90 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)

Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đờng thẳng BC cắt Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1.. Gọi M

Đề Số 1

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

(Thời gian làm bài 150 )’)

Câu 1: Giải phơng trình

x x

x





 1

3 6

= 3 + 2 x  x2

Câu 2: Cho hệ phơng trình:

x - 3y - 3 = 0

x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên Hãy tìm giátrị của biểu thức

M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2

Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và

AC (B,C là các tiếp điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn(O) (M khác B và C) Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đờng thẳng BC cắt

Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh

liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

(Thời gian làm bài: 150 )’)

Câu 1: Cho biểu thức.

2 2

2 2

y y x x

Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất

Câu 3:

Tìm các số nguyên dơng n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều lànhững số chính phơng.

Câu 4: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T Hai

đờng tròn này nằm trong đờng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tơng ứng tại M và N.Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P PM cắt đờng tròn (C1) tạidiểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B PN cắt đờng tròn (C2) tại điểmthứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C

a Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy

Câu 5: Giải phơng trình.

x2 + 3x + 1 = (x+3) 2 1

 x

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hoá Môn: Toán

Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:

x3, x4 thoả mãn điều kiện 1 2 3 4

y  x

a Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol

b Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ

Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên:

1 Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc

2 Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB

Bài 9: Cho tam giác ABC có A 900, M là một điểm di động trên cạnh BC Gọi

a

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1

Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1

Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx

Bài IV (6đ)

Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lợt thứ tự là trung

điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’) ⊥ BC Gọi I là giao

điểm của MH’) và NH Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D

Bài V (3đ)

Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1 Chứng minh b+c ≥ 16abc

đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

x x

x x

x x

16 2

10 2

10

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng

cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giácthành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD

vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lợt là chân

đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao

điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA chứng minh rằng

đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0)

Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9

y y x x y x

y x y y x x

y x

b a

b a

đ-CM và DN cắt nhau tại E Chứng minh rằng:

1, Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD

2, Tam giác EPQ là tam giác cân

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá

đề thi học sinh giỏi lớp 9 – bảng b

1 1 1

1 2

2

1 2

2

1

2 2

1 1 2

m my x

m y mx

Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lợt là giao điểm của d

với Ox, Oy Xác định m để SABO bằng 4

Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 8: Tính bán kính đờng tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đờng

phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm

Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất

phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia

Tài liệu:

- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9

- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9

- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính

- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9

Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS

thanh hoá Môn thi : Toán

( Thời gian làm bài : 150 phút)

1) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh : x2+ax+b = 0 cã hai nghiÖm x1 , x2 vµ ph¬ng

tr×nh :x2+cx +d = 0 cã hai nghiÖm x3 , x4 Chøng minh r»ng :

2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh :

ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a0)

cã hai nghiÖm x1,x2 tho¶ m·n x1x2=1 th× 5a2=2b2+ac

Bµi III (5,0 ®iÓm):

Cho tam gi¸c ABC cã c¶ ba gãc nhän AA’),BB’),CC’) lÇn lît lµ c¸c

Bµi V (2,0 ®iÓm):

Gäi A lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn tè p sao cho ph¬ng tr×nh :

x2+x+1 = py cã nghiÖm nguyªn x,y

Chøng minh r»ng A lµ mét tËp hîp v« h¹n

-Së GD-§T Thanh Hãa §Ò thi häc sinh giái líp 9

Trêng THPT Mai Anh TuÊn M«n : To¸n - N¨m häc: 2005 - 2006

(Thêi gian lµm bµi: 180 phót)

Bµi 1: (2,0®)

TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:

A= 2 2 3

1 3

2 2

'  HC 

CH HB

BH HA

AH

m H A

AH

 '

a.Viết phơng trình đờng thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và cóhoành độ lần lợt là 2 và - 4.

b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tíchlớn nhất

Bài 3: (4,0đ)

Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đờng tròn (O;R) Trên cung

AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E saocho DE = DC

a Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1

điểm thứ ba cố định

b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC

c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độdài ấy theo R

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 2 : (3 điểm)

Cho Phơng trình : x 2– 2 (m - 1) x + m – 3 = 0

1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.

2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.

Cho ABC cân nội tiếp trong đờng tròn (O; R) có AB = AC = R 2

a) Tính BC theo R?

b) Cho M là điểm di động trên cung AC nhỏ Gọi D là giao điểm của AM

và BC Chứng minh rằng AM.AD là hằng số

c) Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp MCD di động trên một

đ-ờng cố định khi M di động trên cung AC nhỏ

-Hết -Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : Cho biểu thức

 a

a

a a a a

Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y x

B

Bài 3 : Cho phơng trình 2

1 ) 1 ( 4

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2thoả mãn biểu thức

2 2 1 2

Bài 5 : Giải phơng trình

5 1 6 8 1

b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A  (P)

Bài 7:

Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình

1820 13

A S

Cho hai phơng trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0 Biết rằng hai

ph-ơng trình có nghiệm chung và a  b nhỏnhất. Tìm a và b

3

yxyx

yx

2/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x3 + y3 + 6xy = 21

Bài IV ( 2,5 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O ) tâm O M là điểm chínhgiữa cung BC không chứa điểm A Gọi M’) là điểm đối xứng với M qua O.Các đờng phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đờngthẳng AM’) lần lợt tại E và F

1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn

2/ Biết đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r

Chứng minh: IB.IC = 2r.IM

Bài V (2 điểm )

1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0a3 ; 8b11

và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b

2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz

Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông gócvới mặt phẳng (P).

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……… Chữ ký của hai ngời coi thi: Số 1: ……… Số 2: ………

Sở GD&ĐT Thanh Hoá

139

19

5

15

Cho ba số dơng x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1

Hãy tính giá trị của biểu thức sau :

S =

2

2 2

2

2 2

2

2 2

1

)1)(

1(1

)1)(

1(1

)1)(

1

(

z

y x

z y

x z

y x

z y

132

53

x x

3

3 3

y x

y x y

x

Bài 5 (2 điểm)

Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :

4524

42818



y x x

lµ sè nguyªn d¬ng

Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trớc 33 điểm, trong

đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Ngời ta vẽ các đờng tròn có bán kính đềubằng 2 , có tâm là các điểm đã cho Hỏi có hay không 3 điểm trong số các

điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có cáctâm cũng chính là 3 điểm

Bài 10 (2 điểm):

Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau, trong mặt phẳng(BCD) dựng các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm của PR; QR;QP

Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:

2 2 5 3 5 3

4 2 4 10 17 5 17 5

y x







 2

3 2

Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:

1 3

y mx

có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1

Bài 6(2 điểm): Cho đờng (dm): y = mx - 3m + 2

a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất

Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả 2 3

5 11

Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đờng a và b thoả a  b

Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D

Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C

Thoả IA.ID = IB.IC

a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đờng tròn

b) Qua D kẻ đờng song song với b cắt AB kéo dài tại F Hãy xác định

điểm E trên FD sao cho AE  FI Khi đó ICED là hình gì?

Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p M, N trên

Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m3

2 đáy là 2 đờng tròn (O) và (O'), AB là 1 đờng kính của đờng tròn tâm (O), C di

động trên đờng tròn (O) S thuộc đờng tròn tâm (O')

a) Xác định C để diện tích  ABC là lớn nhất

b) Khi  ABC đạt giá trị lớn nhất Hãy tính thể tích hình chóp SABC

Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCSTrờng THPT bc lê viết tạo

****************************

Bài 1:

a) Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3

9

4 9

2 9

1 1

b) Tính giá trị biểu thức

1 3

b a a c

a c c b

c b b c a c

b a a

b c b

a c c

( ) )(

( ) )(

(

2 2 2

2 2

y x

a y x

Bài 6: Cho Parabol (P)

Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

4 4 4

NB



Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1 Hỏi đờng chéo lớn nhất có giá trị

bé nhất là bao nhiêu

Bài 10: Cho đờng tròn ( 0; R) với 2 đờng kính AB và MN Tiếp tuyến với (0)tại A cắt BM và BN tại M1, N1 Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểmcủa AN1 Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tamgiác BPQ khi đờng kính MN thay đổi

Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá

đề thi học sinh giỏi lớp 9

x 9 x

3

2 x x 2

3 x : 9 x

x 3 x 1 P

c Qua O có thể kẻ đợc đờng thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?

Bài 3: (4 điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau

5 x 4 x

4 y 1 x

Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH vẽ đờng tròn

tâm O đờng kính AH Đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại D và E

a Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳnghàng

b Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tơng ứngtại M và N Chứng minh M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn HB, HC

c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN

Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:

xy 1

2 y

1

1 x

1

1

2 2

Trờng THPT Quảng Xơng 1 Môn: môn toán - bảng A - năm học 2005 - 2006

(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

x

x x P

1

11

3 1

2 1

x x x x

2> Giải phơng trình:

4)

11

Bài 3: (5 điểm)

1> Cho đờng tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD) E, F là tiếp

điểm của AB và CD với đờng tròn (O)

a> CMR: CF

DF AE

BE



b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE Tính diện tích ABCD

2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại

A Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp

Bầi 4: (5 điểm)

1> Tìm a  R để phơng trình ẩn x sau: ) 4 7 0

2

114(

(

4

2

2 2

2 2 2 2

2 2

x y

3 1

2

3 1 1

2

3 1

3 3

1 4

1 4

y z

x

x z y

z y x

b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9

Bài3 (5điểm)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c b

c a

b a

c b

4

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

b Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phơng trình:

x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệmBài 4 (5điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Đờng cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CBAH Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O

a Chứng minh ABH đồng dạng với MKO

b Chứng minh

3

3 3 3

3 3 3

IB IH IA

IM IK IO

Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

1 3

1 6 27 3

y x

2

x

1) (2®) AB vµ CD song song

2) (2®) AB vµ CD kh«ng song song

HÕt

§Ò thi häc sinh giái líp 9

M«n: To¸n - Thang ®iÓm: 20

Bµi 1: (6®)

1 (2®) Rót gän biÓu thøc A = 2 2 3

3 2 3

2 2

3 2

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

1 (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số:

y = x 3  6  x

2 (2đ) Cho các số dơng a, b, c biết 1

1 1

c b

b a a

a (2đ) HPQ ~ ABC

b (2đ) KP // AB, KQ // AC

c (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp đợc

sở gd & đt thanh ho á Đề thi học sinh giỏi lớp 9

truờng thpt đặng thai mai môn : Toán

- thời gian: 150 phút

- Câu1:(4đ)

1.Đơn giản các biểu thức sau:

2 4 9 2 2

5

5 6

; a  1.2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi

z x y x

2.  

256

27 2

m x

m m

m y

1.Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (Dm)

2.Tìm m để đờng thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 tại hai điểm cóhoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy

n  với mọi số tự nhiên n 1./.

2 1

2 1

2 1

2 2

2 1

2 1

x

x x C

Với x1,x2 là các nghiệm của phơng trình đã cho.

Câu 5: Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN Các đờng thẳng BM, BNcắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M’) và N’) Gọi P, Q theo thứ

tự là các trung điểm M’)A và N’)A

a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’)M’) nội tiếp

b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đờng cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm củabán kính OA

c.(1 đ) Giả sử AB cố định, MN thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R

sở gd&đt thanh hóa

6 7 2 2

2

2 4 2

m m x m x

b Giả hệ phơng trình sau

x2 +y2 =2

1

(1) 4x( x3 –x2 +x-1) =y2+2xy -2 (2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q =

) 1 1 1 ( 3 ) (

2

z y x z y

b Vễ đờng kính MB của đờng tròn (O) Gọi P là giao điểm của AM và

(O) Chứng minh rằng : AM.AP = AO2-OC2

c Tìm quỹ tích các điểm M và P

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

môn toán

Đề đề xuất Thời gian150’)

Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:

a Giải và biện luận theo thámố m

b Khi phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độclập với tham số m

Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O) và các cạnhBC, CA, AB lần lợt là D, E, F Kẻ BB1 AO , AA1 BO

Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng

Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

y2=-2(x6-x3y-32)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán Thời gian:

1

4 1

1 1

3

2 3 4 5 3

4 3

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ

x x





y x

Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phơng trình

3

1

2 2

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O); H là trực tâm tam giác; M là một

điểm trên cung BC không chứa điểm A

bằng xảy ra khi nào?

Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề xuất Đề thi học sinh giỏi lớp 9

(Thời gian làm bài: 150 phút )

Bài 1: (4 điểm)

Cho phơng trình x4 + 2mx2 + 4 =0Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3,

Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB=2R (R là một độ dài cho trớc) M,

N là hai điểm trên nửa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổngcáckhoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R 3

1) Tính độ dài đoạn MN theo R

2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đờng thẳng AM

và BN là K Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.Tính bán kính của đờng tròn đó theo R

3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫnthỏa mãn giả thiết của bài toán

Bài 5: (2,5 điểm)

Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2  5 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức:

P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2

Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9

Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)

1

1 1

x

z y x

1

1 1

y

x z

1

1 1

z

y x

z y x

a- Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Có 2 nghiệm trái

Chứng minh 3 đờng thẳng CM, DE, BF đồng qui

2) Chứng minh rằng nếu các cạnh của một tam giác không lớn hơn 1 (đơn vịdài) thì diện tích của nó không lớn hơn 4

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9

Thanh hoá môn thi : toán

Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao

đề)

Bài 1 : Tính giá trị biểu thức:

 3 2 2006

2 8

38 5 17

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x

x P

x2  2mx 2 2005 2006  0 không có nghiệm nguyên với mọi m  Z

Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích

bằng số đo chu vi

Bài 7 : Trên một đờng tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung bình

cộng của 2 số đứng liền trớc và sau nó Chứnh minh rằng tất cả các số đó bầng nhau

Bài 8 : Các đờng cao của tam giác ABC cắt nhau tại H Biết rằng HC=AB , tìm

góc ở đỉnh C

Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA

và PB với A,B là các tiếp điểm Gọi H là chân đờng vuông goc hạ từ điểm A đến

đờng kính BC

a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

b.Tính AH theo R và PO =d

Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) Nối từng cặp 2 điểm với nhau

ta đợc các đoạn thẳng Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không?

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài I (3 điểm)

1/ Rút gọn biểu thức:

A = 4 5 35 48 10 74 32/ Giải phơng trình:

7yx31y2

= 0

Bài II: (5 điểm)

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B = x 1

3x4

Bài IV: (4 điểm)

Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi E, F là hai tiếp điểm của AB,

BC với đờng tròn (O), K là giao điểm của đờng phân giác trong BAC với

EF Chứng minh rằng CKA = 900

Bài V: (4 điểm)

Cho hình thoi ABCD, hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O Đờng trungtrực của AB cắt BD, AC tại M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích của hìnhthoi theo a và b

Sở gd & ĐT thanh hoá

Trờng thpt triệu sơn 3

======***=====

đề thi tuyển sinh vào 10 - thpt chuyên lam sơn

môn: toán chuyên

( Thời gian: 150 phút, không kể giao đề )

Giáo viên ra đề : Trịnh Quốc Phợng

Bài 1(2đ) ( Đề thi vào chuyên toán THPT Lê Hồng Phong- Nam Định – 2002

và chuyên toán tin -ĐHSPHN-2003 )

1/ Không sử dụng máy tính và bảng số , chứng minh rằng

29322

323

22

325

347.32

4

6 3

Bài 2(2đ) (Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ)

Ba số thực x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện

2/ Chứng minh rằng 9

1218

11

1

2

2 2 1

2 1

x

Bài 5(2đ) (Đề thi vào 10 – THPT Chu Văn An –2003)

1/ Giải phơng trình

151

Bài 6(2đ) ( Thi học sinh giỏi Toán 9 – TPHCM 1994 –1995)

Trong mặt phẳng toạ độ oxy cho Parabol (P) 4

2

x

y 

và điểm I(0;-2), gọi (d)

là đờng thẳng đi qua I có hệ số góc là m

1/ Vẽ (P) Chứng minh rằng với mọi số thực m , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

2/ Tìm giá trị của m để đoạn thẳng AB ngắn nhất

Bài 7(2đ) ( Phơng trình và các bài toán nghiệm nguyên – Vũ Hữu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của hệ phơng trình 

x

z y x

Bài 8(2đ) (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2001)

Các đờng cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tơng ứng M, N và K Tính

CF

CK BE

Bài 9(2đ) ( Bất đẳng thức hình học – TSKH Vũ Đình Hoà)

Từ một điểm M trong tam giác ABC cho trớc , hạ các đờng vuông góc MA1 ,

MB1 và MC1 xuống các đờng thẳng BC, CA và AB Với vị trí nào của điểm M thì đại lợng

1 1 MC1

c MB

b MA

a

đạt giá trị nhỏ nhất ? ( với BC = a, CA = b, BA = c)

Bài 10(2đ)(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2002)

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Gọi M là điểm đối xứng của O qua A Mộtcát tuyến qua M ( không đi qua O) cắt đờng tròn tại C và D Tìm quỹ tích giao

điểm P của các đờng thẳng AC và BD khi cát tuyến chuyển động nhng luôn đi qua M.

==========Hết==========

Sở GD - ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Trờng THPT Triệu Sơn 4 Năm học 2005-2006

Môn: Toán; Thời gian: 150 phút.

Câu 1: (36 bộ đề Toán – Võ Đại Mau – Trang 212)

Rút gọn biểu thức sau:

3 2 3

2

2

3 2

6 3

4

1 3 1 2

x

y

x y x

Cho (P) : y=ax2 và đờng thẳng d: y=bx+c

Tìm a,b,c sao cho (P) tiếp xúc với d tại I(1;4)

Câu 7: (sáng tác)

Chứng minh rằng phơng trình: ax2 + bx + c =0 không có nghiệm nguyên nếu a,b,c là các số nguyên lẻ

Câu 8: (Toán bồi dỡng hình học 9 – trang 58)

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O và O’) là tâm các đờng tròn nội tiếp tam giác AHB và AHC Đờng thẳng OO’) cắt AB ở M và AC tại N

Chứng minh AM = AN

Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi 86-87)

Cho hình vuông ABCD Đờng tròn đờng kính CD cắt đờng tròn đờng kính AD tại M  D

Chứng minh DM đi qua trung điểm BC

Câu 10: (36 bộ đề – Võ đại Mau – Trang 187)

Dựng hình bình hành ABCD cho biết đỉnh A và các trung điểm E, F của các cạnh CB, CD

đề thi học sinh giỏi - lớp 9

môn toán -thời gian : 150 phút

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

x x

x x

x x

16 2

10 2

10

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng

cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giácthành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD

vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lợt là chân

đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là giao

điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA chứng minh rằng

đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút

Đề thi bảng A Câu1: Cho a, b, c là 3 số dơng n  N ; n  2 chứng minh rằng:

n n

n

n

n b

a

c a

c

b c

2 2

) 1 ( 36

4 3 2

2 2 2

2 2 2 2

d b a

d c b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 + c2 + d2 (3 điểm)

Câu 3: Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, .) đợc xác định bởi

27 28

d b z b y b x

d a z a y a x

) )(

)(

(

) )(

)(

(

) )(

Thi học sinh giỏi lớp 9 bảng A

(Thời gian 150 phút , không kể giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm) : Rút gọn biểu thức sau :

4 4

) 2 ( 3

c b

c a c

2 (

0 1

y x y x

y x

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a ( a > 0 ) cho trớc và BC =

2AB Gọitam giác DEF là nửa tam giác đều nội tiếp trong tam giác ABC ( D trêncạnh BC ; E trên cạnh AC ; F trên cạnh AB và góc EDF vuông ) Tìm vị trí D , E, F để diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ nhất , tính theo a giá trị nhỏ nhất đó

Bài 9 ( 2,0 điểm)

Cho hình thang cân ABCD ( AB > DC ) Aˆ Bˆ  600, có một đờng tròn

tâm O nội tiếp hình thang tiếp xúc với các cạnh AB , BC , CD , DA , lần lợt tại M, N , P , Q

1) Chứng minh AD , MP , BC đồng quy tại điểm S

2) Chứng minh QN là đờng trung bình của SAB

3) Gọi S1 là diện tích hình QNCD , S2 là diện tích tứ giác ABNQ Tính 2

1

S S

Bài 10 ( 2,0 điểm )

Cho điểm P cố định nằm trong đờng tròn tâm O , bán kính r Một dây cung AB của đờng tròn (O) nhng luôn đi qua P Tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại

A và B cắt nhau tại C Tìm quỹ tích điểm C

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

bb

aa

3 2 3

Bài 3: (3 điểm)

Giải hệ phơng trình sau:

2x

12y

1

2y

12x

Cho 4 số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88=0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2

Bài 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có diện tích S Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trongtam giác đó M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC Gọi diện tích của hình chữ nhật MNPQ là S1

Chứng minh rằng: S  2S1

Bài 6: (3 điểm)

Cho nửa đờng tròn đờng kính BC trên đó có 1 điểm A di động Gọi D là chân đờng cao AD của tam giác ABC và M, N lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác ABD và tam giác ACD Chứng minh rằng đờng vuông góc với MN

kẻ từ A luôn đi qua một điểm cố định

Sở GD - ĐT Thanh hóa

Trờng THPT Thống Nhất

Đề thi học sinh giỏi Lớp 9

Thời gian : 150 Phút Giáo viên ra đề : Nguyễn Quốc Tuấn

Chức vụ : Giáo viên Toán

11x2

0y

11x1

Câu 4( 2điểm )

Giải phơng trình

7x6

x

3 2  + 5x210x14 = 4 - 2x - x2

Câu 5 (2điểm)

Cho hàm số y=ax+b

a) (1điểm ) Tìm a,b sao cho đồ thịhàm số qua A(0;1) và B(-1;0)

b) (1điểm )Vẽ trên 1 hệ tọa độ hai đồ thị :

y= x2 - 1 và đồ thị hàm số trên Qua đó giải phơng trình : x2 - x - 2 = 0Câu 6( 4điểm )

a) Chứng minh rằng : |a| +|b|  | a+b |

b) Tìm giá trị nhỏ nhất : M = | x-2004 | + |x - 2006|

Câu 7 ( 6điểm )

Cho đoạn thẳng AB, C ở giữa A và B Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy I , Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K Nửa đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P

a) Chứng minh CPKB nội tiếp và AI.BK = AC.CB

b) Tam giác APB vuông

c) Giả sử A,I,B cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hìnhthang vuông ABKI lớn nhất

lµ mét sè h÷utØ

Së GD&§T Thanh ho¸

§Ò thi vµo 10 chuyªn Lam S¬n

215 6

) (

2 2

2 2 4

b a ab

b a b

2 2

z yz

y    

Bài 3: (1,5 điểm)

Giải phơng trình: x x x x x x

5 2 1

1 : 1 3

1 1

3

1 1

9

8

x x x

x

x x x

x x

x x

2 2 2 2

y x y xy x

y x y xy x

3 Cho Parabol ( P ) y = x2 Tìm hàm số có đồ thị ( P’)) đối xứng với (P) qua

Thời gian : 150 ( Không kể thời gian giao đề)’)

Câu 1 (2đ): Giải các phơng trình sau

2005 2005

2 2 4 4

2 2 2

y x x y x

a Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn dơng với mọi x, y

b Với giá trị nào của x, y biểu thức A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trịlớn nhất đó

Câu 3 (1,5đ)

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x yz2006 và 2006

1 1 1 1







z y x

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006

Chứng minh rằng x y

1 1



<

)

1 1 (

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB M là một điểm di động trên đờngtròn Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB).

a Tìm vị trí của điểm M trên (O) sao cho diện tích tam giác OMH lớnnhất

b Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMH Tìm quỹ tích của điểm I

Sở GD & ĐT Thanh hoá

3 3 3

z y x

cz by ax

2005 2005 2005

(sáng tác )

Câu 5:

ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho MBA MAB 150

Chứng minh rằng : Tam gác MCD đều (sáng tác)

đề thi học sinh giỏi lớp 9- Bảng B