Bộ 50 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán 9 có đáp án Sở GD ĐT Thanh Hóa giúp các bạn học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, các dạng bài tập môn Toán. Mỗi đề thi có đáp án giúp hỗ trợ cho quá trình ôn luyện của các em học sinh lớp 9, nhằm giúp các em học sinh nâng cao kỹ năng luyện đề, chuẩn bị sẵn sàng kiến thức cho các kì thi chọn học sinh giỏi sắp tới. Mời các em cùng tham khảo
Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Đề Số Đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp (Thời gian làm 150’) Câu 1: Giải phương trình 6x = + x x2 x 1 x Câu 2: Cho hệ phương trình: x - 3y - = x2 + y2 - 2x - 2y - = Gọi (x1; y1) (x2; y2) hai nghiệm hệ phương trình Hãy tìm giá trị biểu thức M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2 Câu 3: Từ điểm A nằm ngồi đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B,C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) (M khác B C) Tiếp tuyến M cắt AB AC E, F, đường thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh tỷ số PQ không đổi M di chuyển cung nhỏ BC EF Câu 4: Tìm số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức 2(y+z) = x (yz-1) Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất tam giác có đỉnh đỉnh liên tiếp ngũ giác có diện tích Tính diện tích ngũ giác Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Đề Số Đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp (Thời gian làm bài: 150’) Câu 1: Cho biểu thức (x + x 2006) (y y 2006) 2006 Hãy tính tổng: S = x + y Câu 2: Trong cặp số thực (x;y) thoả mãn: x2 x y2 y 0 x y 1 Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn Câu 3: Tìm số nguyên dương n cho x = 2n + 2003 y = 3n + 2005 số phương Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) (C2) tiếp xúc điểm T Hai đường tròn nằm đường tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tương ứng M N Tiếp tuyến chung T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt đường tròn (C1) diểm thứ hai A MN cắt (C1) điểm thứ hai B PN cắt đường tròn (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thứ hai C a Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp b Chứng minh AB, CD PT đồng quy Câu 5: Giải phương trình x2 + 3x + = (x+3) x Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở giáo dục đào tạo Thanh hoá ***** Sở GD&ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút Bài 1: Có số y biểu thị dạng sau không? y 13 13 1 1 Chứng minh : a b c abc 1 1 Với số nguyên n lẻ ta có: n n n n a b c a bn c n Bài 3: Giải hệ phương trình: x y x y 1 Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau: (m 1) x my 2m mx y m Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, 1 1 x3, x4 thoả mãn điều kiện 1 x1 x2 x3 x4 Bài 6: Cho Parabol (P) đồ thị hàm số y x 2 a Tìm m cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol b Có điểm thuộc Parabol cách hai trục toạ độ Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 – y3 – 2y2 – 3y – = Bài 8: Cho góc vng xOy Các điểm A B tương ứng thuộc tia Ox Oy cho OA = OB Một đường thẳng d qua A cắt đoạn OB điểm M nằm O B Từ B hạ đường vng góc với AM H cắt đường thẳng OA I Chứng minh OI = OM tứ giác OMHN nội tiếp Gọi K hình chiếu O lên BI Chứng minh OK = KH tìm quỹ tích điểm K M di động đoạn OB Bài 9: Cho tam giác ABC có A 900 , M điểm di động cạnh BC Gọi O E hình chiếu vng góc M AB AC Xác định vị trí M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp đ Bài I (2 ) Rút gọn A 2a 2a 2a 2a Với a = Bài II (6đ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phương trình x3 =7x +3y y3 = 7y+3x Bài III (3đ) Cho x,y,z số khơng âm x+y+z =1 Tìm giá trị lớn M = xy+yz+zx Bài IV (6đ) Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠? CD) M,N thứ tự trung điểm đường hcéo AC BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I giao điểm MH’ NH Chứng minh I cách điểm C D Bài V (3đ) Cho a,b,c >0 a+b+c = Chứng minh b+c ≥ 16abc Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi - lớp Mơn tốn -thời gian : 150 phút người đề : lê thị hương – lê thị tâm Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x A= x ( x 6) x 3 2( x x 3)(2 x ) x 10 x 12 x x điều kiện x # 4; x # ; x # Câu 2: (3 điểm) giải phương trình x 48 = 4x - + x 35 Câu 3: (4 điểm) Phân tích thừa số A = x3 y3 + z3 - 3xyz Từ tìm nghiệm nguyên (x, y , z) phương trình x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1) t/m đk: max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2) Câu 4: (3 điểm) Tìm GTNN biểu thức x10 y10 16 = ( ) ( x y16 ) (1 x y )2 y x Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (0) có đường chéo AC&BD vuông với H < H không trùng với tâm (0) Gọi M,N chân đường vng góc hạ từ H xuống đường thẳng AB, BC; P&Q giao điểm đường thẳng MH & NH với đường thẳng CD; OA chứng minh đường thẳng PQ // đường thẳng AC điểm M, N, P, Q nằm (0) Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Sở GD-ĐT hố Đề thi học sinh giỏi Toán lớp TrườngTHPT Bỉm Sơn Bảng A ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A= ( x y )2 x xy y x xy y x y x y x y 1,Rút gọn biểu thức A 2, So sánh A A Câu 2: ( Điểm) 1, Giải phương trình: x2 + 4x + = 2 x 2, Cho a b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: ( a b) P= 3 a b Câu 3, (6 điểm) 1, Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình bậc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền tam giác là: 2, Cho điểm A,B phân biệt đường thẳng ( ) Đường tròn (o) tiếp xúc với đường thẳng ( ) A Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) tiếp xúc với đường thẳng ( ) B Câu 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (o1) (o2) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (o 1) (o2) C D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (o1) (o2) M N Các đường thẳng BC BD cắt đường thẳng MN P Q Các đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh rằng: 1, Đường thẳng AE vng góc với đường thẳng CD 2, Tam giác EPQ tam giác cân Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Sở giáo dục đào tạo hố Đề thi học sinh giỏi lớp – bảng b Môn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: Rút gọn A= 22 a 22 a a 1 với a > a 1 a a Bài 2: Phân tích đa thức B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + thành nhân tử Bài 3: Tìm m để phương trình x 15 x m có hai nghiệm nghiệm bình phương nghiệm Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm (x, y) với x, y số nguyên mx y m 2 x my 2m 1 2 Bài 5: Giải phương trình x x Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – gọi A, B giao điểm d với Ox, Oy Xác định m để SABO Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x) Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông A biết đường phân giác AD chia cạnh huyền thành đoạn thẳng có độ dài 10 cm 20 cm Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn B, C cắt A, BAC = 60 , M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến M cắt AB, AC D, E Gọi giao điểm OD, OE với BC I, K Chứng minh tứ giác IOCE nội tiếp Bài 10: Chứng minh tứ diện tồn cạnh xuất phát từ đỉnh mà cạnh nhỏ tổng hai cạnh Tài liệu: - Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số - Bài 3, : Đại số nâng cao lớp - Bài : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính - Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở Giáo dục Đào Tạo hoá Sở GD&ĐT Thanh Hóa Đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS Mơn thi : Tốn ( Thời gian làm : 150 phút) Bài I (3,0 điểm): Tính giá trị biểu thức P = a 1 Trong a a a 1 a nghiệm dương phương trình : 4x2+ x- = Bài II ( 6,0 điểm): 1) Giả sử phương trình : x2+ax+b = có hai nghiệm x1 , x2 phương trình :x2+cx +d = có hai nghiệm x3 , x4 Chứng minh : 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chứng minh phương trình : ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a 0) có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 5a2=2b2+ac Bài III (5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AA’,BB’,CC’ đường cao H trực tâm AH BH CH 6 1) Chứng minh rằng: HA ' HB ' HC ' 2) Cho biết AH m Hãy tính tgB.tgC theo m A' H Bài IV (4,0 điểm): Từ điểm O tuỳ ý mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Ta nối với đỉnh hình bình hành Chứng minh diện tích tam giác AOC tổng hiệu diện tích hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác tạo hai đường thẳng OA,OB,OC,OD cạnh hình bình hành Bài V (2,0 điểm): Gọi A tập hợp số nguyên tố p cho phương trình : x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y Chứng minh A tập hợp vô hạn Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Sở GD-ĐT Thanh Hóa Trường THPT Mai Anh Tuấn Đề thi học sinh giỏi lớp Mơn : Tốn - Năm học: 2005 - 2006 (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1: (2,0đ) Tính giá trị biểu thức: A= 2 2 Bài 2: (5,0đ) Cho parabol(P): y= x a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua điểm A B thuộc (P) có hồnh độ - b.Tìm điểm C cung AB (P) cho tam giác ABC có diện tích lớn Bài 3: (4,0đ) Cho tam giác ABC vuông cân B, nội tiếp đường tròn (O;R) Trên cung AC có chứa điểm B, lấy điểm D tùy ý; tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = DC a Chứng minh trung điểm I EC điểm D thẳng hàng với điểm thứ ba cố định b.Tìm tập hợp điểm E D di động cung ABC c.Xác định vị trí D cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài theo R Bài 4: (4,0 đ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác Điểm A’ cách điểm A, B, C a Chứng minh chân đường cao hạ từ đỉnh A’ lăng trụ trùng với tam đáy ABC b Chứng minh mặt bên BCC’B’ lăng trụ hình chữ nhật Bài 5: (5,0 đ) a.Giải phương trình: (x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + = b.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2x +7xy + 6y = 60 (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở gd & đt Thanh hoá Trường thpt trần phú Nga Sơn Sở GD&ĐT Thanh Hóa đề thi học sinh giỏi lớp thcs Mơn : Tốn Thời gian : 150 phút khơng kể thời gian giao Bài 1: (6 điểm) x2 + y2 = 1- Giải phương trình : x4 + x2y2 + y4 = 13 2- Cho biểu thức: A = 2x- x2+ Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài : (3 điểm) Cho Phương trình : x2 – (m -21) x + m – = x 1)Chứng minh ln có nghiệm với V giá trị m + 2)Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Bài 3: (3 điểm) Cho a + b + c + d = Trong a, b, c, d ê R Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC D Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông A chỉ khi: AB AC = 2DB DC Bài 5: ( điểm) Cho hình chóp SABC có SA SB SB, SA SC, SC Biết SA = a; SB + SC = k Đặt SB = x a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S ABC lớn 10 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa E N M A O I 0,5 B C CI CO = CE F 0,5 /\ Xét CIM CN có: ICM (chung) CI CM CIM ~ CNO CN CO /\ 0,5 /\ CIM CNO tứ giác OIMN nội tiếp đường tròn 1b /\ /\ Ta có : BIM ONM /\ ( tứ giác ONMI nội tiếp ) /\ Và góc NIA NMO ( /\ sđ ON ) 0,5 /\ OMN cân O ONM NMO /\ 0,5 2,0 0,5 /\ BIM NIA /\ 0,5 0,5 2,0 /\ suy ra: AIM BIN * Phân tích: D 1,0 A B C * CD: Dựng DE dường trung trực BC * Chứng minh: 1,0 E 211 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa điểm ý đáp án Câu a) A = x 2 x + x 2 x = ( x 1) + ( x 1) = 2x + 2x Câu1: với x = suy : A = b)A= 1 + 2x + 2x điểm toàn câu 0,5 0,5 1 = 2 2x 2x = dấu "="xảy 2x - x -1 1,0 1,0 P(x) =- 6x4 + 11x3 + 3x2 – 11x + 0,75 = (x - 1)(-6x3 + 5x2 + 8x - 3) Câu2: = (x - 1)(x + 1)(-6x + 11x - 3) 0,75 = (x –1)(x + 1)(2x - 3)(1-3x) 0,5 a x ay z b x by z c x cy z (1) (2) (3) Lấy (1) trừ (2) ta (a2 – b2)x + (a - b)y = Câu (vì a b) (a + b)x + y = (4) Tương tự lấy (2) trừ (3) ta : (b+ c)x + y = (5) (vì c b) Từ (4) (5) với a c ta đựơc x = y = , suy : z = Vậy hệ có nghiệm (0,0,2) Đặt u = x x (u 0) ta pt: 4u2 + 3u - = câu u=1 u=- (loại) suy : x + 7x + = x=-1 x= -6 Ta có : MA2 = x2 + (y - a)2 Khoảng cách từ M tới d y a Khoảng cách từ M tới d MA x2 + (y - a)2 = (y + a)2 câu x y = 4a (vì a 0) tập hợp điểm M parabol y = câu6 0,5 0,25 0,5 0,75 0,25 o,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0.5 x 4a 0,25 Ta có: F = x (2004 + 2006 x ) 212 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp = x 2004 Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2004 2006 x x (2004 1)(2004 2006 x ) 0,75 (BĐT Bunhiacopxki) x 4010 x = 2005 2005 = 2005 x 4010 x 2005 0,75 (BDT Cauchy) Suy ra: GTNN - 2005 2005 đạt x= - 2005 GTLN 2005 2005 đạt x= 2005 0,5 0,25 Gọi E,F trung điểm AB,AC ta có: AB = MF EM = AC = FK IE = 0,5 0,5 0.5 nên IAM = MHK (c.g.c) suy MI = MK câu7 b) Ta chứng minh Đặt = , Ta có : 0,25 = Xét tam giác IEM có ta lại có 0,25 0,25 = 1800 - (1) nên = = nên 1800 - = (so le trong,AB song song với MF) 0,25 0,25 (do IAM = MHK ) nên 1800 - = Từ (1),(2)suy (2) 0,25 0,5 I,H,M,K thuộc đường tròn 0,25 213 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp câu8 Sở GD&ĐT Thanh Hóa Ta có : MA + MC’ AC’ MB + MD’ BD’ MC + MA’ CA’ MD + MB’ DB’ Suy : MA + MB+ MC + MD+ MA’ + MB’+ MC’ +MD’ 4a (với a độ dài đường chéo hình chữ nhật) Ta có: MA2 + MB2+ MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 (MA + MB+ MC + MD+ MA’ + MB’+ MC’ +MD’)2 16 a GTNN MA2 + MB2+ MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 16 a đạt M tâm hình hộp 0,5 0,5 0,5 0,5 Đáp án chấm Thi học sinh giỏi Mơn tốn khối Bài Bài1 (Thời gian 180 phút) Nội dung Phần dư cần tìm có dạng: ax·b Khi đo ta có: điểm 2đ x x x x 17 x 19 ( x 1).q( x) ax b Với: x=1 x=-1,ta có: a+b=7; a+b= 7 Vậy: a=7;b=0 Bài2 1 1 yz y x y y z z y yz zx 1 yz Tương tự: x z x z ; yz xz y x yz Ta có x 2đ Nhân vế biểu thưc ta có: 214 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp ( x y )( x z )( y z ) Sở GD&ĐT Thanh Hóa ( x y )( z x)( y z ) ( x y )( x z )( y z ).x y z x2 y z ( x y )( x z )( y z ) ( x y )( x z )( y z ) 2 x y z Bài3 ( x y )( x z )( y z ) xyz 1 Nhân thấy: u 3, v nghiệm phương trình: 2đ x x u 4u u 4u u u (4u 1) 4(4u 1) u 15u u 15u 4u 56u 15 u 5u 6u 5u 1 Bài4 Nhận thấy : (x=0,y=0,z=0) nghiệm hệ phương trình Ta chứng minh nghiêm Giả sử ( x0 , y0 , z0 ) nghiêm hệ Sao cho: có thành phàn khác Khơngmất tính tổng quát giả sử: x0 y0 z0 x0 Ta có : a1 x0 a2 y0 a3 z0 a1 a2 y0 z a3 x0 x0 2đ (1) Tuy nhiên: a1 a2 y0 z y z a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 x0 x0 x0 x0 kêt hơp với (1) Vô lý Vậy phương trình có nghiệm 215 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Bài5 Sở GD&ĐT Thanh Hóa Phương trình tương đương: x x 2đ x3 x3 1 y2 y x 2 2 x x y Từ ta có hệ : 2 y y x 12 2x2 4x x x Đặt: y Bài6 Nhận thấy: A,B phía trục ox Gọi A’ điểm đối xứng với A qua ox A’(2;-2) Đường thẳng qua A’B có phương trình là: y x5 Bài8 y Gọi: P’ giao (d) ox Bài7 2đ 10 P' ( ;0) A B Ta chứng minh P’ điểm cần tìm P’ x Thật vậy: Giả sử tồn Ptrên ox: A’ PA PB PA' PB A' B Đẳng thức xảy khi: P P' x N : x số phương Khi phương trình: t xt có nghiệm: t Z t / t 1, t 2 Thay vào ta x=2 giá trị cần tìm 1) Điều kiện cần: Qua đỉnh tam giác ABC kẻ đường vng góc: AA1 , BB1, CC1 với đường PQ Khi : R AA1 // BB1 // CC1 AR AA1 QC CC1 , BR BB1 QA AA1 PB BB1 PC CC1 AR QC PB AA1 CC1 BB1 Vậy : 1 A BR QA PC BB1 AA1 CC1 C 2) Điều kiện đủ: Gọi giao điểm RP với AC Q’ Khi theo ta có: B 2đ 2đ B1 C1 Q A1 PB Q' C RA 1 PC Q' A RB 216 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Q' ' C QC Vì có điểm chia đoạn AC Q' A QA nên: Q' Q Hay R,P,Q thẳng hàng Bài9 Giả sử: AB AC (*) tam giác ABC ta co : BCˆ A ABˆ C Nhưng: BCˆ D BCˆ A ABˆ C DBˆ C Vì thế: Trong tam giác BCD: BCˆ D DBˆ C Do : BD > CD (**) Từ (*) (**) ta có: AB + BD > AC + CD Trái giả thuyết Vậy: AB < AC Bài10 Ta xét trường hợp sau : 1) Trường hợp A nằm ngồi đường tròn: P1 Do: OM=ON;MA+NP; OA chung Do : OMA ONP T2 OP OA Khơng đổi M Vậy P thuộc đường tròn bán kính OA O A Giới hạn: - Goi T1 ,T2 tiếp điểm tiếp N T1 tuyến vẽ từ A P Khi M chạy đến T1 P chạy đến P2 P2 Khi M chạy đến T2 P chạy đến P1 Tập hơp P cung P1AP2 đường tròn tâm O bán kính OA 2) Trường hợp điểm nằm đường tròn: Tập hợp P đường tròn cho 3) Trường hợp A nằm đường tròn: Tập hợp P đường tròn tâm O bán kinh OA sở gd & đt hố trường Thpt quan sơn 2đ 2đ cộng hồ xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc đáp án Đề thi đề xuất kì thi học sinh giỏi lớp mơn thi: Toán học bảng: B Thời gian: 150 phút Bài làm Câu (2 điểm) Ta có: (ax2 + by2 )(x + y) = ax3 + by3 + (ax + by)xy = + 3xy 217 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa 5(x + y) = + 3xy (I) (0,5 điểm) 4 2 Tương tự: (ax + by )(x + y) = ax + by +xy(ax + by ) = 17 + 5xy 9(x + y) = 17 + 5xy (II) (0,5 điểm) 9 3xy 5( x y ) x y 17 xy 9( x y ) xy Từ (I) (II) ta có: x a 2b a y a 4b b Do vai trò x y ngang Vậy A = + 22005 Câu II (2 điểm) Ta có: (0,5 điểm) (0,5 điểm) 1 x n 2x n 1x n x n 2x n 1 x n 2x n 1 1 1 (0,5 x n x n 1 x n x n điểm) 1 1 1 A x x 1 x 1 x x n x n 1 11 1 1 x x x 1 x xn2 xn 1 11 n 1 n x x n x x n xn x 1 x( x n) n 1 n x x n 1 x n (1 điểm) Thay x = 1; n = 2005 ta có: A= 2004 2005 2005 2006 (0,5 điểm) Câu III Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2: Ta có: x13 + x23 = -36 (x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2] = -36 (0,5 điểm) 2(m + 1) [(4(m + 1) -3(m - 2)] = -36 4m3 + 9m2 + 15m - 28 = (m - 1)(4m2 + 13m + 28) = m = (1 điểm) Với m = 1, phường trình (2) trở thành: x2 - 4x + (-1) = Có ' = + 1=5 > phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt Vậy với m = tốn thoả mãn (0,5 điểm) Câu IV (2 điểm) mx y m 1.(1) (A) 2 x my 2m 5.(2) Cộng (1) (2) theo vế ta có: (m + 2)x + (m + 2)y = 3m + (m + 2)(x + y) = 3(m + 2) (*) (1 điểm) x y 1 2x y 2 x y + Nếu m = -2, (A) trở thành: (0,5 điểm) 218 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa + Nếu m -2 từ (*) ta cố: x + y = Câu V (2 điểm) (0,5 điểm) x xy y x y 185.(1) Giải hệ phương trình: ( x xy y ) x y 65.(2) Cộng (1) (2) theo vế ta có: 2x y x y 250 (0,5 điểm) x y 25 x y 7 xy 1 xy 12 x x x 4 x 3 y y y 3 y 4 2 (1 điểm) (0,5 điểm) Câu VI Để đường thẳng (d) Parabol (P) cắt hai điểm phân biệt phương trình hồnh độ: mx2 = 2x + phải có hai nghiệm phân biệt mx2 - 2x - =0 phải có hai nghiệm phân biệt ' = +m > m > -1 Vậy m >-1 m Câu VII Cho a, b, c [0; 1] Chứng minh rằng: a b c 1 a 1 b 1 c (1) b c 1 a c 1 a b 1 Vai trò a, b, c ngang nên giả sử: a b c áp dung BĐT Cauchy cho số: a+b+1, 1-a, 1-b ta có: a b 11 a 1 b a b a b 1 a 1 b a b 1 1 c 1 a 1 b a b 1 (0,5 điểm) (0,5 điểm) Vì a b c nên: a a (0,5 b c 1 a b 1 điểm) b b (0,5 a c 1 a b 1 a b c a b cđiểm)1 c 1 a 1 b 1 c 1 b c 1 a c 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 1 Câu VIII C y H I O 219 B A K E x Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Giả sử Cy tia đối tia CB Dựng DH, DI, DK vuông góc với đường thẳng BC, CA, AB Từ giả thiết ta có: DI DK DI DH DK DH (0,5 điểm) (I phải nằm tia CA I nằm tia đối tia CA DI > DH Suy ra: CD phân giác góc ACy (0,5 điểm) 300 1300 800 0 ˆ Mặt khác: CAE 180 130 50 CEˆA 500 Từ đó: ACˆ D DCˆ y CAE cân C AC = CE Câu IX (2 điểm) Ta có: (1 điểm) OA SAOC S S SAOC AOB AOB AD SADXC SABD SABC Tương tự: OB S OAB S OBC BE S ABC OC S OAC S OBC CF S ABC OA OB OC 2 AD BE CF 1 R 2 AD BE CF (1 điểm) áp dụng BĐT Cauchy ta có: (0,5 điểm) 1 2 AD BE CF R AD BE CF 9R AD BE CF 9R AD BE CF (0,5 điểm) Dấu ' = ' xảy tam giác ABC tam giác Câu X (2 điểm) Ta có: A BC AI BC ( AOI ) BC Ao BC OH Tương tự: OH AB OH AC OH (ABC) (0,5 điểm) * Xét tam giác vng OAI ta có: H 220 Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp 1 2 OH OA OI Sở GD&ĐT Thanh Hóa (1) (0,5 điểm) Xét tam giác vng OBC ta có 1 2 OI OB OC O B (2) (0,5 điểm) I Từ (1) (2)ta có: 1 1 (0,5 điểm) 2 OH OA OB OC C Đáp án Thang điểm 1 phương trình : x2 + a.x+1=0 ểm) Điều kiện để phương trình có nghiệm x1,x2 Ta có : x1 x2 x x1 Tacó : a (1) 0.5đ 9( x1 x ) 0.5đ a2 a x1 x x1 x 2 ( x1 x ) x1 x (2) x1 x a x1 x Theo định lý Viét ta có : 0.5đ a 23 a2 a 3 Thay vào (2) ta : (a2 -2)2 >9 a (thoả mãn (1) Vậy với a thoả mãn yêu cầu toán a ) 0.5đ 221 ểm) Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp 2.Giải phương trình : Điều kiện : Sở GD&ĐT Thanh Hóa x x x 8x 18 5 x x (*) x Ta có : x x (5 x).1 ( x 3).1 0.5đ (5 x) ( x 3) 2 2 0.5đ 5 x x4 x Đẳng thức xảy : 0.5đ Mặt khác :x2-8x+18=(x-4)2+2 ;Đẳng thức xảy :x=4 Suy ra: x x x 8x 18 x (thoả mãn (*) ) Vậy phương trình cho có nghiệm :x=4 x y 1 Giải hệ phương trình : y z z x Cách1: Điều kiện : x,y,z x Từ pt (1) và(3) rút y,z thay vào pt (2) ta đuợc : 2 x 2x Giải ta : x=1 Do y=1;z=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1;1) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 222 ểm) Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa x y 1 1 Cách2: x ( x ) ( y ) ( z ) (*) z x y z z x 1 Ta có: x ; y ; z z x y Đẳng thức xảy khi:x=y=z=1 suy : VT(*) VT(*) 6 (loại) Pt(*) x y z Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1;1) 0.5đ x 2y u v u u ;v =x+2y Hệ pt trở thành : x 2y v v uv u x x 2y v x 2y y 12 Đặt :u= 0.5đ 0.5đ x y x y 2.Hê phươngtrình : x 2y 6 x 2y Điều kiện: 0.5đ u x 2 x 2y v x 2y y 0.5đ 0.5đ 0.5đ 7 ); ( ; ) 12 Vậy hệ pt cho có hai nghiệm : ( ; ABF AFC đồng dạng (g_g) ểm) Ta có : AB/ AF=AF/AC AF2=AB.AC AF= AB AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB AC Vậy E,F thuộc đường tròn (A; AB AC ) cố định không đổi 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 223 Bộ 50 đề thi HSG môn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa Tứ giác AOIF nội tiếp đường tròn Ta có : AIF = AOF (1) 0.5 điểm 1 EOF EKF = EOF 2 EKF = AOF (2) Từ(1) và(2) AIF = EKF AOF = Do :EK điểm 0.5 điểm 0,5 điểm vàAB song song vơí Cm A,N,O thẳng hàng AO EF ; Gọi H giao điểm BC EF Ta có : ANH AIO đồng dạng nên AH AN AO AI Suy :AH.AI =AN.AO Lại có :AN AO=AE2 =AB.AC Do : AI.AH =AB.AC AH AB AC AI không đổi Vậy H cố định Tứ giác OIHN tứ giác nội tiếp đường tròn nên đường tròn ngoại tiếp OIN ln qua I H ;Do tâm đương f tròn nằm đường trung trực IH 0,5 điểm 0,5 điểm 1.0 điểm 1.0 điểm 224 ểm Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2x x 2x 2x x ( )( 1) (với 0, y>0 ta có x y 4 ( x y ) xy ( x y) y x y x y x y 0.5 điểm 0.5 điểm dấu “=” xảy khi: x- y = hay x=y 1 dấu “=” xảy khi: x=y x y x y bca 0 b, ta có: P a acb Pb 0 bac Pc 0 1 áp dụng bất đẳng thức: x, y>0 ta có: x y x y 1 4 p a p b 2p a b c Vậy: 0.5 điểm 0.5 điểm Tương tự ta có: 1 1 ; p b p c a p c p a b 1 1 1 ) 4( ) 2( p a p b p c a b c 1 1 1 ) 2( ) ( p a p b p c a b c Dấu “ =” xảy khi: a=b=c 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 225 ... nằm (0) Bộ 50 đề thi HSG môn Tốn lớp Sở GD& ĐT Thanh Hóa Sở GD- ĐT hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp TrườngTHPT Bỉm Sơn Bảng A ( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu1... 60 (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở gd & đt Thanh hoá Trường thpt trần phú Nga Sơn Sở GD& ĐT Thanh Hóa đề thi học sinh giỏi lớp thcs Mơn : Tốn Thời gian : 150. .. py có nghiệm nguyên x,y Chứng minh A tập hợp vô hạn Bộ 50 đề thi HSG mơn Tốn lớp Sở GD& ĐT Thanh Hóa Sở GD- ĐT Thanh Hóa Trường THPT Mai Anh Tuấn Đề thi học sinh giỏi