A – TUYỂN TẬP 40 BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ĐỀ SỐ 1 Thời gian: 150 phút Câu I. ( 4 điểm). Giải phương trình 1. 2. y2 – 2y + 3 = Câu II. (4 điểm) 1. Cho biểu thức : A = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2. Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) Câu III. (4,5 điểm) 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1. 2. Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m3 =0 (1) + Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. + Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng 3. Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (ABCD; AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC. 1. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều. Câu V. (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp. Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900
1 Đề luyện tập thi huyện có đáp án A – TUYỂN TẬP 40 BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐỀ SỐ Thời gian: 150 phút Câu I ( điểm) Giải phương trình x − x + + x + 10 x + 25 = y2 – 2y + = x + 2x + Câu II (4 điểm) Cho biểu thức : x2 + 2x + A= ( x + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c) + + ÷ ≥ a b c 1 Câu III (4,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đường chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH hình chóp Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900 Đề luyện tập thi huyện có đáp án ĐỀ SỐ Bài (2đ): Cho biểu thức: xy + x x +1 + + 1 : 1 − xy + 1 − xy A = xy + x xy − − x + xy + a Rút gọn biểu thức b Cho 1 + = Tìm Max A x y Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1+ 1 + = 1 + − từ tính tổng: 2 n (n + 1) n n +1 1+ S= 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2005 20062 Bài (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm: x + 6a + − 5a (2a + 3) = x + a +1 ( x − a)( x + a + 1) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức: x1 x 2 x2 + x1 ≥3 Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: m x −1 + y − = − 3m = y − x −1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 2 Giải hệ phương trình: y −9 x + 27 x −27 = z −9 y + 27 y −27 = x −9 z + 27 z −27 = Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = (k tham số) Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3.x ? Khi tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất? Đề luyện tập thi huyện có đáp án Bài (2đ): Giả sử x, y số dương thoả mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = ( x + 1)( y + 1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ∆ ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đường thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF a Chứng minh AE vng góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vng M chuyển động đường thẳng AB cố định · Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng đường thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ …………………………………………………………… Đề luyện tập thi huyện có đáp án ĐẾ SỐ Bài 1: (2 điểm) Chứng minh: 3 -1 = 3 + 9 Bài 2: (2 điểm) Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) Tính số trị biểu thức: M = ab 4b − b 2 Bài 3: (2 điểm) Chứng minh: a, b nghiệm phương trình: x2 + px + = c,d nghiệm phương trình: x2 + qx + = ta có: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bài 4: (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình Tuổi anh em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi anh, em Bài 5: (2 điểm) Giải phương trình: x4 + x + 2006 = 2006 Bài 6: (2 điểm) Trong hệ trục toạ độ vng góc, cho parapol (P): y = - x2 đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1 Vẽ (P) Tìm m cho (d) tiếp xúc với (P) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định A ∈ (P) Bài 7: (2 điểm) Cho biểu thức A = x – xy + 3y - x + Tìm giá trị nhỏ mà A đạt Bài 8: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) ngồi Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF, A, E ∈ (O); B, F ∈ (O’) a Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b Chứng minh: AE ⊥ BF c Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng Bài 9: (2 điểm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước d góc nhọn đường chéo ∝ ĐẾ SƠ Đề luyện tập thi huyện có đáp án Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x + + x + + x + − x + = Câu 2(2đ): a, Thực phép tính : 13 − 100 − 53 + 90 b, Rút gọn biểu thức : B= a2 b2 c2 + + a2 − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2 Với a + b + c = Câu 3(3đ) : a, Chứng minh : < 1+ 1 + + + < 10 2 50 b, Tìm GTNN P = x2 + y2+ z2 Biết x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 Biết : Nếu đưa em từ giải nhì lên giải số giải nhì gấp đơi giải Nếu giảm số giải xuống giải nhì giải số giải 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba 2/7 tổng số giải Câu (4đ): Cho ∆ ABC : Góc A = 900 Trên AC lấy điểm D Vẽ CE ⊥ BD a, Chứng minh : ∆ ABD ∞ ∆ ECD b, Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c, Chứng minh FD ⊥ BC (F = BA ∩ CE) d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a Tính AC, đường cao AH ∆ ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF Câu (4đ): Cho đường tròn (O,R) điểm F nằm đường tròn (O) AB A'B' dây cung vuông góc với F a, Chứng minh : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chứng minh : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gọi I trung điểm AA' Tính OI2 + IF2 ĐẾ SỐ Câu1: Cho hàm số: y = x − x + + x − x + a Vẽ đồ thị hàm số Đề luyện tập thi huyện có đáp án b Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c Với giá trị x y ≥ Câu2: Giải phương trình: a − 12 x + x = b 3x − 18 x + 28 + x − 24 x + 45 = -5 – x2 + 6x c x + 2x − x+3 + x-1 Câu3 : Rút gọn biểu thức: a A = ( -1) + 2 − + 12 + 18 − 128 b B = +1 + 2+2 + + 2006 2005 + 2005 2006 + 2007 2006 + 2006 2007 Câu 4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M bên hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150 Vẽ tam giác ABN bên ngồi hình vẽ a Tính góc AMN Chứng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD Câu 5: Cho hình chóp SABC có SA ⊥ SB; SA ⊥ SC; SB ⊥ SC Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x a Tính Vhchóptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn ĐẾ SỐ I - PHẦN TRẮC NGHIỆM : Chọn đáp án : a) Rút gọn biểu thức : a (3 − a) với a ≥ ta : A : a2(3-a); B: - a2(3-a) ; C: a2(a-3) ; D: -a2(a-3) Đề luyện tập thi huyện có đáp án b) Một nghiệm phương trình: 2x2-(k-1)x-3+k=0 k −3 k −3 k −1 k −1 ; B ; C; D 2 2 x c) Phương trình: x - -6=0 có nghiệm là: A - A X=3 ;B X=± ; C=-3 ; D X=3 X=-2 d) Giá trị biểu thức: ( 2+ ) : 2+ 2 A ; B ; C ; D 3 II - PHẦN TỰ LUẬN : Câu : a) giải phương trình : x − 16 x + 64 + x = 10 x + + y − = b) giải hệ phương trình : x + − y = x x − x x + x ∼ − Câu 2: Cho biểu thức : A = − x − 2 x x + a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > -6 Câu 3: Cho phương trình : x2 - 2(m-1)x +2m -5 =0 a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Nếu gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm m để x1 + x2 =6 Tìm nghiệm Câu 4: Cho a,b,c số dương Chứng minh 1< a b c + + (ab + bc + ca) 2) Đề luyện tập thi huyện có đáp án 18 2 ≤ + + với a, b ; c dương a+b+c a b c CÂU III : Cho đường tròn (O) đường kính AB vẽ hai tiếp tuyến Ax By; gọi M điểm tuỳ ý cung AB vẽ tiếp tuyến M cắt Ax By tai C D a) Chứng minh : AC.BD=R2 b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác OCD bé CÂU IV Tìm giá trị nhỏ A = x + y + xy − 5x − 4y + 2002 CÂU V: Tính 1 1 1) M= 1− 1− 1− 1− 3 4 n + 1 1993 1992 2) N= 75( + + + + 5) + 25 CÂU VI : Chứng minh : a=b=c a + b + c = 3abc ĐỀ SỐ 10 CÂU I : Rút gọn biểu thức A= B= − − 29− 12 x + 3x + x4 + x2 + CÂU II : Giải phương trình 1) (x+4)4 +(x+10)4 = 32 2) x + x + 2004= 2004 CÂU III : Giải bất phương trình 10 Đề luyện tập thi huyện có đáp án (x-1)(x-2) > CÂU IV : Cho tam giác ABC có góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi M;N;P trung điểm BC; BD;CE a) Chứng minh : BE = CD BE ⊥ với CD b) Chứng minh tam giác MNP vuông cân CÂU V : a −1 b + c − = = 5a- 3b -4 c = 46 Xác định a, b, c a c 2a − 3ab + 5b 2c − 3cd + 5d = = 2) Cho tỉ lệ thức : Chứng minh : b d 2b + 3ab 2d + 3cd 1) Cho Với điều kiện mẫu thức xác định CÂU VI :Tính : S = 42+4242+424242+ +424242 42 ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (4đ) Cho biểu thức: x x −3 2( x − 3) x+3 P= − + x−2 x −3 x +1 3− x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x = 14 - c) Tìm GTNN P Bài 2( 4đ) Giải phương trình a) 1 1 + + = + x + x + x + x + 15 x + 12 x + 35 x + 16 x + 63 b) x + − x + + x + 11 − x + = Bài 3: ( 3đ) Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) có hệ số góc k qua 87 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề luyện tập thi huyện có đáp án KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN - Bảng B - Câu: Nội dung *) Nếu nM 3⇒ n2 + nM a, (2,5) nên n2 + n + 2M / (1) *) Nếu nM / 3⇒ n2 + 2M / (2) ⇒ n2 + n + 2M Từ (1) (2) ⇒ ∀n∈ Z n2 + n + 2M /3 Đặt m2 = n2 + 17 (m∈ N) ⇒ m2 − n2 = 17⇒ (m − n)(m + n) = 17 = 1.17=17.1 Do m + n > m - n b, (2,5) m + n = 17 m = ⇒ ⇒ m − n = n = Vậy với n = ta có n2 + 17 = 64 + 17 = 81= 92 a, (2.5) Giải phương trình x2 + 4x+5=2 2x+3 Điều kiện: 2x+3 ≥ ⇒ x ≥ - (1) ⇔ x2 + 4x+5-2 2x+3 = (1) 88 Đề luyện tập thi huyện có đáp án ⇔ x2 + 2x+1+2x+3-2 2x+3 + 1= ⇔ (x + 1)2 + ( 2x+3 − 1)2 = x + 1= ⇔ 2x+3 − 1= x = −1 ⇔ 2x+3=1 ⇔ x = −1 thỏa mãn điều kiện Giải hệ phương trình 2x+y=x 2y+x=y (1) (2) Trừ vế phương trình ta có: x2 − y2 = x − y ⇔ (x − y)(x + y − 1) = b, (2.5) x = y x = y ⇔ ⇔ x + y − 1= x = − y Ta có: x = y x = y ⇔ x(x − 3) = x = x = *) Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) x = − y x = 1− y x = 1− y ⇔ ⇔ (*) 2 2x+ y = x − 2y + y = (1 − y) y − y + = *) Vì phương trình y2 − y + 1= vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) Tìmgiá trị nhỏ A = 4x+3 x2 + 89 Đề luyện tập thi huyện có đáp án 4x+3 x2 + 4x+4 Ta có: A = = −1+ x +1 x2 + (x + 2)2 A = −1+ ≥ −1 x +1 Dấu "=" xảy ⇔ x + = ⇔ x = −2 Vậy A = −1 x = -2 a, (2,5) A E H F B O I C K Gọi I giao điểm AH BC ⇒AI ⊥ BC S Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g) BH BI = ⇒ BH.BE = BC.BI (1) BC BE Ta có: ∆CHI ⇒ S ⇒ ∆CBF (g, g) CH CI = ⇒ CH.CF = BC.CI (2) CB CF Từ (1) (2) suy BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2 · · b, Gọi K điểm đối xứng H qua BC suy HCB = KCB (2,0) · · Mà FAI (do tứ giác AFIC nội tiếp) = HCI · · · · ⇒ FAI = BCK hay BAK = BCK ⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O) 90 Đề luyện tập thi huyện có đáp án · · + Khi BAC = 900 ⇒ BIC = 900 ⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc EF đường kính ⇒ EF qua điểm O cố định B F O K I A E C · · + Khi BAC < 900 ⇒ BIC > 900 Gọi K điểm đối xứng I qua EF · = EAF · · (cùng bù BIC ) ⇒ EIF · · (Do I K đối xứng qua EF) EKF = EIF · · ⇒ EKF = EAF ⇒ AKFE nội tiếp · · » ) (1) (cung chắn KF ⇒ KAB = KEF · · (Do K I đối xứng qua EF) (2) IEF = KEF · · · (cùng phụ KIE ) (3) IEF = BIK · · Từ (1), (2), (3) ⇒ KAB = BIK ⇒ AKBI tứ giác nội tiếp ⇒ K ∈ (O) Mà EF đường trung trực KI ⇒ E, O, F thẳng hàng 91 Đề luyện tập thi huyện có đáp án · · + Khi BAC > 900 ⇒ BIC < 900 chứng minh tương tự Vậy đường thẳng EF qua điểm O cố định - - - Hết - - - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH MÔN THI :TỐN NGÀY THI: 07/4/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC THỜI GIAN :150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1:(4 điểm) 1/ Khơng sử dụng máy tính , thực phép tính : A= 3+ 2 + 3+ + 3− 2 − 3− 2/ Cho biểu thức: B= x−2 + 4− x (với ≤ x ≤ ) Tìm giá trị lớn biểu thức B giá trị x tương ứng Bài 2:( điểm) 1/ Cho hàm số y = ax2 (a ≠ 0) có đồ thị (P) qua M(-1;2) Trên (P) lấy A B có hồnh độ tương ứng Xác định m để đường thẳng y = mx +5 song song với đường thẳng AB 2/ Tìm x thỏa mãn : 1 x − + x + x + = (2 x3 + x + x + 1) 4 Bài 3: (5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn O bán kính R Ba đường cao AD,BE,CF cắt H a/ Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF b/ Kẻ đường kính AK đường tròn O.Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh : S = AB AC.BC 4R 92 Đề luyện tập thi huyện có đáp án c/ Gọi M trung điểm BC Chứng minh: tứ giác DFEM nội tiếp Bài : (3 điểm) Cho điểm M nằm tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi khoảng cách từ M đến ba cạnh BC, AC, AB tương ứng x,y,z Hãy xác định vị trí M tam giác cho biểu thức : P = a b c + + x y z đạt giá trị nhỏ Bài : (3 điểm) Tìm số phương có bốn chữ số , chữ số nhỏ Biết tăng chữ số thêm đơn vị số tạo thành số phương _ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI : TỐN NGÀY THI : 11/4/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC THỜI GIAN : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( điểm) 1/ Không sử dụng máy tính, thực phép tính: A= 2- + 4- 15 + 10 23 - 2/ Cho biểu thức B = 3x + x x+ x - x +1 x +2 + x + 1- x a/ Tìm điều kiện xác định rút gọn B b/ Tìm giá trị lớn B giá trị x tương ứng Bài 2: (5 điểm) 1/ Tìm hệ số a > cho đường thẳng y = ax – ; y = ; y = trục tung tạo thành hình thang có diện tích (đơn vị diện tích) 93 2/ Cho số x, y, z khác thỏa mãn đồng thời Đề luyện tập thi huyện có đáp án 1 + + = − = Tính giá trị x y z xy z biểu thức P = (x + 2y + z)2012 Bài 3: (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, BE, CF (D Ỵ BC, E Ỵ AC, F Ỵ AB) cắt H cắt đường tròn (O) theo thứ tự M, N, K Chứng minh rằng: a/ BH.BE + CH.CF = BC2 b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = c/ AB + BC + CA2 AM BN CK + + = AD BE CF Bài 4: (3 điểm) Cho đoạn thẳng CD = cm, I điểm nằm C D ( IC > ID) Trên tia Ix vng góc với CD lấy hai điểm M N cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD K ( K ∈ MD) , DN cắt MC L ( L ∈ MC ) Tìm vị trí điểm I CD cho CN.NK có giá trị lớn Bài 5: (3 điểm) Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y - Hết Họ tên thí sinh :………………………………………………… Số báo danh :……………… 94 Đề luyện tập thi huyện có đáp án SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH LONG AN MƠN THI : TỐN NGÀY THI : 11/4/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC THỜI GIAN : 150 phút (không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu 1 (4đ) Nội dung 2- A= + 4- Điểm 15 + 10 23 - = ( 2- + 42 ( 15 + 10 23 - ) ) 0,5 = = = ( - + - 15 + 46 - ) 3- + (3 ( 5- ) 5- ) +2 0,25 - 1+ - + 5- 0,75 = 5- 5- =1 0,25 95 Đề luyện tập thi huyện có đáp án 0,25 a/ ĐKXĐ 3x + x x+ x- B= = = = ( = ( b) x ³ 0, x ¹ 0,25 x +1 x +2 + x + 1- x ( ( x - 1)( x + 2) ( 3x + x - )( x - 1)( x +1 3x + x - x +1 - x - x - ( ( )( x- )( x - 1)( Mà Û x +2 0,5 ) x- x +2 x - x- B= )( )- ( ) x + 2) ( x - 1)( x + 2) x- x +2 ) x +2 ) = x + 2) x +3 x +3 x +2 Với x +3 x +2 x ³ 0, x ¹ 0,25 x +2 ³ 0,25 1 £ x +2 Û 1+ £ x +2 Dấu “ = “ xãy x = Û x = (tmđk) Vậy giá trị lớn B x = 96 Đề luyện tập thi huyện có đáp án 0,25 0,25 0,25 (5đ) B C y=5 -10 -8 -6 -4 -2 A O D y=1 10 0,5 -1 -2 -3 -4 +) Kí hiệu hình thang ABCD cần tìm hình vẽ a a +) Tính C( ;5) ; D( ;1) BC = ; AD = a a 0,5 97 Đề luyện tập thi huyện có đáp án 0,5 6 2 + ÷.4 : = a a +) S ABCD = ⇒ a = ( Thỏa ĐK a > 0) 0,25 +) Vậy phương trình đường thẳng y = 2x – 0,25 2 1 1 1 +) Ta có + + = ⇒ + + ÷ = x y z x y z 0,25 1 1 +) Do + + ÷ = − xy z x y z 1 2 2 ⇔ 2+ 2+ 2+ + + − + =0 x y z xy yz zx xy z 0.25 1 ⇔ + + ÷+ + + ÷= xz z y yz z x 0,25 0,5 1 1 1 ⇔ + ÷ + + ÷ =0 x z y z 1 2 −1 + ÷ = = x z x z ⇔ ⇔ ⇔ x = y = −z 1 = −1 y + z ÷ = y z Thay vào 1 1 −1 + + = ta x = y = ; z = x y z 2 0,5 0,5 2012 −1 1 + + ÷ 2 2 Khi P = = 12012 = 0,5 98 Đề luyện tập thi huyện có đáp án 0,25 (5đ) A N E K F H B o D C M a · · +) Tứ giác DCEH có HDC + HEC = 900 + 900 = 1800 · · ⇒ Tứ giác DCEH nội tiếp ⇒ HED ( chắn cung HD) = HCD · · · * ∆ BDE ∆ BHC có HED EBC chung = HCD ⇒ ∆ BDE đồng dạng ∆ BHC (g.g) ⇒ 0,5 0,25 BD BE = ⇒ BH BE = BC.BD (*) BH BC 0,5 *Chứng minh tương tự đẳng thức (*)ta : CH.CF = CD.CB (**) Cộng (*) (**) theo vế ta được: 0,25 BH.BE + CH.CF = BC.BD + CD.CB = (BD + CD).BC = BC.BC = BC2 (1) 0,5 b +) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được: 99 Đề luyện tập thi huyện có đáp án BH.BE + AH.AD = AB (2) AH.AD + CH.CF = AC2 (3) 0,5 +) Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được: c 2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) = AB2 + AC2 + BC2 0.75 2 ⇔ AH.AD + BH.BE + CH.CF = AB + BC + CA 0.25 · · +) Ta có: MBC ( chắn cung MC) = MAC · · · ( phụ BCA ) MAC = CBE · · · ⇒ BC phân giác MBE Nên MBC = CBE 0,25 * ∆ MBH có BC đường cao đồng thời đường phân giác nên tam giác cân B ⇒ BC đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh MH ⇒ D trung điểm MH ⇒ DM = DH *Ta có AM AD + DM DM = =1+ (*) AD AD AD ∆ BHC ∆ ABC có chung đáy BC nên ta có Từ (*) (**) suy : 0,25 S BHC DH DM = = (**) S ABC AD AD AM S = + BHC (1) AD S ABC 0,25 Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được: BN S CK S = + AHC (2) = + AHB (3) BE S ABC CF S ABC 0,25 Công (1) (2) (3) theo vế ta : AM BN CK S S S S + + = + BHC + + AHC + + AHB = + ABC = + = AD BE CF S ABC S ABC S ABC S ABC 0,25 0,25 100 Đề luyện tập thi huyện có đáp án (3đ) x M L K N C +) D IND vng I có IN = ID I D (gt) · · Þ D IND vuông cân I ⇒ IND = IDN = 450 * Chứng minh tương tự ta · · D IMC vuông cân I ⇒ ICM = IMC = 450 · · D LCD có LCD = LDC = 450 Þ D LCD vng cân L Þ DL ^ MC Mà MI ^ CD (gt) 0.5 Þ DL MI hai đường cao D CDM cắt N Þ N trực tâm D CDM Þ CN ^ MD hay CK ^ MD 0,5 D CNI D MNK có: · · CIN = MKN = 900 · · (đđ) INC = KNM Þ D CNI đồng dạng D MNK (g-g) Þ CN NI = MN NK Þ CN.NK = MN.NI Ta có: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID Đặt ID = x; x > ta được: 0,5 101 MN.NI = (6 – 2x).x = 6.x – 2x = Dấu “ = “ xảy x = Đề luyện tập thi huyện có đáp án ỉ 3ư 9 - 2ỗ x- ữ + ữ ỗ ữ 2Ê ỗ ố 2ứ 0,5 0,5 (TMK x > 0) Vậy CN NK có giá trị lớn ID = cm 0,5 Ta có: xy + 2x = 27 – 3y (3đ) Û xy + 2x + 3y = 27 ⇔ x ( y + ) + ( y + ) = 33 Û (x + 3)(y + 2) = 33 ïì x + =1 Û ïí ïïỵ y + = 33 0,5 0,25 ïì x + = 33 ïì x + = ïì x + =11 ïí ïí ïïỵ y + =1 ïïỵ y + =11 ïïỵ y + = ïí x > 0, y > 1,0 ïì x =- ïì x = 30 ïì x = ïì x = (loại)hoặc ïí (loại)hoặc ïí (loại)hoặc ïí (tđk) Û ïí ïïỵ y = 31 ïïỵ y =- ïïỵ y = ïïỵ y =1 Vậy cặp số ngun dương cần tìm (x; y) = (8;1) 1,0 0,25 (Nếu HS trình bày giải cách khác chấm theo thang điểm tương đương) ... học sinh giỏi Toán , giỏi Văn hai trường THCS thi học sinh Giỏi lớn 27 ,số học sinh thi văn trường thứ 10, số học sinh thi toán trường thứ hai 12 Biết số học sinh thi trường thứ lớn lần số học sinh. .. + IB ĐỀ 25 Câu I ( điểm ) Giải phương trình: x3 + 4x2 - 29x + 24 = x −1 + x − + 11 + x + x − = CâuII (3 điểm ) Tính P = + 199 9 199 9 199 9 + + 2000 2000 Tìm x biết x= + 13 + + 13 + Trong dấu chấm... trường thứ lớn lần số học sinh thi Văn trường thứ hai số học sinh thi trường thứ hai lớn lần số học sinh thi Toán trường thứ Tính số học sinh thi trường 23 Đề luyện tập thi huyện có đáp án Câu 6(