Đang tải... (xem toàn văn)
Giải hệ phương trình:.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang ) Câu (4,5 điểm) 29 12 ; a) Rút gọn biểu thức: A = b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi Câu (4,0 điểm) 3 a) Giải phương trình: x + x = 3; b) Cho số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y 2012 +1 =0 3y - 2z - z 2013 + = 3z - 2x - x - = 0; 2011 2012 2013 Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013) Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: x x y y 2 y x3 Câu (6,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By (Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F a) Gọi giao điểm của AF và BE là K Chứng minh MK vuông góc với AB; b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF r Chứng minh rằng: < R < ; c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B phía ngoài nửa đường tròn Chứng minh rằng M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng qua D và song song với MB luôn qua một điểm cố định Câu 5( 2,0 điểm) Cho x, y >1 Chứng minh rằng: ( x3 y ) ( x y ) 8 ( x 1).( y 1) Hết (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP - THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Câu (4,5 điểm): 5 29 12 ; b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi a) Rút gọn biểu thức: A = 3 Nội dung 5 a) A = = 5 5 = 3 29 12 = 5 3 Điểm (2 3) 3 3 0,50 ( 1) 1 = = b) Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông: x y z Ta có: x y z (1) xy = 2( x + y + z) (2) 0,50 0,50 2 Từ (1) ta có: z ( x y ) xy ( x y) 4( x y z ) ( x y ) 4( x y ) z z ( x y 2) ( z 2) x y z ( x+ y 2) Thay z = x + y - vào (2) ta được: ( x- 4) ( y - 4) = 8, suy ra: x - =1 và y - =8 x = và y = 12 z = 13 x - =2 và y - =4 x = và y = z = 10 Vậy các tam giác vuông phải tìm có các cạnh là: 5, 12, 13 và 6, 8, 10 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu (4,0 điểm): x + x = 3; a) Giải phương trình: b) Cho số x, y,z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y 2012 +1 =0 3y - 2z - z 2013 + = 3z - 2x - x - = 0; 2011 2012 2013 Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013) Nội dung Điểm x2 + 7 x = 3 x2 x 27 x 3 a) + ( x 2)(7 x) x (3 x 2 + = 27 x ) = 27 0,50 0,50 (3) (x + ) ( - x ) = x - 5x - = x = -1; x = 0,50 Vậy phương trình có nghiệm x = -1; x = 0,50 b) 3x - 2y - y 2012 +1 =0 (1) 3y - 2z - z 2013 + = (2) 3z - 2x - x - = (3) Cộng vế với vế của (1), (2), và (3) ta được: 0,50 x + y + z - y 2012 - z 2013 - x = ( x - - x + 1) + ( y + 2012 - y 2012 + 1) + ( z - 2013 - z 2013 + 1) = ( x - ) + ( y 2012 - 1) + ( z 2013 - 1) = x - = x = y 2012 - = y = - 2011 0,50 0,50 z 2013 - = z = 2014 2011 2012 Vậy P = ( - 4) + ( - 2011 + 2012) 2013 P = -1 + +1 = + ( 2014 - 2013) Câu (3,0 điểm): Giải hệ phương trình: 0,50 x x y y 2 y x Nội dung ĐK: x 0, y 0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có ( x - y ) ( 1+ xy ) = x = y hoặc xy = -1 x y x y y x3 ( x 1)( x x 1) 0 * 1 1 x = y = 1; x = y = ; x=y= ( thỏa mãn ĐK) y x xy x3 * 2 y x 1 x y x x x 0 vô nghiệm Điểm 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50 (4) 1 2 (Ta có x + x + = ( x - ) + ( x + ) + > x) 0,50 Vậy hệ đã cho có nghiệm 1 1 ; x=y= x = y = 1; x = y = 0,25 Câu 4: (6,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O.Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By ( Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F a) Gọi giao điểm của AF và BE là K Chứng minh MK vuông góc với AB; b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng r minh rằng: < R < ; c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B phía ngoài nửa đường tròn Chứng minh rằng M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng qua D và song song với MB luôn qua một điểm cố định Nội dung Vẽ hình: Điểm 0,50 a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AE = EM, BF = FM Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta 0,50 KF BF có: KA AE KF MF KA ME MK // AE MK AB 0,50 b) Chứng minh tam giác OEF vuông tại O, OM là đường cao và OM = R Gọi độ dài cạnh của tam giác OEF là a, b, c; EF = a 0,50 0,50 0,50 0,50 1 Ta có S EOF = r (a + b + c) = aR r a aR = r( a + b + c) R a b c a a Mà b + c > a a + b + c > 2a a b c < 2a < Mặt khác: b< a, c < a a + b + c < 3a 0,50 0,50 (5) a a 1 r a b c > 3a > < R < c) Gọi T là giao điểm của tia By và đường thẳng qua D và song song với MB Ta có BDT = 90 Chứng minh tam giác AMB và tam giác TDB bằng ( g-c-g) AB = BT BT không đổi, T thuộc tia By cố định T cố định Vậy M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng qua D và song song với MB luôn qua điểm cố định T 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho x, y >1 Chứng minh rằng: ( x3 y ) ( x y ) 8 ( x 1).( y 1) Nội dung xy x2 y ( x3 y ) ( x y ) x2 y2 ( x 1).( y 1) Ta có P = = y x y x = ( x 1)( y 1) (1) 1 x x x 1.( x 1) 2 Lại có 1 y y y 1.( y 1) 2 xy xy ( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1) 8 (2) Suy ( x3 y ) ( x2 y ) 8 ( x 1).( y 1) Từ (1) và (2) suy x y2 Dấu bằng xảy y x và x = y = x = y =2 HẾT - Điểm 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 (6)