

Xếp hai chữ số giống nhau thứ hai vào 2 vị trí trong 3 vị trí còn lại có: C32 cách

Xếp chữ số còn lại vào có: 1 cách

0.5

90 60

0 2139

S GIÁO D
C VÀ  ÀO T O K



THI CH N H C SINH GI I C P T NH THPT BÌNH PH C N M H C 2013 - 2014

m) Cho hình chóp S ABCD có  áy ABCD là hình ch0 nh% t,

tam giác SAB  u c) nh a và n6 m trong m+ t ph, ng vuông góc v* i  áy Góc gi0 a m+ t ph, ng (SCD và )

S GIÁO D
C VÀ  ÀO T O H

 

NG D N CH M THI CH N H C SINH GI I BÌNH PH

y x

−

− nên ta có h$ s góc ti p tuy n k = -1

0,5

0 2

0 0

11

1

31

x x x

3 sin 2 x + tan 2 x + sin 4 x = 0

cos 2 1 0

sin 2 0

1cos 2

2

3

x x

K  # ng th, ng d  i qua A và d//BD Trong m+ t ph, ng (ABCD) k  # ng

th, ng ∆  i qua H , ∆ ⊥ d và ∆ c" t d t) i J, ∆ c" t BD t) i I trong (SHI) k HK vuông góc v* i SI t) i K

V% y ( , )

3 4

4

2 162

1( )2

a b c

a b c a b c c

= ∀ ≥n 1 Khi  ó ta có dãy m* i ( ) xn  ( c xác  nh b i:

1 2 1

n

u u

S GIÁO D
C VÀ  ÀO T O H

 

NG D N CH M THI CH N H C SINH GI I BÌNH PH

y x

−

= <

− nên ta có h$ s góc ti p tuy n k = -1

0,5

0 2

0 0

11

1

31

x x x

2 k: cos 2 0 tan 2 sin 2 0

cos 2 1 0

sin 2 0

1 cos 2

2

3

x x

K  ư ng th, ng d  i qua A và d//BD Trong m+ t ph, ng (ABCD) k  # ng

th, ng ∆ i qua H , ∆ ⊥ d và ∆ c" t d t) i J, ∆ c" t BD t) i I trong (SHI) k HK vuông góc v* i SI t) i K

V% y ( , )

3 4

4

2 162

1( ) 2

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Cho phương trình: x2−(2cosα−1)x+6cos2α−cosα− =1 0 (1)

a) Tìm α để phương trình (1) có hai nghiệm x x 1, 2

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

-Hết -CHÍNH THỨC

Khi chia n cho 9, ta có số dư r∈{0;1;2;3;4;5;6;7;8} (0,5đ)

Ta thấy với r = 1, r = 2, r = 3, r = 4, r = 5, r = 6, r = 7 thì số dư khi chia ( 2 )

2 Bảng A – Ngày 2

Đặt t=cosα, 1 1

− ≤ ≤ thì A= −8t2− +2t 3 Xét hàm số f t( )= −8t2− +2t 3, ta có ( ) 16 2; ( ) 0 1

8

f t′ = − t− f t′ = ⇔ = −t (1,0đ) BBT

( )

f t

258

Từ giả thiết suy ra AB=BD và ED=EA

Đường thẳng BE là trục đối xứng của hai điểm A và D (1,0đ)

Theo giả thiết, ta cũng có các tam giác BCD và AEF là các tam giác đều được dựng

trên BD và AE về phía ngoài tứ giác lồi ABDE

Gọi C’ đối xứng với C và F’ đối xứng với F qua BE

Các tam giác ABC’ và DEF’ đều (1,0đ)

Các điểm C’ và G nằm khác phía với AB, H

và F’ khác phía với DE

Các tứ giác AGBC’ và DF’EH nội tiếp (1,0đ)

C'

G

F' C'

F

A

D B

E

C

G H

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Cho tập hợp M ={1;2;3; ;2011} Hỏi trong tập hợp M có bao nhiêu phần tử

chia hết cho ít nhất một trong ba số 2, 5 và 11?

1 Bảng A-Ngày 1

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)

CHÍNH THỨC

Gọi A là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 2

Gọi B là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 5 (1,0đ)

Gọi C là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 11

Ta cần tính A∪B∪C

Áp dụng công thức:

C B A C A C B B A C B A

C

B

A∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ (1,0đ) Theo giả thiết ta có:

10052

Do đó: A∪B∪C =1005+402+182−201−36−91+18=1279 (1,0đ) Vậy số các số cần tìm là 1279

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Cho phương trình: x2−(2cosα−1)x+6cos2α−cosα− =1 0 (1)

a) Tìm α để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

A x= + x

Câu 3 (7 điểm):

Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M và K tương

ứng sao cho BAMn=MAKn Chứng minh rằng BM + KD = AK

(Gồm 01 trang)

-Hết -CHÍNH THỨC

1 Bảng B – Ngày 2

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)

và (232012−42012)#(23 4+ ) ( 0,5đ ) ⇒(232012−42012)#27 ( 0,5đ ) nên A#27 ( 0,5đ )

Mặt khác (262012−42012)#(26 4− ) ( 0,5đ ) ⇒(262012−42012)#22 ( 0,5đ )

và (232012−1 23 1)#( − ) ( 0,5đ ) ⇒(232012− #1 22) ( 0,5đ )

Do đó A#22 ( 0,5đ )

Mà (27, 22)=1 ( 0,5đ ) nên A#(27.22) hay A#594 ( 0,5đ )

2 Bảng B – Ngày 2

Đặt t=cosα, 1 1

− ≤ ≤ thì A= −8t2− +2t 3 Xét hàm số f t( )= −8t2− +2t 3, ta có ( ) 16 2; ( ) 0 1

8

f t′ = − t− f t′ = ⇔ = −t (1,0đ) BBT

( )

f t

258

Theo tính chất phép quay ta có: nBMA DM A=n' (0,5đ)

C D

A

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu

thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài Hỏi có bao

nhiêu thí sinh dự thi?

1 Bảng B-Ngày 1

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)

Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất (0,5đ)

Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai (0,5đ)

Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba (0,5đ)

Ta cần tính A∪B∪C

Áp dụng công thức:

C B A C A C B B A C B A C

B

A∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ (1,0đ) Theo giả thiết ta có: A =25, B =20, C =14, A ∩ B =12, B ∩ C =10, A ∩ C =7,

(Gồm 02 trang)

CHÍNH THỨC

(1,0đ)

(0,5đ)

S GD- T HÒA BÌNH



CHÍNH TH C

THI CH N H C SINH GI I C P T NH L

xy

x (C)

1 Vi t ph ng trình ti p tuy n c a   th (C), bi t ti p tuy n song song v i   ng

th ng y= − +5x 10

2 Tìm t t c các giá tr c a m     ng th ng y=m x( − +2) 2 c t   th t i hai  i m phân bi t A, B sao cho  o n AB có   dài b

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

H và tên thí sinh: S báo danh:

H và tên giám th Ch' kí

0, 5

0, 5

  ng th ng y=m x( − +2) 2 c t   th (C) t i hai  i m phân bi t A, B khi và ch khi + = − +

A x y B x y trong  ó x x1, 2 là hai nghi m c a (*)

2

020( 1)

m m

1

Ta có ph ng trình  ã cho có nghi m x∈[0; 2π] là ; 5

2 2

2 2

2 2

3a 43b 4

b a

b − + =b vô nghi m

0,5 0,5

+  ng tròn 2 2

(x+1) + −(y 3) =8 có tâm I( 1;3)− bán kính R=2 2+ A thu c d nên A x( ; 2−x)

3 ( )

x x

n (2; 2)

IA= −

uur

// ur(1; 1)− làm véc t pháp tuy n có ph ng trình:

x− + =y 4 0 + T a   giao  i m D, C th% a mãn ph ng trình:

H

Xác  nh kho ng cách và tính 
c kho ng cách t$

A  n m t ph ng (A’BC) là AH’

2

a

=

1,5

h a

a h

⇒ =

+

3 ' ' '

3a 2.AA '

báo danh: Phòng thi:

H
NG D N CH M THI H C SINH GI I C P TNH MÔN TOÁN - L
P 12 THPT N M H C 2009 - 2010

' 1

1

m y

t m

t

−

=+ v i t∈[ ]1; 2 (*) Xét hàm s

( ) 2 2

S GD - T HÒA BÌNH



CHÍNH TH C

THI CH N H C SINH GI I C P T NH L

1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

y=sin3 x−cos 2x−7 sinx+2

2 Cho hàm số = −

−

2 11

xy

x (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

x − y − = ;7 x − 4 y − = 8 0,và đường thẳng CG đi qua điểm E( 4;1)−

Viết phương trình đường cao AH

Câu 4 (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

x + mx+ = x−

Câu 5 (4 điểm)

Cho hình chóp S ABCD có SA=x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a

1 Chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC)

2 Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S ABCD bằng

326

Đặt t=sinx điều kiện t ≤1

Bài toán trở thành tìm GTLN-GTNN của hàm số 3 2

y= +t t − +t trên đoạn [ ]−1;1

1

(5 )

2

Cách 1: Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M x y( ;0 0) cắt Ox tại A và Oy

tại B sao cho OA=4OB Do ∆OAB vuông tại O nên tan A 1

4

OB OA

x x

2 24

x x

x x

1 212

x x

Kẻ EF song song với BC (F∈BG) Vì tam giác ABC cân tại A nên đường

cao AH là trung trực của EF

Phương trình đường thẳng EF: 1 x( + −4) (2 y 1− = ⇔ −) 0 x 2y 6+ =0

Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ

Tọa độ trung điểm I của EF: I 0;3 Phương trỡnh đường trung trực của EF: ( )

S

Các tam giác ABD, BCD,SBD là các tam giác cân bằng nhau có đáy BD

chung nên OA=OC=OS Do đó ∆ASC vuông tại S

0,5

1,0

1,0

C©u

6

(1 )

2 sinAsin (1 cos )B − C =1

[cos(A B) cos(A B) (1 cos )] C 1 [cos(A B) cosC](1 cos )C 1

Do cos(A B− ) 1≤ ⇒cos(A B− ) cos+ C≤ +1 cosC

2(*) (1 cos )(1 cos ) sin 1 (*)

Vậy đẳng thức xảy ra

0 0

...   dài b

Cán coi thi khơng giải thích thêm

H tên thí sinh: S báo danh:

H... N CH M THI H C SINH GI I C P TNH MƠN TỐN - L
P 12 THPT N... 

CHÍNH TH C

THI CH N H C SINH GI I C P T