40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)

Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng d≤ a+b Câu 4: Cho tứ giác ABCD, đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD tạ

§Ò thi häc sinh giái líp 9 Bµi I (2®)

Rót gän A

a

a a

a

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1

−

−

− + + +

x3 =7x +3y

y3 = 7y+3x

Bµi III (3®)

Cho x,y,z lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ x+y+z =1

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = xy+yz+zx

Thay a =

4

3 vµo A ta cã:

1 3 3

3 2 3 3

3 2 1 3 2

3 2 1

3 2 )

1 3 ( 2

3 2 3

2 4 2

3 2 3

=

−

− + +

+

= +

−

− +

+ +

y3 = 7y+3x (2)

Lấy (1) - (2) ta được: (x-y)(x2 + xy+ y2 -4) =0 (1đ)

* Với x = y kết hợp với phương trình (1) x3 =7x +3y

* S1 = 0 => P1 = - 4 Khi đó x,y là nghiệm của phương trình (0.5đ)

2

13 1

2

13 1

X2 + X -3 = 0 => x =

2

13 1

- +

hoÆc x =

2

13 - 1 -

2

13 1 -

y =

2

13 1

- +VËy hÖ ®c cho cã 9 nghiÖm

z 2

x2 y2 2 y2 2 +z2

+ + + +

≥ xy+yz+zx (1®)

Hay tø gi¸c DCPQ néi tiÕp

phòng Giáo dục & Đào tạo

Năm học 2013 - 2014

Môn thi : Toỏn

Thời gian làm bài : 150 phút

(không kể thời gian giao đề )

Bài 1 ( 5 điểm )

1 Chứng minh rằng: Nếu n là số nguyờn thỡ n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30

333

2010

2012

2 2012

1

f f

f f

2 2

3 3

y x

y x y x

2 Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y)

Bài 3 ( 3 điểm )

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món điểu kiện

20141

11101

b

225

12

25

12

25

1

a ca c

c bc b

b ab

+++

++

+

Bài 4 ( 6 điểm )

Cho hai đường trũn ( O; R) và ( O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B Từ một điểm C thay đổi trờn tia đối của tia AB Vẽ cỏc tiếp tuyến CD; CE với đường trũn tõm O ( D; E là cỏc tiếp điểm và E nằm trong đường trũn tõm O’) Hai đường thẳng AD và AE cắt đường trũn tõm O’ lần lượt tại M và N ( M và N khỏc với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:

2

+

−++

−

x

y y

x

là số nguyờn Chứng minh rằng : x2y22 – 1 chia hết cho x + 1

Đề chính thức

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

Thanh oai H−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9 vßng II

N¨m häc 2013 - 2014 M«n thi : To¸n

Bài 1

(5đ) 1, A= n

5 + 5n3 – 6n = ( n5 – n ) + ( 5n3 – 5n) = n( n - 1)( n + 1)( n2 +1) - 5n( n + 1)( n - 1)

Mỗi số hạng của A đều chia hết cho 6 và 5 mà ( 5; 6) = 1

nên AM 30

3)1

)1(

x x

x

−+

1

= 2 1

2 2012

2011 2012

1

f f

f f

2

1 1005 2012

1006 2012

1007 2012

1,5đ 1,0đ

1,5đ

1,0đ Bài 2

2 2

3 3

y x

y x y x

=+

−

1

1))(

3(

2 2

3 3

y x

y x y x

( 2 )

) 1 (

=+

=

−

02

020

2 2

y xy x

y x

y x

* Nếu x – y = 0 -> x = y thay vào (2) -> x = y =

2

2

− , y =

5

5

hoặc x =

5

5 2 , y =

5

5

−

1,5đ

5 2

; 5

5

; 5

5 2

; 2

2

; 2

2

; 2

2

; 2

Có 5a2 + 2ab + 2b2 = 4a2 + 2ab + b2 + (a2 +b2) ≥ 4a2 + 2ab + b2 + 2ab = ( 2a+ b)2

b a b

a b

ab a

≤+

≤++

29

112.9

12

12

25

1

2 2

c bc b

+

≤++

29

12

25

1

2 2

( z x)

a ca c

+

≤+

+

29

12

25

1

2 2

32

22

9

x z z y y

2014.33

201415

1,0đ

1,0đ

1,0đ

Bài 4

(6đ)

a, BDE = BAE, BAE = BMN -> BDE = BMN

-> BDI = BMI -> BDMI là tứ giác nội tiếp

-> MDI = MBI = ABE

BMI = BAE -> ∆MBI ∆ABE ( g.g)

-> đpcm

b, Q là giao điểm của CO và DE, K là giao điểm của OO’ và DE,

H là giao điểm của AB và OO’

x

=+

−1

y

=+

−1

1

2

) 0 , , 1 )

; (

; 1 )

; (

c b

a x

y y

x

=

+

=+

=+

−++

−

1

11

2

(K ∈ Z) -> ad + bc = bdk -> ad + bc M b, ad M b -> d M b ( vì (a; b) = 1)

Tương tự b M d -> b = d

x

y y

x d

c b

− +

−

1

1 1

1

2 2

( Vì x,y ∈ Z) -> ac = mbd -> ac M b -> c M b ( vì ( a; b) = 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CAO BẰNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

Họ tên, chữ ký của giám thị 1:………

ĐỀ BÀI (Đề gồm 01 trang)

Đề chính thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CAO BẰNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011

1 Giải hệ phương trình khi m= 2

2 Tìm m để hai đường thẳng x+y =m và mx+ y=1 cắt nhau tại duy nhất một điểm nằm trên Parabol: 2

2

y= − x

Câu 3: (5,0 điểm)

Cho đường thẳng (d): (m - 2) x + (m – 1) y = 1 ( m là tham số )

a Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định

b Khi m ≠ 2, m ≠ 1 tìm các giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đển đường thẳng (d) là lớn nhất

2 DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)

3 Diện tích tứ giác DEKI bằng một nửa diện tích tam giác ABC

Câu 5: ( 2,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

y = 3 − x + x + 6

Hết _

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………

Họ tên, chữ ký của giám thị 1:………

ĐỀ BÀI (Đề gồm 01 trang)

Đề số 02

Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9

+

+ +

1a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn A

Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả m%n x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B

Bài 3 : Cho phương trình

2

1 ) 1 ( 4

với∀m∈R

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2thoả m%n biểu thức

2 2 1 2 2

1x x x

x + đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này Bài 4 :

Một vận động viên bắn súng đ% bắn hơn 11 viên và đều trúng vào

vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt được là 109 điểm Hỏi vận động

vieen đó đ% bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?

Bài 5 : Giải phương trình

5 1 6 8 1

b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A ∈ (P)

Bài 7:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

1820 13

A S

S

ABC HIK = 1 ư cos 2 ư cos 2 ư cos 2Bài 9:

Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt

nằm trên

4 cạnh của hình vuông Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ

nhất

Bài 10 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát

tuyến PBC bất kì tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát

tuyến PBC quay quanh P

; 0

0 0

0

a a

a

a a

1 1 1

) 1 )(

1 (

1

1 1

) 1 (

1 1

) 1 (

3

ư

=

ư +

=

= + +

ư +

+ +

=

ư +

+ +

=

a a

a

a a a a

a a

a a a

a a a A

) 1 )(

1 )(

1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

y x

y y x x y

x

y x

Thay x+y = 1 theo giả thiết, ta được

0,25 đ

0,25 đ

y x

1 1

xy xy

xy y x xy

y x

V× x+ y=1 ⇒ y= 1 −x

xy=x(1-x)=-x2+x =

-(x-4

1 4

1 ) 2

1 2

≤ +

xy lín nhÊt b»ng

4

1khi vµ chØ khi x=y=

2 1

2

1 2 1

2 1 min = + = khi x=y=

2 1

,

>

+ +

2 4

4 2

1

2 1

m x

x

m x

x

1 1 ) 1 4

(

8 16 ) 2 4 ( 4

) (

.

2

2 2 1 2 1 2 2 1 2

=

+

= +

=

+

= +

m

m m m

m

x x x x x x x

x

2 1 2 2

0,5 ® Bµi 4

ư

= +

⇔

ư

= +

⇒

109 ) ( 9

109 9

9

9

109 ) ( 109 ) (

9 + < ⇔ + <

⇔ x y x y (3)

Từ (1) vầ (3) ta có 11<x+y<

9 109

= +

1

11 12

109 10

9

y

x y

x

y x

Vậy vận động viên đ% bắn 12 viên và kết quả là 11 viên

vào vòng 9 và 1 viên vào vòng 10

5 1 6 8 1

thì

5 2

1

2 1 2

1 (*)

ư

ư

⇔

x x

x x

thoả m%n điều kiện x≥ 1

- trường hợp xư 1 ư 2 < 0 ⇔ xư 1 < 2 ⇔ 1 ≤ x< 5

(*)⇔ 2 ư xư 1 + xư 1 = 2

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

2 1 2

1

5 3 1 2

1

5 ) 3 1 ( ) 2 1

=

ư +

ư

ư

⇔

= +

ư +

ư

ư

⇔

= +

ư +

ư

ư

⇔

x x

x x

x x

phương trình nghiệm đúng với mọi x∈[ )1 ; 5

kết hợp cả 2 trường hợp ta có tập nghiệm của phương

trình là x∈[ ]1 ; 5

0,25 đ 0,25 đ

Bài 6

(2đ)

a) phương trình hoành độ giao điểm của (p) và (d) là :

2 2

'

2 2

) 1 ( 4 4 8 4

0 4 8 4

1 2 4

1

+

= + +

m

m mx x

m mx x

Để (d)tiếp xúc với (p) thì ∆' = 0 ⇔ m= ư 1

b) (d) : y=mx-2m-1 ⇔ m(x ư 2 ) ư 1 ư y = 0

Nếu x=2 thì y=-1 với ∀m ∈ R

Vậy (d) luôn qua điểm cố định A(2;-1)

A∈(P)Vì toạ độ của A nghiệm đúng của phương trình (P)

(đpcm)

0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ

≤

m vì (m∈Z)

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

/ 1 1

2 2

2 2

n m

M T n m

( lo¹i v× (n ∈ Z) Víi m2 = 1vµ n2 = 1ph−¬ng tr×nh (*) cã c¸c nghiÖm :

1

; 1

1

; 1

1

n

m n

m n

m n

13

; 7

13

; 7

13

y

x y

x y

x y

BHK ABC

AKI ABC

HIK

CIH BHK AKI ABC HIK

S

S S

S S

S S

S

S S S S S

Hai tam gi¸c AKI vµ ABC cã chng gãc A nªn ta cã :

AB

AI AC

AK AB AC

AI AK S

AI A AC

ABC

cos

=

H

K

A I C

tương tự :

C CA

CH CB

CI S

S

B BC

BK AB

BH S

cos

cos

2

; 2

PN KC

PQ JK

MN IJ

QM AI

đỉnh của các hình chữ nhật có các cạnh song song với các

đường chéo của hình vuông , cụ thể như hình vẽ

0,75 đ

A M

B

BàI 10 : O2 T P O

B C

T1

O1

O3

Phần thuận : vì O1 đối xứng với O qua BC nên PO1 = PO là không đổi

⇒ O1 thuộc đường tròn (P; PO)

(0,5đ)

* Giới hạn :

Có 2 vị trí giới hạn của cát tuyến PBC đó là PT và PT1 là 2 tiếp

tuyến của (O;R) kẻ từ P Gọi O2 là điểm đối xứng của O qua PT;

O3 là điểm đối xứng của O qua PT1 thì O1 chỉ di động trên cung O2O3

của đường tròn (P;PO)

(0,5đ)

* Phần đảo : lấy một điểm O1 bất kì thuộc cung O2O3, OO1 là một dây

cung trong (P;PO), từ P kẻ đường thẳng PBC cắt (O;R) tại B, C và vuông

góc với OO1 thì theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung ta suy

ra O và O1 đối xứng nhau qua BC

(0,5đ)

* Kết luận :

quỹ tích điểm O1 là cung O2O3 của đường tròn (P;PO) (0,5đ)

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 1999-2000

MÔN TOÁN

( Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1:

Cho phương trình x2 − −x a= 0 ( a là tham số)

a, Gọi x x1; 2 là các nghiệm thực dương của phương trình Tìm GTLN

Cho tam giác ABC, các đường tròn (O), (I), (J) đôi một tiếp xúc với

nhau, (O) đi qua B,C; (I) đi qua C,A, (J) đi qua A,B Biết rằng tam giác có

các đỉnh là ABC đồng dạng với tam giác có các đỉnh là OIJ Tính số đo các

góc của tam giác ABC

Bài 4:

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AC=b, BC=a không đổi Trên

cạnh AB về phía ngoài tam giác dựng hình vuông ABDE Gọi O là tâm hình

vuông; M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC Tìm GTLN của tổng

OM+ON khi góc ACB thay đổi

……… Hết ………

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2000-2001

a, Giải hệ phương trình với a=2

b, Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

c, Tìm số thực a ≥1 sao cho hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn tổng

A=x+y+z đạt GTNN

Câu 2:

Chứng minh rằng nếu phương trình x4 − 2ax2 +b2 +c2 = 0 chỉ có đúng hai

nghiệm phân biệt thì a>0 và a8 ≤ 8(c8 +b8)

Câu 3: Hai số nguyên dương a,b thỏa mãn điều kiện a 1 b 1

+ là một số nguyên Gọi d là UCLN(a,b) Chứng minh rằng d≤ a+b

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD, đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường tròn

đường kính CD tại điểm M khác với giao điểm của hai đường chéo của tứ

giác Gọi P là trung điểm AB, Q là trung điểm CD Đường tròn tâm O1 đi

qua 3 điểm A,M,C cắt PQ tại điểm thứ hai K; đường tròn tâm O2 đi qua 3

điểm D,M,B cắt PQ tại điểm thứ hai L CMR

a, Bốn điểm O1,P,Q,O2 thuộc đường tròn

b, MK−ML = AB CD−

Câu 5:

Điểm P thay đổi trên các cạnh của tam giác ABC vuông tại A Tìm vị trí

của P sao cho tổng PA+PB+PC có GTNN

……… Hết………

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2001-2002

Câu 3: Giải hệ phương trình

3 3 3

a, Cho tam giác ABC, gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của tam

giác ABC D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO Chứng minh rằng

bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2002-2003

x x là hai nghiệm của phương trình x2 +(a2 + 3a− 2)x− 4 0 = Tìm các giá trị

của a khi biểu thức P nhận GTNN

Câu 4:

Một đường tròn (O) đi qua đỉnh C của tam giác ABC và tiếp xúc với

đường thẳng AB tại B Đường tròn này cắt AC và trung tuyến CM của tam

giác ABC lần lượt tại D và E Tiếp tuyến tại C và tiếp tuyến tại E của đường

tròn (O) cắt nhau tại F Chứng minh rằng nếu B,D,F thẳng hang thì:

1

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán - Thang điểm: 20 Bài 1: (6đ)

1 (2đ) Rút gọn biểu thức A =

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2

ư

ư

ư +

+ + +

2 (4đ) Tính giá trị của tổng

100

1 99

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

1

Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dương đôi một khác nhau thoả m0n:

3x + 3y + 3z = 6831 Bài 3: (4đ)

1 (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số:

y = x+ 3 + 6 ưx

2 (2đ) Cho các số dương a, b, c biết 1

1 1

1 + + + + +c ≤

c b

b a a

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB và AHC Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P) và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N Chứng minh rằng

a (2đ) ∆HPQ ~ ∆ABC

b (2đ) KP // AB, KQ // AC

c (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp được

2

đáp án đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9

(Môn toán) Bài 1: (2 điểm)

1 (1 điểm)

1 6

3 3 3 3

) 3 3 )(

3 3 (

) 3 2 )(

3 3 ( ) 3 3 )(

3 2 (

3 3

3 2 3 3

3 2 3 2 4 2

3 2 3

2 4 2

3 2 2

=

− + +

=

− +

− +

+

− +

=

−

− + +

+ +

1 1

1

+ + +

a

2 2 2

2 2 2

2

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( )

1 (

1 1

1

+

+ + + +

= + + +

=

a a

a a

a a a

a A

2 2

2 2

2 2

4

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( 2

+

+ +

= +

+ + + +

a a

a a a

a

a a

a a

Vì a > 0, A > 0 nên A =

1

1 1 1 ) 1 (

1

2

+

− +

= +

+ +

a a a

a

a a

áp dụng ta có

100

1 99

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

1 99

1 1 (

) 3

1 2

1 1 ( )

=

(2) 253 3

5 28

2

3

z

y y

z y

Suy ra: max y = 3 2

2 Theo giả thiết

1

1 1

1 1

1

1 1

1

⇒

≤ +

+ +

+

a c

c b

b c

c b

b a a

Do b > 0; c > 0 nên theo bất đẳng thức côsi ta có:

0 ) 1 )(

1 (

2 1

1 0 ) 1 )(

1 (

2 1

+ +

c b

bc c

1 (

2 1

1

>

+ +

1 (

2 1

1

>

+ +

1 )(

1 (

8 1

1

abc c

t t

2 1

x x

2 2 1

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {ư 1 ư 2 ; ư 1 + 2 ; ư 1 ư 2 2 ; ư 1 + 2 2}

Bài 5:

a Tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA

mặt khác P và Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác AHB và tam giác AHC

Tam giác HPQ đồng dạng với tam giác ABC

b Theo câu a ta có góc PQH = góc ACB (3)

góc PKQ = góc PHQ = 90 0 => tứ giác PKQH nội tiếp được

M

C

N A

K

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Vẽ đúng

Đồ thị

Và tìm toạ độ các giao điểm

song song và hai

đường thẳng cắt

nhau

Biết tìm điều kiện đê hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau

II/ ĐỀ

Bài 1: (3 điểm)

Thực hiện tính:

2 4

4 2

2

2

2 + +

−

− +

x x

b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0

x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)

Bài 4: ( 6 điểm)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D AD cắt (O) tại điểm thứ hai E I là trung điểm của DE Đường thẳng qua D vuông góc với

BO cắt BC tại H và cắt BE tại K

a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn

b Chứng minh ∠ ICB = ∠ IDK

c Chứng minh H là trung điểm của DK

Bài 5: ( 2 điểm)

Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n

III/ HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: (3 điểm)

Thực hiện tính:

2 4

4 2

2

2

2 + +

−

− +

x x

( 2

) 2 2

( 2

) 2 )(

2 (

) 2 )(

2 ( 2 2

+

= + +

− +

− + +

= +

+

− +

− + +

− + +

=

x x

x x

x x

x x

x

x x x

x

1,5

2 3

1 )

2 3 (

1 3

2 6 2

1

2

−

= +

= +

= +

2 + x+ − x + x+ =

Với y = 2 giải x2 + 5x+ 4 = 2 được x1 = 0; x2 = -5 0,5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,5 Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương

hai vế

b x2 − 3x+ 2 + x+ 3 = x− 2 + x2 + 2x− 3

) 3 )(

1 ( 2 3

) 3 2

3 2

0 3

2 − + =

Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,5

Bài 3: (4 điểm)

a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm

hữu tỉ với mọi số n nguyên

n = -1: Phương trình có nghiệm Với n ≠ -1 ⇒ n+1≠0

∆’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)

= 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2

1

∆’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là

b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0

x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0

Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)

Giải:

Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm

Có: x1x2 = 1 x3x4 = 1 x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 0,5 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = 1

1

Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 0,5 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]

Bài 4: ( 6 điểm)

OB ⊥ BA; OC ⊥ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến)

OI ⊥ IA (I là trung điểm của dây DE)

⇒ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO

1,5

∠ICB = ∠IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1)

DK // AB (Cùng vuông góc với BO)

⇒ IH là đường trung bình của DEK ⇒ H là trung điểm của DK

Bài 5: ( 2 điểm)

Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n

- A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1)

- A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên

- Nếu n chẵn ⇒ n2 chia hết cho 4 ⇒ A(n) chia hết cho 4 Nếu n lẻ ⇒

(n-1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4 ⇒ A(n) chia hết cho 4

với mọi n

0,5

- Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay

* Chú ý: học sinh làm cách khác đúng đạt điểm tối đa

đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm Câu 1: (4 điểm)

Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x

A =

2 3

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

ư

ư

ư

ư +

ư

ư

ư +

ư

ư +

ư

x x x

x x

x x

x x

x

điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1

Câu 2: (3 điểm) giải phương trình

48 2

10

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

x

+

ư + +

+Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm

đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần HIy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD;

OA chứng minh rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N,

P, Q nằm trên một (0)

đáp án đề thi hsg lớp 9- môn toán Câu 1: (4đ)

3 )(

1 ( 2

) 3 ( 2 ) 1 ( 3 3 ) 6 (

6

x x

x

x x

x x

ư

=

) 2 )(

3 )(

1 (

2

6 2 3 3 3 6 6

x x

x

x x

x x

3 )(

1 ( 2

) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 )

6

2

(

x x

x

x x x

x x

3 )(

1

(

2

) 2 )(

3 )(

1

(

x x

x

x x

0,5 0.5 0.5

0.5 0.5

0.5

0.5 Câu 2: (3đ) Biến đổi pt ta đợc

3 4 35

2

ư

= +

Nếu x + y + z = 0 => x + y = - z

≥ x (y - z)2 (2) 1/2(x+y+z) (z - x)2

≥ x (y - z)2 (3) cộng 2 vế ta đợc

áp dụng BĐT co - si cho 4 số dơng ta có:

2 2 2 16

16 2

10

2

10

) 1

( 2

5 ) (

2

1 )

(

2

1

y x y

x x

0.5 0.5

1

1

Câu 5: (3đ)

Gọi H; D; P lần lợt là chân các đờng cao,

phân giác trung tuyến hạ từ B,

DA S

UBND THÀNH PHỐ HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ PHÒNG GD&ĐT TP HÒA BÌNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013- 2014

a/ Phân tích đa thức A thành nhân tử

b/ Chứng minh rằng: (A + 1) là số chính phương với mọi giá trị của n

a/ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu chảy một mình cho đầy

bể thì vòi I cần nhiều hơn vòi II là 5 giờ Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy

a/ Chứng minh 5 điểm A, K, H, M, N cùng thuộc một đường tròn