Bộ 50 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán 9 có đáp án - Sở GD&ĐT Thanh Hóa_2

Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA... Tìm giá trị lớn nhất của bi

Đề Số 1

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

(Thời gian làm bài 150’)

Câu 1: Giải phương trình

x x

x





 1

3 6

M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2

Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC

(B,C là các tiếp điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF

ở P và Q Chứng minh rằng tỷ số

EF

PQ

không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC

Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức

2(y+z) = x (yz-1)

Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên

tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó

Đề Số 2

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9

(Thời gian làm bài: 150’)

Câu 1: Cho biểu thức

2 2

y y x x

và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C

a Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy

Câu 5: Giải phương trình

x2 + 3x + 1 = (x+3) x2  1

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Thanh hoá Môn: Toán

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,

x3, x4 thoả mãn điều kiện

a Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol

b Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ

Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:

x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0

Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao

cho OA = OB Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O

và B Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I

1 Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được

2 Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB

Bài 9: Cho tam giác ABC có A900, M là một điểm di động trên cạnh BC Gọi O và

E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Xác định vị trí của M

để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất

-

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2đ)

Rút gọn A

a

a a

a

2 1 1

2 1 2

1 1

2 1

Bài II (6đ)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phương trình

x3 =7x +3y

y3 = 7y+3x

Bài III (3đ)

Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1

Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx

Bài IV (6đ)

Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠? CD) M,N lần lượt thứ tự là trung

điểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I là giao điểm của MH’ và NH Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D

Bài V (3đ)

Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1 Chứng minh b+c ≥ 16abc

Đề thi học sinh giỏi - lớp 9 Môn toán -thời gian : 150 phút

người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm

Câu 1: (4 điểm)

Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x

A =

2 3

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

x x

x x

x x

10

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao,

đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông

với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh rằng đường thẳng

PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0)

Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9

y y x x y x

y x y y x x

y x

b a

giác là:

5

2

2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng () Đường tròn (o) tiếp xúc với

đường thẳng () tại A Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) và tiếp

xúc với đường thẳng () tại B

Câu 4: (5 điểm)

Cho hai đường tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung gần B

của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và D Qua A kẻ đường

thẳng song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M và N Các đường thẳng BC và

BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại

E Chứng minh rằng:

1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD

2, Tam giác EPQ là tam giác cân

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 – bảng b

1 1 1

1 2

2

1 2

1 1 2

m my x

m y mx

Bài 5: Giải phương trình x2  x 5  5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với

Ox, Oy Xác định m để SABO bằng 4

Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đường

phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20

Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất

phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia

Tài liệu:

- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9

- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9

- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính

- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9

Sở Giáo dục và Đào Tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS

thanh hoá Môn thi : Toán

( Thời gian làm bài : 150 phút)

1) Giả sử phương trình : x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và phương

trình :x2+cx +d = 0 có hai nghiệm x3 , x4 Chứng minh rằng :

Bài III (5,0 điểm):

Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn AA’,BB’,CC’ lần lượt là các

đường cao H là trực tâm

1) Chứng minh rằng:

2) Cho biết Hãy tính tgB.tgC theo m

Bài IV (4,0 điểm):

Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Ta

nối với các đỉnh của hình bình hành đó

Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu

diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong

các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành

Bài V (2,0 điểm):

Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :

x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y

1

1

a a

'  

HC

CH HB

BH HA

AH

m H A

AH

 '

Sở GD-ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Bài 1: (2,0đ)

Tính giá trị biểu thức:

A=

3 2 2

1 3

2 2

b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC

c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R Bài 4: (4,0 đ)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều Điểm A’ cách đều các điểm A, B, C

a Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của đáy ABC

b Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật

Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs

Trường thpt trần phú Môn : Toán

Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao

2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau

Bài 3: (3 điểm)

Cho a + b + c + d = 2 Trong đó a, b, c, d ê R

Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1

Bài 4: (4 điểm)

Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D

Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:

Sở GD&ĐT Thanh hóa

c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động trên một đường

cố định khi M di động trên cung AC nhỏ

-Hết -

Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : Cho biểu thức

 a

a

a a a a

A   : a2

1a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa

b) Rút gọn A

Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B

Bài 3 : Cho phương trình

2

1 ) 1 ( 4

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2thoả mãn biểu thức

2 2 1 2 2

Bài 5 : Giải phương trình

5 1 6 8 1

b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A(P)

Bài 7:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

1820 13

7x2 y2 

Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác

Chứng minh rằng

C B

A S

S

ABC

cos cos

cos



Bài 9:

Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên

4 cạnh của hình vuông Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất

Bài 10 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay

quanh P

Sở giáo dục & đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THcs

Cho hai phương trình: x2

+ ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0 Biết rằng hai phương trình có nghiệm chung và a  b nhánhÊt Tìm a và b

3 3

1yxyx

yx2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3

+ y3 + 6xy = 21

Bài IV (2,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và F

1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn

2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r

Chứng minh: IB.IC = 2r.IM

Bài V (2 điểm)

1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0a3 ; 8 b11

và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b

2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz

Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P)

-

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Chữ ký của hai người coi thi: Số 1: ……… Số 2: ………

Sở GD&ĐT Thanh Hoá

Trường THPT Hoằng Hoá 2 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm)

Rút gọn biểu thức :

P =

20052001

1

139

19

5

15

Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1

Hãy tính giá trị của biểu thức sau :

2 2

2

2 2

2

2 2

1

)1)(

1(1

)1)(

1(1

)1)(

1

(

z

y x

z y

x z

y x

z y

132

53

x x

3

3 3

y x

y x y

x

Bài 5 (2 điểm)

Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :

4524

42818

là số nguyên dương

Bài 8 (2 điểm):

Cho 2 đường tròn (01, R1) và (02, R2) có R1> R2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (01, R1) tại M và đường tròn (02, R2) tại N ( các điểm M, N khác A) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút

Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:

2 2 5 3 5 3

4 2 4 10 17 5 17 5

Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình:

x2 - 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:

m y x

y x







 2

3 2

Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:

1 3

y mx

có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1

Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2

a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất

Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả

3 2

5 11

Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a  b

Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D

Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C

Thoả IA.ID = IB.IC

a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn

b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F Hãy xác định điểm E trên FD sao cho AE  FI Khi đó ICED là hình gì?

Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p M, N trên AB

Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m3 2 đáy

là 2 đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn tâm (O), C di động trên đường tròn (O) S thuộc đường tròn tâm (O')

a) Xác định C để diện tích  ABC là lớn nhất

b) Khi  ABC đạt giá trị lớn nhất Hãy tính thể tích hình chóp SABC

Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Trường THPT bc lê viết tạo

****************************

Bài 1:

a) Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3

9

4 9

2 9

1 1

b) Tính giá trị biểu thức

1 3

b a a c

a c c b

c b b c a c

b a a

b c b

a c c

( ) )(

( ) )(

(

2 2 2

2 2

2

Bài 3: Cho phương trình: x2  2mx 2m 1  0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia

Bài 4: Giải phương trình: 8  x  5  x  5

Bài 5: Chứng minh nếu a  2 thì hệ sau vô nghiệm:

5

y x

a y x

Bài 6: Cho Parabol (P) 2

4 4 4 4

2 4

8x  y  z t

Bài 8: Cho tam giác ABC Phân giác AD, trung tuyến AM Lấy đối xứng trung tuyến

AM qua AD cắt BC tại N Chứng minh: 22

AC

AB NC

NB

Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1 Hỏi đường chéo lớn nhất có giá trị bé nhất là bao nhiêu

Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với 2 đường kính AB và MN Tiếp tuyến với (0) tại

A cắt BM và BN tại M1, N1 Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểm của AN1 Đường kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi đường kính MN thay đổi

Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá

đề thi học sinh giỏi lớp 9

x 9 x

3

2 x x 2

3 x : 9 x

x 3 x 1 P

c Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?

Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau

5 x 4 x

4 y 1 x

Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm

O đường kính AH Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E

a Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng

b Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại

M và N Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC

c Cho AB = 8cm, AC = 9cm Tính diện tích tứ giác MDEN

Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:

xy 1

2 y

1

1 x

Sở GD & ĐT Thanh hoá đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9

Trường THPT Quảng Xương 1 Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006

(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

3 1

2 1

x x

x x

2> Giải phương trình:

4)

11

BE 

b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE Tính diện tích ABCD

2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp

Bầi 4: (5 điểm)

1> Tìm aR để phương trình ẩn x sau: ) 4 7 0

2

114(

2x2  a x a2  

có nghiệm nguyên

2> Chứng minh rằng:

3)

(

4

2

2 2

2 2 2

x y

Sở GD & ĐT Thanh Hoá

Trường THPT Quảng Xương II

2

3 1

2

3 1 1

2

3 1

3

5 1

1 4

1 4

y z

x

x z y

z y x

b Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9

Bài3 (5điểm)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=

c b a

c b

c a

b a

c b

4

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

b Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:

x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm

Bài 4 (5điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CBAH Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I Hai trung trực của AC và BC cắt nhau tại O

a Chứng minh ABH đồng dạng với MKO

b Chứng minh 3

3 3 3

3 3 3

IB IH IA

IM IK IO

Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

1 3

1 6 27 3

1 6 4 9

x

y x

T  111 với a, b, c  N và T < 1

2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đường cao BM Chứng minh rằng

1 2

AM

Bài 5:

Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD Tìm tập hợp các điểm M nằm trong

tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện tích các tam giác AEB và CED trong các trường hợp:

1) (2đ) AB và CD song song

2) (2đ) AB và CD không song song

Hết

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán - Thang điểm: 20

Bài 1: (6đ)

1 (2đ) Rút gọn biểu thức A =

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

b a a

a (2đ) HPQ ~ ABC

b (2đ) KP // AB, KQ // AC

c (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp được

sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9

truờng thpt đặng thai mai môn : Toán

5

5 6

B ; a   1 2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi

z x y x

1

2 2





m m

m x

m m

m y

1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (Dm)

2.Tìm m để đường thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2

tại hai điểm có hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy

n  với mọi số tự nhiên n 1./

đề thi học sinh giỏi lớp 9 THcs

2 1

2 1

Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x2

- mx + m - 1 = 0

Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức

) 1 (

2

3 2

2 1 2 2 2 1

2 1

x

x x C

Với x1,x2 là các nghiệm của phương trình đã cho

Câu 3:

a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 1 x -9) = 27

b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:

(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27

Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’ Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A

a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp

b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA

c.(1 đ) Giả sử AB cố định, MN thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R

sở gd&đt thanh hóa

6 7 2 2

2

2 4 2

m m x m x

b Giả hệ phương trình sau

x2 +y2 =

2

1 (1) 4x( x3 –x2 +x-1) =y2+2xy -2 (2)

Câu 2 (1.5điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên

x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)

Câu 3 (1.5 điểm )

Cho ba số thực dương x,y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Q = 2 ( ) 3 (1 1 1)

z y x z y

Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d sao cho AB=2 ;

BC=4 (đơn vị dài ) Một đường tròn (O) di động có tâm O và đi qua BC Gọi AT ,AT’

là hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn (O) với T,T’ là hai tiếp điểm

Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:

b\ Gọi d là đường thẳng đi qua I và m Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (P) tại

2 điểm phân biệt A, B

c\ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục Ox Chứng minh rằng tam giác IHK vuông

d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4 m 0

Bài 3:(4đ) Cho phương trình: (m-1)x2

-2(m-2)x+m+1=0

a Giải và biện luận theo thámố m

b Khi phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với tham số m

Bài 4(6đ) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O)

và các cạnhBC, CA, AB lần lượt là D, E, F Kẻ BB1  AO, AA1 BO

Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng

Bài 5(2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

y2=-2(x6-x3y-32)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán Thời gian:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Khắc Trữ

Hà Quang Hiểu

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

A =  

9 6 16

2

2 2

x x

a) Rút gọn A

b) Tìm xnguyên để A nguyên

Bài 2: (4điểm) Cho phương trình:

x2  2m 1xm 1  0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Giả sử x1, x2là 2 nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của

 x12 x22  1

1

4 1

1 1

3

2 3 4 5 3

4 3



x x x x x x x x x x x P

Bài 3: (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

7

1 1

1  

y x

Bài 4: (3 điểm) Giải hệ phương trình

3 1

+ x2 4 + x3 4 + x4 4 = 32

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R (R là một độ dài cho trước) M, N

là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng cáckhoảng cách

từ A, B đến đường thẳng MN bằng R 3

1) Tính độ dài đoạn MN theo R

2) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và

BN là K Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó theo R

3) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích KAB theo R khi M, N thay đổi những vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán

Bài 5: (2,5 điểm)

Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2

+ (3 -x)2  5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2

Đề thi toán học sinh giỏi lớp 9

Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)

1

1 1

x

z y x

1

1 1

y

x z

1

1 1

z

y x

z y x

1) Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đường chéo BD Gọi E, F lần lượt

là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AD

Chứng minh 3 đường thẳng CM, DE, BF đồng qui

2) Chứng minh rằng nếu các cạnh của một tam giác không lớn hơn 1 (đơn vị dài) thì diện tích của nó không lớn hơn

4

3 (đơn vị diện tích)

Bài 4: (6 điểm)

1) Cho n số thực: a1, a2, …, an [-1;1]

Thoả mãn a13 a32  a3n  0

a- Tìm m để bất phương trình có nghiệm?

b- Xác định m để (1) đúng với mọi x?

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9

Thanh hoá môn thi : toán

Thời gian:(150 phút-không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : Tính giá trị biểu thức:

 3 2 2006

2 8

5 6 14 5

38 5 17 3

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x

x P

Bài 3 :Chứng minh rằng phương trình :

x2 2mx 2 20052006 0 không có nghiệm nguyên với mọi mZ

Bài 4: Tìm tất cả tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số

đo chu vi

Bài 5: Giải phương trình :x2  2 x  2x2 2 x

Bài 6 : Cho Parabol (P): 2

Bài 7 : Trên một đường tròn viết 2006 số tự nhiên,biết rằng mỗi số là trung bình cộng

của 2 số đứng liền trước và sau nó Chứnh minh rằng tất cả các số đó bầng nhau

Bài 8 : Các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H Biết rằng HC=AB , tìm góc

ở đỉnh C

Bài 9 : Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R kẻ hai tiêp tuyến PA và

PB với A,B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông goc hạ từ điểm A đến đường kính BC

a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

b.Tính AH theo R và PO =d

Bài 10 :Cho 10 điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) Nối từng cặp 2 điểm với nhau ta

được các đoạn thẳng Mặt phẳng (P) có thể có 30 giao điểm với các đoạn thẳng nói trên không?

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài II: (5 điểm)

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1x

3x4

2 



2/ Cho parabol y = x2 gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = kx + 2 với parabol (k là tham số) Tìm giá trị k để đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất Cho biết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) là:

Bài IV: (4 điểm)

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F là hai tiếp điểm của AB, BC với đường tròn (O), K là giao điểm của đường phân giác trong BAC với EF Chứng minh rằng CKA = 900

Bài V: (4 điểm)

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đường trung trực của AB cắt BD, AC tại M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích của hình thoi theo a và b

Sở gd & ĐT thanh hoá

Trường thpt triệu sơn 3

======***=====

đề thi tuyển sinh vào 10 - thpt chuyên lam sơn

môn: toán chuyên

(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)

Giáo viên ra đề : Trịnh Quốc Phượng Bài 1(2đ) ( Đề thi vào chuyên toán THPT Lê Hồng Phong- Nam Định – 2002 và

chuyên toán tin -ĐHSPHN-2003 )

1/ Không sử dụng máy tính và bảng số , chứng minh rằng

20

29322

323

22

325

347.32

4

6 3

Bài 2(2đ) (Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ)

Ba số thực x,y,z đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện

( y  z )31  x3  ( z  x )31  y3  ( x  y )3 1  z3  0

Chứng minh rằng

( 1  x3)( 1  y3)( 1  z3)  ( 1  xyz )3

Bài 3(2đ) (Tuyển chọn các bài toán từ các cuộc thi của một số nước Đông Âu-Th.s

Nguyễn Văn Nho)

Giả sử phương trình x2 (m4)xm2 3m3 0( với m  0, m  2) có hai nghiệm x1 và x2

1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho x12+ x22 = 6

2/ Chứng minh rằng

9

121 8

1 1

1

2

2 2 1

y x

y x y

2/ Giải phương trình x2  3 x  2  x  3  x  2  x2  2 x  3

Bài 6(2đ) ( Thi học sinh giỏi Toán 9 – TPHCM 1994 –1995)

Trong mặt phẳng toạ độ oxy cho Parabol (P)

4

2

x

y và điểm I(0;-2), gọi (d) là

đường thẳng đi qua I có hệ số góc là m

1/ Vẽ (P) Chứng minh rằng với mọi số thực m , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

2/ Tìm giá trị của m để đoạn thẳng AB ngắn nhất

Bài 7(2đ) ( Phương trình và các bài toán nghiệm nguyên – Vũ Hữu Bình)

Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

z y x

z y x

Bài 8(2đ) (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2001)

Các đường cao AH, BE và CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại các điểm thứ hai tương ứng M, N và K Tính

CF

CK BE

BN AH

Bài 9(2đ) ( Bất đẳng thức hình học – TSKH Vũ Đình Hoà)

Từ một điểm M trong tam giác ABC cho trước , hạ các đường vuông góc MA1 , MB1

và MC1 xuống các đường thẳng BC, CA và AB Với vị trí nào của điểm M thì đại lượng

1 1

c MB

b MA

a

P   đạt giá trị nhỏ nhất ? ( với BC = a, CA = b, BA = c)

Bài 10(2đ)(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 2002)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi M là điểm đối xứng của O qua A Một cát tuyến qua M ( không đi qua O) cắt đường tròn tại C và D Tìm quỹ tích giao điểm

P của các đường thẳng AC và BD khi cát tuyến chuyển động nhưng luôn đi qua M

==========Hết==========

Sở GD - ĐT Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán; Thời gian: 150 phút

Câu 1: (36 bộ đề Toán – Võ Đại Mau – Trang 212)

Rút gọn biểu thức sau:

A=

3 2 2

3 2 3

2 2

3 2

6 3

4

1 3 1 2

1 6

2

2 2

x x x

y

x y x

Cho (P) : y=ax2 và đường thẳng d: y=bx+c

Tìm a,b,c sao cho (P) tiếp xúc với d tại I(1;4)

Câu 7: (sáng tác)

Chứng minh rằng phương trình: ax2

+ bx + c =0 không có nghiệm nguyên nếu a,b,c là các số nguyên lẻ

Câu 8: (Toán bồi dưỡng hình học 9 – trang 58)

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O và O’ là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác AHB và AHC Đường thẳng OO’ cắt AB ở M và AC tại N

Chứng minh AM = AN

Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi 86-87)

Cho hình vuông ABCD Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AD tại M  D

Chứng minh DM đi qua trung điểm BC

Câu 10: (36 bộ đề – Võ đại Mau – Trang 187)

Dựng hình bình hành ABCD cho biết đỉnh A và các trung điểm E, F của các cạnh CB,

1 12

10 2

3 )

2 )(

3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

x x

x x

x x

) 1

( ) (

4

1 ) (

2

1

y x y

x x

y y

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao,

đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông

với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh rằng đường thẳng

PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0)

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán học - Thờigian làm bài : 150 phút

Đề thi bảng A Câu1: Cho a, b, c là 3 số dương n  N ; n  2 chứng minh rằng:

n n

n

n

n b

a

c a

c

b c

2 2

) 1 ( 36

4 3 2

2 2 2

2 2 2 2

d b a

d c b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2

+ b2 + c2 + d2 (3 điểm)

Câu 3: Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, .) được xác định bởi

27 28

1

0 9;a n 27a n 28a n

a     với mọi n = 0, 1, 2, Chứng minh số a11 viết trong hệ

thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9 (4 điểm)

Câu 4: Cho a, b, c là 3 số khác nhau và giả sử x, y, z là một nghiệm của hệ phương

d b z b y b x

d a z a y a x

) )(

)(

(

) )(

)(

(

) )(

)(

(

Câu 5: Trên mặt phẳng cho góc = 600 cố định Một tam giác cân MAB (MA =

MB = a không đổi ; = 1200 thay đổi vị trí sao cho 2 đỉnh A, B chạy trên 2 tia tương ứng Ox , Oy Tìm quĩ tích của điểm M ( 6 điểm)

Thi học sinh giỏi lớp 9 bảng A

(Thời gian 150 phút , không kể giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm) : Rút gọn biểu thức sau :

m m

m m

m m

n

2 2 1

2

3 4

4

) 2 ( 3 2

c a c

2 2

) (

) (

2 (

0 1

y x y x

y x

a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số và phương pháp đồ thị

b) Từ đồ thị hãy tìm xem có thể thay số hạng –1 của phương trình thứ nhất bằng

số nào để hệ đã cho chỉ có một nghiệm Có thể thay đổi hệ số của x và y của phương trình thứ nhất sao cho hệ đã cho vô nghiệm được không ?

 và diểm I ( 0 ; -2) ; gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m

1) Vẽ (P) Chứng tỏ với mọi mR , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a ( a > 0 ) cho trước và BC = 2AB

.Gọitam giác DEF là nửa tam giác đều nội tiếp trong tam giác ABC ( D trên cạnh BC ;

E trên cạnh AC ; F trên cạnh AB và góc EDF vuông ) Tìm vị trí D , E , F để diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ nhất , tính theo a giá trị nhỏ nhất đó

Bài 9 ( 2,0 điểm)

Cho hình thang cân ABCD ( AB > DC ) 0

60 ˆ

ˆ B

A , có một đường tròn tâm O nội tiếp hình thang tiếp xúc với các cạnh AB , BC , CD , DA , lần lượt tại M , N , P , Q

1) Chứng minh AD , MP , BC đồng quy tại điểm S

2) Chứng minh QN là đường trung bình của SAB

3) Gọi S1 là diện tích hình QNCD , S2 là diện tích tứ giác ABNQ Tính

Cho điểm P cố định nằm trong đường tròn tâm O , bán kính r Một dây cung

AB của đường tròn (O) nhưng luôn đi qua P Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại C Tìm quỹ tích điểm C

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn Toán-Thời gian 150 phút

Bài 1: (5 điểm)

1 Tính giá trị của biểu thức:

A= 216 6 216 6

2 Rút gọn biểu thức sau:

baba

bb

aa

3 2 3

Bài 3: (3 điểm)

Giải hệ phương trình sau:

2x

12y

1

2y

12x

Cho 4 số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88=0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2

Bài 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có diện tích S Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác đó M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC Gọi diện tích của hình chữ nhật MNPQ là S1

Chứng minh rằng: S  2S1

Bài 6: (3 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính BC trên đó có 1 điểm A di động Gọi D là chân đường cao AD của tam giác ABC và M, N lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và tam giác ACD Chứng minh rằng đường vuông góc với MN kẻ từ A luôn

đi qua một điểm cố định

Sở GD - ĐT Thanh hóa

Trường THPT Thống Nhất

Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 Thời gian : 150 Phút Giáo viên ra đề : Nguyễn Quốc Tuấn

Chức vụ : Giáo viên Toán

Trường THPT Thống Nhất

Câu 1: (2điểm)

Cho x=

4 3

3222

2



3222

11x2

0y

11x1

Câu 4( 2điểm )

Giải phương trình

7x6

x

3 2   + 5 x210x14 = 4 - 2x - x2 Câu 5 (2điểm)

Cho hàm số y=ax+b

a) (1điểm ) Tìm a,b sao cho đồ thịhàm số qua A(0;1) và B(-1;0)

b) (1điểm )Vẽ trên 1 hệ tọa độ hai đồ thị :

y= x2 - 1 và đồ thị hàm số trên Qua đó giải phương trình : x2 - x - 2 = 0

Câu 6( 4điểm )

a) Chứng minh rằng : |a| +|b|  | a+b |

b) Tìm giá trị nhỏ nhất : M = | x-2004 | + |x - 2006|

Câu 7 ( 6điểm )

Cho đoạn thẳng AB, C ở giữa A và B Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax

và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy I , Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K Nửa đường tròn đường kính IC cắt IK tại P

a) Chứng minh CPKB nội tiếp và AI.BK = AC.CB

b) Tam giác APB vuông

c) Giả sử A,I,B cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất

Sở GD-ĐT Thanh Hoá

Trường THPT Trần Khát

Chân

Đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Trường THPT chuyên Lam Sơn năm 2006-2007

Thời gian làm bài: 150 phút

Đề bài :

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

P (x) = (x+1)4 + (x2 + x + 1)2

2 Chứng minh rằng số x = 3

27

125 9

3   - 3

27

125 9

Vĩnh Lộc, ngày 13 tháng 01 năm 2006

G/v : Hoàng Văn Hoan

Sở GD&ĐT Thanh hoá

Đề thi vào 10 chuyên Lam Sơn Môn : Toán chuyên

215 6

) (

2 2

2 2 4

b a ab

b a b

a

Bài 2: (1,5 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A= x+y+z

biết

2

3 1

2 2

z yz

y    

Bài 3: (1,5 điểm)

Giải phương trình:

x x x x

x x

5 2 1

Bài 5: (2 điểm)

Cho ABC , Â=900; D là một điểm trên cạnh AC(A và C) Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ 2 là BF đến đường tròn (D), F là tiếp điểm Gọi M là trung điểm của BC; BF cắt AM tại N

1 : 1 3

1 1

3

1 1

9

8

3

x x

x x x

x

x x x

x x

x x

1 Rút gọn M

2 tìm x để M =

2 3

2 2 2 2

y x y xy x

y x y xy x

3 Cho Parabol ( P ) y = x2 Tìm hàm số có đồ thị ( P’) đối xứng với (P) qua đường thẳng x = 2