40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)

Đề thi học sinh giỏi lớp đ Bài I (2 ) Rút gọn A = + 2a + + 2a + 2a 2a Với a Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phơng trình x3 =7x +3y y3 = 7y+3x Bài III (3đ) Cho x,y,z số không âm x+y+z =1 Tìm giá trị lớn M = xy+yz+zx Bài IV (6đ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự trung điểm đờng hcéo AC BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I giao điểm MH NH. Chứng minh I cách điểm C D. Bài V (3đ) Cho a,b,c >0 a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc. Hớng dẫn chấm đ Bài I (2 ) vào A ta có: 2+ 3 2+ 3 A= + = + + + + ( + 1) 2 ( 1) Thay a = = 2+ 3 2+ 3 + = + =1 + +1 +1 + 3 Bài II (6đ) a) (3đ) Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x2 + 4x = 19-3y2 (1) 2(x+1)2 = 3(7 - y2) (2) Do 2(x+1)2 => 3(7 - y2) => y lẽ (1đ) Ta lại có - y2 nên y2 = Khi phơng trình (2) có dạng: 2(x+1)2 x =2 x = - Từ ta có nghiệm (x,y) = (2;1) ,(2;-1), (- 4;1), (- 4;-1) b) x3 =7x +3y (1) (0.5đ) (1đ) (0.5đ) y3 = 7y+3x (2) 2 Lấy (1) - (2) ta đợc: (x-y)(x + xy+ y -4) =0 * Với x = y kết hợp với phơng trình (1) x3 =7x +3y (1đ) Ta đợc x =y = 0; x =y = 10 ; x =y = - 10 * Với x2 + xy+ y2 - =0 cộng (1) (2) ta có 2 x + xy +y = x+y = S đặt 3 y + x = 10(y+x) xy = P Ta có S 2- P - = (S2 4P) Thế P = S2 - S3 -3SP -10S = => S3 - 3S(S2 - 4) -10S = S1 =0 S2 = 1; S3 =- (0.5đ) * S1 = => P1 = - Khi x,y nghiệm phơng trình (0.5đ) X2 - = đ (0.5 ) => x =2 y = -2 + 13 13 y= (0.5 ) x=-2 y=2 * S2 = => P2 = -3 Khi x,y nghiệm phơng trình X2 - X -3 = => x = đ x= 13 + 13 y= * S3= -1 => P3 = -3 Khi x,y nghiệm phơng trình - + 13 - 13 y= X2 + X -3 = => x = - - 13 - + 13 y= x= Vậy hệ đ cho có nghiệm. Bài II (3đ) Ta có (x+y+z)2 = x2 +y2 +z2 +2(xy+yz+zx) = => 2M = 1- (x2 +y2 +z2) (0.5đ) Mặt khác: x2 +y2 +z2 = x +y z +y x +z xy+yz+zx ++ + 2 (1đ) => 2M 1- (xy+yz+zx) =>3M (0.5đ) =>M 1/3 Vậy GTLN M = 1/3xảy x =y =z = 1/3 (1đ) Bài IV (6đ) Hạ AP BC ; BQ AD Từ giả thiết ta có: H trung điểm DQ; H trung điểm CP (1đ) Ta có tứ giác ABPQ nội tiếp => góc(ABP) + góc (DCB) = 180o (1đ) mà góc(ABP) = góc (DCB) (đồng vị) => góc(AQP) + góc (DCB) = 180o (1đ) Hay tứ giác DCPQ nội tiếp (1đ) Lại có HN, MH trung trực DQ,PC (1đ) Suy I =HN HM tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DCPQ (1đ) => I cách D C Bài V Từ giả thiết ta có = [ a+(b+c)]2 4a(b+c) (a+b)2 4ab => b + c 4a(b+c)2 (1) b+c > (1đ) Lại có (b+c)2 4bc (2) (0.5đ) Từ (1) (2) => b + c 4a.4bc hay b + c 16abc (đpcm) (0.5đ) Dấu = xảy a = b+c b=c đ (1 ) Mà a+b+c = => a =1/2 b = c = 1/4 phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Đề thi chọn học sinh giỏi lớp vòng II Năm học 2013 - 2014 Đề thức Môn thi : Toỏn Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bi ( im ) 1. Chng minh rng: Nu n l s nguyờn thỡ n5 + 5n3 6n chia ht cho 30 x3 . Hóy tớnh giỏ tr biu thc sau: 2. Cho f(x) = 3x + 3x 2010 2011 + f + . + f + f 2012 2012 2012 2012 A= f Bi ( im ) 3 x y = x+ y 1. Gii h phng trỡnh : x + y = 2. Gii phng trỡnh nghim nguyờn: 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y) Bi ( im ) Cho ba s thc dng a, b, c tha iu kin 1 1 15 + + = 10 + + + 2014 . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : b c a ab bc ca 1 + + P= 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Bi ( im ) Cho hai ng trũn ( O; R) v ( O; R) ct ti hai im phõn bit A v B. T mt im C thay i trờn tia i ca tia AB. V cỏc tip tuyn CD; CE vi ng trũn tõm O ( D; E l cỏc tip im v E nm ng trũn tõm O). Hai ng thng AD v AE ct ng trũn tõm O ln lt ti M v N ( M v N khỏc vi im A). ng thng DE ct MN ti I. Chng minh rng: a. MI.BE = BI.AE b. Khi im C thay i thỡ ng thng DE luụn i qua mt im c nh. Bi ( im ) Cho x, y l cỏc s nguyờn khỏc tha x2 y2 + l s nguyờn. Chng y +1 x +1 minh rng : x2y22 chia ht cho x + __________________________________________________________ phòng Giáo dục & Đào tạo Thanh oai Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp vòng II Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Bi Bi (5) Ni dung im 1, A= n5 + 5n3 6n = ( n5 n ) + ( 5n3 5n) = n( n - 1)( n + 1)( n2 +1) - 5n( n + 1)( n - 1) Mi s hng ca A u chia ht cho v m ( 5; 6) = nờn A M30 1,5. 1,0. x3 (1 x ) 2, f(x) = -> f(1- x) = x + (1 x) x + (1 x ) -> f(x) + f(1 x) = 1 -> x + y = -> f(x) + f(y) = 1, f = + 2012 A= f 2011 f + f + 2012 2012 1,5. 2010 f 2012 1005 1007 1006 + . + f + f + f = 1005 + = 1005,5 2012 2012 2012 Bi (5) 3 (3 x y )( x + y ) = (1) 3x y = x + y 1. (2) x2 + y2 = 2 x + y = T (1) v (2) -> (3x3 y3)(x + y) = (x2 + y2 )2 . ( x y)(x + 2y)(2x2 + xy + y2) = 1,5. x y =0 x + y = x + xy + y = * Nu x y = -> x = y thay vo (2) -> x = y = hoc x = y = hoc x = 2 2 * Nu x + 2y = thay vo (2) -> x = 5 ,y= 5 1,0. 5 ,y= 5 * Nu 2x2 + xy + y2 = -> x = y = loi 2 2 5 ; ; Vy (x; y) = ; ; ; ; ; 5 5 2 2. 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y) (1) -> 7(x + 2y) M -> x + 2y M , t x + 2y = 5t (t z ) (2) (1) x2 + xy + y2 = 7t (3) T (2) -> x = 5t 2y thay vo (3) cú: 3y2 -15ty + 25t2 7t = (*) = 84t 75t2 (*) cú nghim thỡ 84t 75t2 t Bi (3) 28 25 Do ( x+y+z)2 3(x2 + y2 + z2) 3. 2014 Cú 5a2 + 2ab + 2b2 = 4a2 + 2ab + b2 + (a2 +b2) 4a2 + 2ab + b2 + 2ab = ( 2a+ b)2 1 1 . + = (2 x + y ) -> 5a + 2ab + 2b 2a + b a b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a -> P 1,5. t z -> t = hoc Nu t = t (*) -> x1 = 0, y1= Nu t = t (*) -> x2 = -1, y2 = hoc x3 = 1, y3 = 1 , y= , z= t x = a b c 2 T gt cú 15(x + y + z ) = 5( 2xy+2yz+2xz) + 2014 10(x2 + y2 + z2) + 2014 -> 5(x2 + y2 + z2) 2014 Tng t cú : 1,0. (2 y + z ) (2 z + x ) 1,0. 1,0. 1,0. (2 x + y + y + z + z + x ) = x + y + z 2014 3. = -> Max P = 2014 15 2014 15 a = b = c = 15 2014 1,0. Bi (6) a, BDE = BAE, BAE = BMN -> BDE = BMN -> BDI = BMI -> BDMI l t giỏc ni tip 1,5. -> MDI = MBI = ABE BMI = BAE -> MBI ABE ( g.g). -> pcm. b, Q l giao im ca CO v DE, K l giao im ca OO v DE, H l giao im ca AB v OO v OCD cú OQ.OC = OD2 = R2 vKQO 1,5. 1,5. CHO (g.g) -> OC.OQ = KO.OH R2 -> KO. OH = R -> OK = OH Vỡ OH c nh, R khụng i -> OK khụng i -> K c nh. Bi (1) 1,5. x a y c = , = (a; b; c; d Z ; (a; b) = 1; (c; d ) = 1, b, d > 0) t y +1 b x +1 d x y a c ad + bc + = + = =K y +1 x +1 b d bd (K Z ) -> ad + bc = bdk -> ad + bc M b, ad M b -> d M b ( vỡ (a; b) = 1) Tng t b M d -> b = d 0,5. a c x2 y2 . = . = ( x 1)( y 1) = m Z ( Vỡ x,y Z) b d y +1 x +1 -> ac = mbd -> ac M b -> c M b ( vỡ ( a; b) = 1) -> c M d ( vỡ b = d) v (c; d) = -> d = -> ( y2 1) M ( x + 1) x2y22 1= x2(y22 1) + x2 - Do y22 M y2 -> y22 M x + -> x2(y22 1) M x + m x2 M x + -> x2y22 M x + 0,5. (2,0 ) a +1 b +1 c +1 + + + b2 + c + a2 Theo bt ng thc Cauchy ta cú: + b b nờn: a +1 b2 (a + 1) b (a + 1) ab + b = (a + 1) (a + 1) = a +1 1+ b b +1 2b a +1 ab + b a +1 1+ b 0,5 Tng t ta cú: b +1 bc + c b +1 (2) 1+ c c +1 ca + a c +1 (3) 1+ a Cng v theo v (1), (2) v (3) ta c: a +1 b +1 c +1 a + b + c ab bc ca (*) + + 3+ 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 Mt khỏc: 3(ab + bc + ca) ( a + b + c ) = Nờn (*) a + b + c ab bc ca a +1 b +1 c +1 + + (pcm) + b2 + c + a2 Du "=" xy v ch a = b = c = ---------------HT-------------Lu ý: - Cỏc cỏch gii ỳng khỏc cho im tng ng vi biu im - im ton bi khụng lm trũn 0,5 0,5 Sở GD&ĐT Thanh Hoá Trờng THPT nh xuân Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 9_THCS Thời gian :150 phút Câu1 (4điểm) :1. Cho phơng trình x2 + a.x +1 =0 x Tìm a để phơng trình có hai nghiệm x1,x2 tho m n ( x1 )2 + ( )2 > 2.Giải phơng trình : x + x2 x2 x = x2 -8.x +18 Câu (4điểm) : 1.Giải hệ phơng trình : x + y = y + = z z + = x 2.Giải hệ phơng trình : x y + x + y = x + 2y =6 x 2y Câu (7 điểm ) :Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đờng tròn tâm O qua B C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đờng tròn (O); Gọi I trung điểm BC ,N trung điểm EF . a.Chứng minh điểm E,F nằm đờng tròn cố định đờng tròn (O) thay đổi . b.Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) K .Chứng minh :EK song song với AB . c.Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đờng thẳng cố định đờng tròn(O) thay đổi. Câu 4(5điểm ) : với < x 9( x1 x ) 0.5đ a2 a > x1 + x > x1 x 2 ( x1 + x ) x1 x ( ) (2) x1 + x = a x1 x = Theo định lý Viét ta có : 0.5đ Thay vào (2) ta đợc : (a -2) >9 a > a2 > a2 > a < (thoả m n (1) ) Vậy với a > thoả m n yêu cầu toán. a > 2.Giải phơng trình : Điều kiện : x + x = x x + 18 x x (*) x Ta có : x + x = (5 x).1 + ( x 3).1 (5 x) + ( x 3) + + =2 2 x = x=4 x = 0.5đ 0.5đ 0.5đ Đẳng thức xảy : Mặt khác :x2-8x+18=(x-4)2+2 ;Đẳng thức xảy :x=4 Suy ra: x + x = x x + 18 x = (thoả m n (*) ) Vậy phơng trình đ cho có nghiệm :x=4 0.5đ 0.5đ Câu2 (4điểm) x + y = 1. Giải hệ phơng trình : y + = z z + = x Cách1: Điều kiện : x,y,z Từ pt (1) và(3) rút y,z thay vào pt (2) ta đuợc : Giải ta đợc : x=1 Do y=1;z=1 Vậy hệ phơng trình có nghiệm (1;1;1) x + =2 x 2x 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu2 (4điểm) x + y = Cách2: x + = z z + = x Ta có: x + 1 ( x + ) + ( y + ) + ( z + ) = (*) x y z 1 ; y+ ; z+ x y z 0.5đ Đẳng thức xảy khi:x=y=z=1 suy : VT(*) VT(*) (loại) Pt(*) x = y = z = Vậy hệ phơng trình có nghiệm (1;1;1) 0.5đ 0.5đ x y + x + y = 2.Hê phơngtrình : x + 2y =6 x 2y Điều kiện: Đặt :u= 0.5đ x 2y u + v = u = u = ;v =x+2y Hệ pt trở thành : x 2y v = v = uv = . u = = x = x 2y v = x + 2y = y = 12 . x = =2 u = x 2y v = x + 2y = y = 0.5đ 0.5đ 0.5đ 7 ); ( ; ) 12 Vậy hệ pt đ cho có hai nghiệm : ( ; 1. ABF AFC đồng dạng (g_g) Câu3 (7điểm) Ta có : AB/ AF=AF/AC AF2=AB.AC AF= AB. AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB. AC Vậy E,F thuộc đờng tròn (A; AB. AC ) cố định. 0.5đ không đổi 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2. Tứ giác AOIF nội tiếp đờng tròn Ta có : AIF = AOF (1) 0.5 điểm 1 EOF EKF = EOF 2 EKF = AOF (2) Từ(1) và(2) AIF = EKF AOF = Do :EK điểm 0.5 điểm 0,5 điểm vàAB song song vơí 3. Cm đợc A,N,O thẳng hàng AO EF ; Gọi H giao điểm BC EF . Ta có : ANH AIO đồng dạng nên AH AN = AO AI Suy :AH.AI =AN.AO Lại có :AN .AO=AE2 =AB.AC Do : AI.AH =AB.AC AH = AB. AC AI không đổi . Vậy H cố định 0,5 điểm 0,5 điểm 1.0 điểm Tứ giác OIHN tứ giác nội tiếp đờng tròn nên đờng tròn ngoại tiếp OIN qua I H ;Do tâm đơng f tròn nằm đờng trung trực 1.0 điểm IH Câu4 điểm 1. 2x x 2x 2x x + =( + + 1) = + + (với 0, y>0 ta có + x+ y 4 ( x + y ) xy ( x y ) y x+ y x. y x+ y 0.5 điểm dấu = xảy khi: x- y = hay x=y 1 + dấu = xảy khi: x=y x y x+ y b+ca b, ta có: P a = >0 a+cb Pb= >0 b+ac Pc= >0 1 áp dụng bất đẳng thức: x, y>0 ta có: + x y x+ y 1 4 + = p a p b 2p a b c Vậy: 0.5 điểm 0.5 điểm Tơng tự ta có: 1 1 + ; + pb pc a pc pa b 1 1 1 2( + + ) 4( + + ) pa pb pc a b c 1 1 1 ( + + ) 2( + + ) pa pb pc a b c Dấu = xảy khi: a=b=c 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm PHềNG GD - T HUYN TNH GIA THI HC SINH GII CP HUYN NM HC 2013 2014 Mụn Toỏn hc lp ( Thi gian lm bi 150 phỳt khụng k thi gian phỏt ) chớnh thc Bi 1: (2,0 im) 1- Cho a, b, c v a + b + c = 0. Chng minh: 1 1 1 + + = + + . a b c a b c 2- Tớnh giỏ tr ca biu thc M = 1+ 1 + + 2 1+ 1 + + .+ 1+ 1 + + 2011 2012 1+ 1 + 2012 2013 Bi 2: (3,0 im) 1- Tỡm giỏ tr ca k cỏc ng thng (d1): y = 2x + 5, (d2): y = -2x + v (d3): y = (2k 1)x + (k + 4) cựng i qua mt im. 2- Trờn cựng mt mt phng ta cho hai im A(5; 2) v B(3; -4) a) Vit phng trỡnh ng thng AB. b) Xỏc nh im M trờn trc honh tam giỏc MAB cõn ti M. Bi 3: (2,0 im) 1- Tam giỏc ABC vuụng ti A, ng cao AH. Bit chu vi tam giỏc AHB l 30 cm, chu vi tam giỏc AHC l 40 cm. Tớnh chu vi tam giỏc ABC. 2- Cho N = a ab + a + Bit abc = 4, Tớnh N . + b bc + b + + c ca + c + . Bi 4: (2,0 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, cú B = 20 . V phõn giỏc BI, v AC H = 30 v phớa tam giỏc (H AB ). Tớnh CH I . Bi 5: (1,0 im) Cho z y x > 0. Chng minh rng: 1 1 y + + ( x + z ) (x + z ) + x z x y y Chỳ ý : Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm LI GII Bi : 1- Ta cú: 1 1 1 + + = + + + + + a b c a b c ab bc ca 1 2(c + b + a ) 1 = 2+ 2+ 2+ = 2+ 2+ a b c abc a b c Suy ra: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 2- Xột k N , k Ta cú: 1 1 2 = 1+ + 2+ + k (k 1)k k (k 1) k k k 1 2 2 = 1+ + 2+ + (k 1) k k k k k 1 1 1+ + = + (k 1) k k k 1+ 1 1 + = 1+ k k (k 1) k Cho k = 3, 4, 5, ., 2012, 2013 Ta cú: 1 1 1 1 M = + + + + . + + + + 2011 2012 2012 2013 1 2011 = 2011 + = 2011 + 2013 4026 Bi : 1- Ta thy (d1) v (d2) ct ti mt im M mt phng ta .Khi ú ta im M phi tha ng thi phng trỡnh: y = 2x+5 v y = -2x+1 Suy ra: 2x+5 = -2x+1 x = -1 y = M(-1;3) (d1), (d2) v (d3) cựng i qua mt im , phi cú M (d3) . Do ú: (2k-1).(-1) + (k+4) = k = Vy k = 2a) Gi phng trỡnh ng thng AB l: (d): y=ax+b 5a + b = a = 3a + b = b = 13 Vỡ (d) i qua A(5;2) v B(3;-4) nờn: Vy phng trỡnh ng thng AB l: y = 3x-13 b) Gi M(xM;0) l im nm trờn trc honh cho tam giỏc MAB cõn ti M. Ta cú: MA2 = (xM-5)2 + (0-2)2 = xM2 -10xM +29 S MB2 = (xM-3)2 + (0+4)2 = xM2 -6xM +25 Vỡ MA = MB nờn xM2 -10xM +29 = xM2 -6xM +25 xM = M(1;0) th li ta thy tha món. Vy M = (1;0) Bi : 1- Gi P1, P2, P3 ln lt l chu vi cỏc tam giỏc AHB, CHA, CAB D thy: AHB CHA nờn: P1 AB AB 30 AB AC = = = = P2 CA CA 40 4 A B H C S S AB AC AB + AC BC = = = 32 + 42 AB AC BC = = AB : AC : BC = : : 5 M AHB CHA CAB , suy ra: P1 : P2 : P3 = AB: AC: BC = 3: 4: M : P1 = 30cm; P2 = 40cm nờn P3 = 50cm Vy chu vi tam giỏc ABC bng 50cm 2- KX: a, b, c m abc = nờn a, b, c >0 v abc = Ta cú: N= = = = = a ab + a + a ab + a + a ab + a + a ab + a + + + b bc + b + + c ca + c + ab c + abc + ab + a ca + c + abc + ab c + c ( a + + ab ) + ab + a + ab + + ab + a a + + ab ab + a + =1 N =1 ab + a + (vỡ N>0) Vy N =1 Bi : H _ D thy BCH = 400 . K phõn giỏc CK ca BCH BCK = KCH = 200 Tam giỏc vuụng ACH cú B _ K _ M _ CH AH CH CB ACH = 300 AH = = . = . HK HK BK A _ I _ C _ (tớnh cht ng phõn giỏc ca BCH ) (1) K KM BC ti M, d thy tam giỏc BMK v tam giỏc BAC ng dng AB BM AB BC AH = = = BC BK BC BK HK ( (1) ) Mt khỏc BI l phõn giỏc ca ABC nờn: IA AB = IC BC ( 3) T (2) v (3) suy ra: IA AH = CK / / IH CHI = HCK = 200 IC HK Vy : CHI = 200 Bi : Bi ny sai vỡ cho z =2, x=y=1 thỡ VT = > 4,5 = VP pcm Phũng GD& T Ho An THI HC SINH GII CP HUYN NM HC 2011-2012 MễN: Toỏn (Thi gian 150 phỳt khụng k thi gian giao ) Cõu 1: (4) Cho hm s f(x) = x x + a) Tớnh f(-1); f(5) b) Tỡm x f(x) = 10 c) Rỳt gn A = f ( x) x x2 Cõu 2: (2) Gii h phng trỡnh x( y 2) = ( x + 2)( y 4) ( x 3)(2 y + 7) = (2 x 7)( y + 3) Cõu 3: ( 4) Cho biu thc x x +1 x A = x : x + x x vi x > v x x a) Rỳt gn A 2) Tỡm giỏ tr ca x A = Cõu 4: (4) Mt ụ tụ ti v mt xe du lch hnh ng thi t thnh ph A n thnh ph B. Xe du lch cú tc ln hn tc ca xe ti l 20 km/h ú nú n B trc xe ti 50 phỳt. Tớnh tc mi xe. Bit rng khong cỏch gia hai thnh ph A v B l 100 km. Cõu 5: (6) T im P nm ngoi ng trũn tõm O bỏn kớnh R, k hai tip tuyn PA; PB. Gi H l chõn ng vuụng gúc h t A n ng kớnh BC. a) Chng minh rng PC ct AH ti trung im E ca AH b) Gi s PO = d. Tớnh AH theo R v d. Chỳ ý: Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm./. Phũng Giỏo dc v o to Hũa An P N+HNG DN CHM THI HC SINH GII MễN TON CP HUYN NM HC 2011-2012 TT Cõu S im Hng dn chm a) f(x) = x x + = ( x 2) = x Suy f(-1) = 3; f(5) = b) x = 10 x = 12 f ( x) = 10 x = 10 x = c) A= x2 f ( x) = x ( x 2)( x + 2) Vi x > suy x - > suy A = x+2 Vi x < suy x - < suy A = Cõu x+2 x( y 2) = ( x + 2)( y 4) ( x 3)(2 y + 7) = (2 x 7)( y + 3) xy x = xy + y x xy y + x 21 = xy y + x 21 x y = x = -2 x + y = y = Cõu x x +1 x a) Ta cú: A = x : x + x ( x + 1)( x x + 1) x = ( x 1)( x + 1) = x x x ( x 1) : + x x x x x x +1 x x x + x : = x x x x x +1 x +1 x : x x = x +2 : x b) A = => x x x +2 = x x =3 x x = x x x => 3x + x - = => x = 2/3 Bi (4 ): Gọi vận tốc xe tải x (km/h), x > 0. Vận tốc xe du lịch là: x + 20 (km/h). 100 Thời gian xe tải từ A đến B là: (h) x 0,5 0,5 0,5 100 Thời gian xe du lịch từ A đến B là: (h) x + 20 Vì xe du lịch đến B trớc 50 phút = 0,5 (h) nên ta có phơng trình: 100 100 = x x + 20 Giải phơng trình đợc: x1 = 40 (thoả m n) x2= - 60 (loại) Vậy, vận tốc xe tải 40 km/h, xe du lịch 60 km/h. Cõu 5: (6) P A E B O H C a) Do HA // PB (Cựng vuụng gúc vi BC) nờn theo nh lý Ta let ỏp dng cho tam giỏc CPB ta cú EH CH = ; (1) PB CB Mt khỏc, PO // AC (cựng vuụng gúc vi AB) => => POB = ACB (hai gúc ng v) AHC POB Do ú: AH CH = PB OB (2) Do CB = 2OB, kt hp (1) v (2) ta suy AH = 2EH hay E l trung im ca AH. b) Xột tam giỏc vuụng BAC, ng cao AH ta cú AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) v AH = 2EH ta cú AH = (2 R AH.CB AH.CB ) . 2PB 2PB AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB AH = = 4R.CB.PB 4R.2R.PB = 2 4.PB + CB 4PB + (2R) 8R . d R 2.R . d R = 4(d R ) + 4R d2 [...]... bắn trúng v o các vòng 9, 10 điểm (x; y N )Vì vận động viên đ bắn hơn 11 viên nên ta có 0,5 đ 0,5 đ x+y >11 (1) Vì vận động viên đạt đợc tổng điểm l 1 09 nên : 9x+10y = 1 09 9 x + 9 y = 1 09 y 0,25 đ (2) 9( x + y ) = 1 09 y 0,25 đ 9( x + y ) < 1 09 ( x + y ) < Từ (1) vầ (3) ta có 1 09 9 11 A = 2 2 Xét A = 1 +... m t n a di n tớch tam giỏc ABC Cõu 5: ( 2,0 i m) Tỡm giỏ tr l n nh t v nh nh t c a bi u th c sau: y = 3 x + x + 6 H t _ H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: H tờn, ch ký c a giỏm th 1: đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Sở gd v ĐT thanh hoá Thời gian l m b i : 150 phút B i 1 : Cho biểu thức A= a a +a+ a : a +1 (a a ) 2 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A B i 2 : Cho... dụng ta có B = 1+ 1 1 1 1 1 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + + 1 + 2 + 2 1 2 2 3 99 100 2 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + ) + (1 + ) + + (1 + ) = 100 = 99 ,99 1 2 2 3 99 100 100 B i 2: Không mất tính tổng quát ta giả sử x < y < z Ta có: 3x + 3y + 3z = 6831 3x(1 + 3y - x + 3z -x) = 33.253 Vì (1 + 3y - x + 3z -x) không chia hết cho 3 v 253 cũng không chia hết cho 3 3 x = 33 nên: 1 + 3 y-x + 3 z -x = 253 (1) => x =... n2(n4 - 1) chia h t cho 60 v i m i s t nhiờn n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia h t cho 3 nờn A(n) chia h t cho 3 v i m i n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia h t cho 5 theo phecma nờn A(n) chia h t cho 5 v i m i n - N u n ch n n2 chia h t cho 4 A(n) chia h t cho 4 N u n l (n-1)(n+1) l tớch hai s ch n nờn nú chia h t cho 4 A(n) chia h t cho... theo tính chất đờng kính vuông góc với dây cung ta suy ra O v O1 đối xứng nhau qua BC (0,5đ) * Kết luận : quỹ tích điểm O1 l cung O2O3 của đờng tròn (P;PO) (0,5đ) S GD & T VNH PHC THI H C SINH GI I L P 9 C P T NH NM H C 199 9-2000 MễN TON ( Th i gian lm bi 150 phỳt) Bi 1: Cho phng trỡnh x 2 x a = 0 ( a l tham s ) a, G i x1; x2 l cỏc nghi m th c dng c a phng trỡnh Tỡm GTLN 1 1 c a bi u th c P =... (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -20 09; x3 + x4 = -2010 c : 20102 - 20 092 =2010+20 09 =401 9 Ghi chỳ: Cú th nhõn theo nhúm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bi 4: ( 6 i m) 0,5 1 0,5 B K A M O H D I E C OB BA; OC CA ( AB, AC l cỏc ti p tuy n) OI IA (I l trung i . sinh: …………………………………… Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký của giám thị 1:………………………………………………… ĐỀ BÀI (Đề gồm 01 trang) Đề số 02 Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán. ®¹t ®−îc tæng ®iÓm lµ 1 09 nªn : 9x+10y = 1 09 (2) yyx yyx −=+⇔ − = + ⇒ 1 09) (9 1 099 9 9 1 09 )(1 09) (9 <+⇔<+⇔ yxyx (3) Tõ (1) vÇ (3) ta cã 11<x+y< 9 1 09 mµ x,y 12 = + ⇒ ∈ yxN . xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P Sở gd và ĐT thanh hoá Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Bài Nội dung Điểm Bài 1 (2