30 ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8

Tính số học sinh khá của lớp... Tính số học sinh của trờng đó biếtrằng số học sinh của trờng đó cha đến 1000... Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm 91, đạt điểm khá chiếm 13,

Đề số 1Bài 1: (2 điểm)

1) Chứng minh rằng nếu P và 2P + 1 là các số nguyên tố lớn hơn

Bài 4: (2 điểm)

Bạn Huệ nghĩ ra một số có ba chữ số mà khi viết ngợc lạicũng đợc một số có ba chữ số nhỏ hơn số ban đầu Nếu lấy hiệugiữa số lớn và số bé của hai số đó thì đợc 396 Bạn Dung cũngnghĩ ra một số thoả mãn điều kiện trên

Hỏi có bao nhiêu số có tính chất trên, hãy tìm các số ấy

Đề số 2Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số 195154;

156

385

; 130231 cho phân số ấy ta đợc kết quả là các số tự nhiên

b) Cho a là một số nguyên có dạng: a = 3b + 7 Hỏi a có thểnhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? tại sao ? a = 11; a

= 2002; a = 11570 ; a = 22789; a = 29563; a = 299537

Câu 2: (6 điểm)

1) Cho A 1  2  3  4   99  100

a) Tính A

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ớc tự nhiên Bao nhiêu ớc nguyên ?

Câu 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia đối củatia CB sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

b) Biết BAM = 800, BAC = 600 Tính CAM.

c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm

Câu 5: (2 điểm) Cho a  1  2  3  n và b 2 n 1 ( Với n  N,2



n )

Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau

Đề số 3Câu 1: (4 điểm) Hãy xác định câu nào đúng, câu nào sai trong

g) Nếu n là số nguyên tố thì n/35 là phân số tối giản

h) Hai tia CA và CB là hai tia đối nhau nếu A, B, C thẳng hàng.k) Nếu góc xoy nhỏ hơn góc xoz thì tia ox nằm giữa hai tia oy

và oz

Câu 2: (6 điểm)

1 Cho A 1  7  13  19  25  31 

a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ?

4 3

1 3 2

1 2 1

của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh của lớp xếp loạigiỏi, còn lại xếp loại khá Tính số học sinh khá của lớp.

(n  Z) cho những số nguyên nào ?

Câu 4: (3 điểm) Trên tia Ax lấy hai điểm B, C sao cho AB =

1 (

2

3 10

7

3 7 4

3 4 1

3

N n n

a) Tìm n để A nguyên

b) Tìm n để A tối giản

Câu 3: (2 điểm)

Xếp loại văn hoá của lớp 6A có 2 loại giỏi và khá cuối học kì

I tỉ số giữa học sinh giỏi và khá là 23 cuối học kì II có thêm 1

học sinh khá trở thành loại giỏi Nên tỉ số giữa học sinh giỏi vàkhá là 35 Tính số học sinh của lớp ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó Trên nửa mặtphẳng có chứa tia OB Với bờ là đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy saocho : AOy > AOB

Chứng tỏ rằng :

a Tia OB nằm giữa 2 tia Ox, Oy

b xOy = (AOy + BOy ) : 2

Câu 5: (1điểm)

Cho n  z chứng minh rằng: 5n -1 chia hết cho 4

Đề số 5Bài 1: (2 điểm)

a) Tính 915199 2920 96

27 2 7 6 2 5

8 3 4 9 4 5



b) Tìm x biết:

1 8 : 15

1 1 2

1 4 4

3 2

1 1 5

1 24 6

2 63 60

5 44 40

/

2001

333

333 00

222

222

s c s

Bài 4: (2 điểm)

Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6gói Gói thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba

có 19 chiếc, gói thứ t có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, góithứ 6 có 15 chiếc Hồng và Lan đã nhận đợc 5 gói và số kẹo củaHồng gấp đôi số kẹo của Lan Tính số kẹo nhận đợc của mỗibạn

Bài 5: (2 điểm)

Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng

có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho góc xOz nhỏ hơn 900

a) Vẽ các tia Om, On lần lợt là tia phân giác của các góc xOz vàgóc zOy Tính góc MON ?

b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOz bằng

350

Đề số 6Câu 1: (6 điểm)

Tính một cách hợp lí giá trị của các biểu thức sau:

2007

12 9 6

3     



A

40 8 3 87 6 4 12 53

3

2004 2

2005 1

2006

4

2006 3

2006 2

thứ hai là 48 phút, của xe thứ ba là 36 phút Mỗi chuyến khi trở

về bến, xe thứ nhất nghỉ 8 phút rồi đi tiếp, xe thứ hai nghỉ 12phút rồi đi tiếp, xe thứ ba nghỉ 4 phút rồi đi tiếp Hỏi 3 xe lạicùng khởi hành từ bến lần thứ hai lúc mấy giờ ?

Đề số 7Câu 1: (2 điểm) Chọn những kết quả đúng trong các câu sau:

1) Số 32450 có số ớc là:

A 18 ; B 24 ; C 75 ; D 42

2) Biết ƯCLN(a, b) = 7 và BCNN(a, b) = 210 thì tích a.b là:

A 1470 ; B 217 ; C 2107 ; D 303) Cho abc không chia hết cho 3 Hỏi phải viết số ngày liên tiếpnhau ít nhất bao nhiêu lần để tạo thành một số chia hết cho 3 ?

Đẳng thức trên đúng hay sai ? Nếu sai hãy chuyển vị trí một chữ

) 12 ( ) 7 ( )

2

(x  x  x   x  x 

Câu 3: (3 điểm)

Hai bạn Trang và Giang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để

đến lớp liên hoan Giang đa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng

và đợc trả lại 72000 đồng Trang nói “Cô tính sai rồi” Bạn hãycho biết Trang nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?

Câu 4: ( 5 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB lấy hai điểm M, Nsao cho AM = MN = NB và P là điểm chia cạnh CD thànhhai phần bằng nhau ND cắt MP tại O, nối PN Biết diện tíchtam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2 Hãytính diện tích hình chữ nhật ABCD

a) Tìm các số nguyên x sao cho 4x-3 chia hết cho x-2.

b) Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mãn 56 57 2829





b a

b a

và (a, b) =1

Câu 3: (2 điểm)

Số học sinh của một trờng học xếp hàng, nếu xếp mỗi hàng

20 ngời hoặc 25 ngời hoặc 30 ngời đều thừa 15 ngời Nếu xếpmỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ Tính số học sinh của trờng đó biếtrằng số học sinh của trờng đó cha đến 1000

a) Tính tổng: 98.991.100

4 3 2

1 3 2 1

1 6

1 2

Câu 2: (2 điểm) Cho An3  3n2  2n

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n

b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho15

Câu 3: (2 điểm)

a) Có hay không một số K nguyên dơng sao cho khi chia cho

1993 có các chữ số tận cùng là 0001

b) Vòi nớc thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 4 giờ 30 phút

và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 6 giờ 45 phút Lúc

đầu ngời ta mở vòi thứ nhất cho chảy trong một thời gian bằngthời gian cần thiết để hai vòi cùng chảy đầy bể, rồi sau đó mởvòi thứ hai Hỏi bao nhiêu phút sau khi mở vòi thứ nhất thì bể

đầy nớc

Câu 4: (3 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng

AB và M2 là trung điểm của M1B

a) Chứng tỏ rằng M1 nằm giữa hai điểm A, M2 Tính độ dài đoạnthẳng AM2

b) Gọi M1, M2 , M3 , M4 ,… lần lợt là trung điểm của các đoạn

AB, M1B, M2B, M3B, … Tính độ dài của đoạn thẳng AM8

Câu 5: (1 điểm)

Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mãn:

5

4 1 1 1







c b a

b) Tìm hai số nguyên tố a và b sao cho: 3a 13 b(a 3 )

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho 25 số tự nhiên đợc lập nên từ bốn chữ số: 6, 7, 8, 9.Chứng minh rằng: trong các số này ta tìm đợc hai số bằng nhau.b) Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em

tham gia Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm 91,

đạt điểm khá chiếm 13, đạt điểm yếu chiếm 141 tổng số thí sinh

dự thi, còn lại là đạt điểm trung bình Tính số học sinh mỗi loại

Câu 4: (3 điểm)

Cho góc xOy bằng 1000 , góc yOz bằng 1300

a) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy, Oz của góc yOz

b) Tính góc tOv

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: A 10n  18n 1 chia hết cho 81 (n là số tựnhiên)

5 5625 , 0 : 375 , 0 8

7

5 : 7

3 5 7

1 6 3

2

10

1 6

1 3

Cho 14 số tự nhiên có 3 chữ số Chứng minh rằng trong 14 số đótồn tại 2 số mà khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ các tia

Oy, Oz, Ot sao cho

xOy < xOz < xOt Chứng tỏ rằng:

a) yOz < yOt

b) Các tia Oz, Ot thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tiaOy.

c) Tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng có vô số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 làhai số nguyên tố cùng nhau

5 29

5 5

2005

4 41

4 29

4 4 : 2005

3 43

3 19

3 3

2004

2 43

2 19

2 2

xe thứ hai cần 3 giờ Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ

Câu 4: (2 điểm)

Cho 3 tia chung gốc OA, OB, OC Tính BOC biết rằng:

1 2004

2004 2003

1 2004

2005 2004

Bài 4: (3 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đờng

thẳng AM Từ một điểm O thuộc AM Vẽ các tia OB, OC, ODsao cho; MOC = 1150 ; BOC = 700 ; AOD = 450 (D nằm trongnửa mặt phẳng đối với B, C qua bờ là AM)

a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? Vì sao ?

1 2

1 6

1 3

Ba vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ NÕu vßi I vµ vßi II cïng ch¶y

th× 751 giê ®Çy bÓ; nÕu vßi II vµ vßi III cïng ch¶y th× sau 1072giê th× ®Çy bÓ, cßn vßi I vµ vßi III cïng ch¶y th× sau 8 giê ®Çy

bÓ Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh sau bao l©u ®Çy bÓ

2

1 2

1 2

13 7

13 17

13 2004

5 17

5 7

5 11

5 5 1002 2005 1003

1002 2005

1003

Bài 3: (2 điểm)

Trong một hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữ chiếm 2/5, trong đó 3/8 số nữ là học sinh lớp 6 Trong số học sinh nam dự hội nghị 2/9 là số học sinh lớp 6 Biết số học sinh dự hội nghị khoảng từ 100 đến 150 Tính số học sinh nam, số học sinh nữ lớp 6

a) Viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho 5, 7, 9.

b) Một số chia cho 4 d 3; chia cho 17 d 9; chia cho 19 d 13 Hỏi

số đó chia cho 1292 d bao nhiêu ?

Câu 3: (2 điểm) Đờng từ A đến b gồm một đoạn lên dốc và một

đoạn xuống dốc Một ngời đi xe đạp lên dốc với vận tốc 10 km/

h và xuống dốc với vận tốc 15 km/h Biết rằng ngời ấy đi từ A

đến B rồi lại từ B về A thì hết tất cả 3 giờ Tính quãng đờng AB

Câu 4: (3 điểm)

Cho hai góc kề nhau xoy, xoz sao cho xoy = 1000 , xoz = 1200

a) Tia ox có nằm giữa hai tia oy ; oz không ?

a) Tính

5

3 1 6 65 , 5 20

1 7

05 , 0 : 8 2

1 6

4

3 2 2 2 2 2

Câu 3: (2 điểm)

Tuổi anh hiện nay gấp ba lần tuổi em, lúc tuổi anh bằng tuổihiện nay của ngời em Đến khi tuổi em bằng tuổi hiện nay củangời anh thì tổng số tuổi của hai anh em là 35 Tính tuổi anh,tuổi em hiện nay

Câu 4: (3 điểm) Cho hai tia Ox, Oy đối nhau Trên cùng một

nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oz, Ot sao cho xOz

= 300 ; yOt = 750

a) Tính zOt

b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của zOy

c) Tính zOt nếu xOz =  , yOt =  ( 180 0 )

1

6

1 4

1 2

1

2 2

2

2     

35 61 43

105 43

37

35 37 31

35 : 60 7

6

5 3

2 3 3

Hai địa điểm A và B cách nhau 72 km Một ô tô đi từ A

về B và một xe đạp đi từ B về A gặp nhau sau 1 giờ 12 phút (hai

xe cùng khởi hành) Sau đó ô tô tiếp tục đi về B rồi lại quay về

A ngay với vận tốc cũ, ô tô gặp xe đạp sau 48 phút kể từ lúc gặpnhau lần trớc Tính vận tốc ô tô và xe đạp

Bài 4: (3 điểm)

Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng

có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho góc xOz < 900

a) Vẽ các tia Om, On lần lợt là các tia phân giác của các gócxOz và zOy Tính góc On

b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOZ = 350

c) Vẽ (O; 2 cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lợt tại các

điểm A, B, C, D, E với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ đợc baonhiêu đờng thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên những

đờng thẳng đó

Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b, c là các số nguyên dơng tuỳ ý Tổng sau có thể là sốnguyên dơng không ?

a c

c c b

b b a

Câu 4: (3 điểm) Cho ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia

đối của tia CB sao cho CM = 3cm

a) Tính độ dài BM

b) Biết BAM = 800 ; BAC = 600 Tính CAM

c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm

Câu 5: (1 điểm)

100

1

4

1 3

1 2

1

2 2

2

2     

9 7

9 13

9 1001

3 1001

3 11

3 7

3 3 23

Cho đờng thẳng x’x và một điểm O thuộc đờng thẳng ấy Hai

điểm A, B nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ x’x và một

điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ x’x

và có chứa điểm A Biết xOB =1150 ; AOB = 750 ; x’OC = 400

a) Tính các góc xOA, x’OB

1 2

1 4

1 3

1 2 1

4

1 3

1 2 1

b) Tìm số chia và thơng của một phép chia có số bị chia là 145,

số d là 12 biết thơng khác 1, số chia và thơng đều là số tự nhiên

Bài 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng 2x 3y 17 khi và chỉ khi 9x 5y 17

b) Gọi S(N) là tổng các chữ số của N Tìm N biết N + S(N) = 94

Bài 4: (3 điểm)

Cho các tia OB, OC thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứatia OA Gọi OM là tia phân giác của BOC Tính AOM biết rằng:a) AOB =100 ; AOC = 600

b) AOB = m ; AOC = n (m > n)

c) Vẽ p tia chung gốc Trong hình vẽ có bao nhiêu góc.

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phơng:

cab bca abc

1 36

1 57

1 5

3 4

b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các chữ số khác nhau.Tìm ƯCLN của tất cả các số lập đợc

Bài 3: (2 điểm)

1) Ngời ta lấy một tờ giấy xé thành 5 mảnh sau đó lại lấy một sốmảnh này xé mỗi mảnh thành 5 mảnh nhỏ hơn Hỏi sau một sốlần xé liên tục nh vậy ta có thể có đợc 2004 mảnh, 2005 mảnhhay không ?

2) Tìm số có hai chữ số khác nhau dạng ab sao cho ba cũng là

số nguyên tố và hiệuab  ba là số chính phơng

Bài 4: (3 điểm) Cho đờng thẳng x’x và một điểm O thuộc đờng

thẳng ấy Hai điểm A, B nằm trong cùng một nửa của mặt phẳng

bờ x’x và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối vủa nửamặt phẳng bờ x’x có chứa điểm A

Biết xOB = 1150; AOB = 750 ; x’OC = 400.

a) Chứng minh rằng OA nằm giữa hai tia OB, Ox

a) Chứng minh: B chia hết cho 2 30

b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61

Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm x nguyên để 64x x59 nguyên

b) So sánh A với 1, biết: 2 3 2 100

1

2

1 2

1 2

Bài 4: (2 điểm)

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hếtcho 9 và tổng của hai số đó là một số có đặc điểm sau:

- Có 3 chữ số

- Là một bội số của 5

- Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị chia hếtcho 9

- Tổng của chữ số hàng trăm và chữ hàng chục chia hết cho4

4 Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục chia hết cho 4.Hãy cho biết bạn An đã nghĩ ra số nào ?

Bài 2: (5 điểm)

a) Khi chia 1 số A cho 7 ta đợc một số d là 6, còn khi chia nócho 13 đợc số d là 3, hỏi khi chia A cho 91 thì số d là baonhiêu ?

b) So sánh 231 và 321

Hai thành phố A và B cách nhau 100km Một ngời đi xe đạp

từ A đến B và ngời khác đi xe đạp từ B đến A Họ khởi hànhcùng một lúc và 5 giờ sau thì gặp nhau Nếu sau khi đi đợc 1 giờ

30 phút ngời đi xe đạp từ B dừng lại 40 phút rồi mới tiếp tục đithì phải sau 5 giờ 22 phút kể lúc khởi hành họ mới gặp nhau.Tìm vận tốc của mỗi ngời

Đề số 27

Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

12

1 3 ) 5 , 2 ( ) 28 , 1 ( 8

1 ) 37 , 0

4

9 5

6

6 3

.

8

120 6

a) Tìm các số nguyên dơng a và b sao cho: 3a  1  (b 1 ) 2

b) Cho các số nguyên dơng a, b, x, y thoả mãn các đẳng thức: a+ b = x + y;

ab + a = xy Chứng tỏ rằng x = y

Bài 3: (2 điểm)

Chứng minh rằng: 20051 43

4

1 3

1 2

1

2 2

Cho tam giác AOB gọi Ox là tia phân giác của góc AOB, tia Oy

là phân giác của góc xOB

a) Biết yOb = a0 Tính AOB theo a0

b) Gọi giao điểm của Ox với Oy và với AB lần lợt là C và D

c) Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AO, BO với các điểm O,

M, N, A, B, C, D kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng phân biệt đi quacác cặp điểm ? kể tên những đờng thẳng đó

Bài 5: (1 điểm)

Tính

2004

1

3

2002 2

2003 1

1

4

1 3

1 2 1

2000

16 14 12 10 8 6

2 2

Bài 3: (2 điểm) Chứng minh rằng luôn tìm đợc 2005 số tự nhiên

liên tiếp đều là hợp số cả

2) Tổng của 9 số tự nhiên khác 0 là 2005 Gọi d là ƯCLN củacác số đó Tìm giá trị lớn nhất của d

Bài 4: (2 điểm)

Bạn An nói rằng có thể trồng 9 cây thành 10 hàng mỗi hàng có

3 cây Hãy cho biết bạn An đã làm nh thế nào ?

I H

ợc trả lại 72000 đồng Hà nói: “Cô tính sai rồi” Em hãy cho biết

Hà nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?

Bài 4: (3 điểm)

Trong hình vẽ bên:

a) Có bao nhiêu tam giác nhận EF làm cạnh ?

b) Có bao nhiêu góc có đỉnh là E ?

c) Nếu biết số đo của góc BDC bằng 600,

góc EDF bằng 500 thì tia DE có phải là

tia phân giác của góc BDF không vì sao?

Bài 5: (1 điểm)

60

1 24

1 6

1 4 3 2

1 3 2 1