Mời các bạn học sinh tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT có kèm đáp án giúp các bạn học sinh lớp 10, 11, 12 ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho kì học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn. Chúc các bạn thi tốt
TRẦN NAM DŨNG (chủ biên) LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI CÁC TỈNH, CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009-2010 MATHSCOPE.ORG dddd Lời nói đầu Kỳ thi VMO năm tổ chức vào tháng 3/2010 Hiện trường tỉnh hoàn tất việc thi HSG cấp tỉnh thành lập đội tuyển Sau kỳ thi học kì I, việc luyện thi cho kỳ thi VMO 2010 khởi động tất địa phương Nhằm giúp bạn học sinh có thêm hội trao đổi, học hỏi, rèn luyện kỹ giải tốn, chúng tơi thực sách Thơng qua việc giải bình luận đề thi học sinh giỏi tỉnh trường Đại học, chúng tơi đưa tập tương tự, nói thêm phương pháp sử dụng giải nhằm giúp bạn nhìn rộng vấn đề, để áp dụng cho tốn khác Cuốn sách tham gia chuyên môn thầy giáo chun tốn, cựu IMO, VMO Ý kiến đóng góp, bình luận gửi trực tiếp qua chủ đề mà mở Mathscope.org theo địa trannamdung@ovi.com với tiêu đề [4VMO2010] Các thành viên có đóng góp tơn vinh nhận quà tặng ý nghĩa Cuốn sách thực với giúp đỡ Nokia Vietnam (http://www.nokia com.vn) TP HCM, ngày 02 tháng 12 năm 2009 Trần Nam Dũng iii iv Trần Nam Dũng (chủ biên) Lời cảm ơn Xin cảm ơn nhiệt tình tham gia đóng góp bạn: Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Tiến Đạt Phạm Hy Hiếu Tạ Minh Hoằng Nguyễn Xuân Huy Mai Tiến Khải Hoàng Quốc Khánh Nguyễn Vương Linh Nguyễn Lâm Minh 10 Nguyễn Văn Năm 11 Đinh Ngọc Thạch 12 Lê Nam Trường 13 Võ Thành Văn Cùng nhiều bạn yêu toán khác v vi Trần Nam Dũng (chủ biên) Mục lục Lời nói đầu iii Lời cảm ơn v I Đề toán lời giải 1 Số học 1.1 Đề 1.2 Lời giải 3 Phương trình, hệ phương trình 2.1 Đề 2.2 Lời giải 15 15 17 Bất đẳng thức cực trị 3.1 Đề 3.2 Lời giải 27 27 29 Phương trình hàm đa thức 4.1 Đề 4.2 Lời giải 43 43 45 Hình học 5.1 Đề 5.2 Lời giải 57 57 60 Tổ hợp 6.1 Đề 6.2 Lời giải 71 71 74 vii viii II Trần Nam Dũng (chủ biên) Dãy số 7.1 Đề 7.2 Lời giải Một số giảng toán 89 89 91 99 Giải phương trình hàm cách lập phương trình 101 Dãy truy hồi loại un+1 = f (un ) 107 10 Các định lý tồn giải tích định lý đại số 113 11 Phép chứng minh phản chứng 123 12 Nguyên lý Dirichlet 127 13 Cauchy-Bunyakovski-Schwarz Inequality 137 A Đề luyện đội tuyển cho kỳ thi VMO 2010 145 B Hướng dẫn nội dung bồi dưỡng học sinh thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia lớp 12 THPT 151 Phần I Đề toán lời giải Phụ lục A Đề luyện đội tuyển cho kỳ thi VMO 2010 Đề số Bài Với giá trị b tồn a cho hệ phương trình (x − 1)2 + (y + 1)2 = b y = x2 + (2a + 1)x + a2 có nghiệm? Bài Cho dãy số {xn } xác định x1 = 3, xn+1 = xn2 + 3xn ∀n = 1, 2, Chứng minh dãy {xn } có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài Trên cạnh AB BC tam giác ABC lấy điểm M N tương ứng Chứng minh bốn điểm A, M, N C nằm đường tròn giao điểm đoạn thẳng AN CM nằm đoạn thẳng qua trực tâm tam giác ABC BMN Bài Các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn điều kiện a2 + b2 + ab = c2 + d + cd Các đề toán biên soạn TS Trần Nam Dũng 145 146 Trần Nam Dũng (chủ biên) Chứng minh số a + b + c + d hợp số Bài Xét dãy số gồm số số Xét cặp số dãy (không thiết kề nhau), số bên trái số số bên phải số Giả sử số cặp có M cặp mà số số cặp có số chẵn số có N cặp mà số số cặp có số lẻ số Chứng minh M lớn hay N (Ví dụ với dãy số 1 0 M = 4, N = 4; với dãy số 0 M = 2, N = 1) Đề số Bài Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z + = 4xyz Chứng minh ta có bất đẳng thức xy + yz + zx ≥ x + y + z Bài (a) Chứng minh với n ≥ 2, phương trình xn − xn−1 − · · · − x − = có nghiệm dương (b) Ký hiệu nghiệm dương nói xn Hãy tìm lim xn n→∞ Bài Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC AC điểm K, L M tương ứng Kẻ tiếp tuyến chung khác với cạnh tam giác tới đường tròn nội tiếp tam giác BKL, CLM AKM Chứng minh tiếp tuyến đồng quy điểm Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) cho số a2 b + b số nguyên ab2 + Bài Cho tập hợp S = {1, 2, 3, , n} Tìm số cách chia tập S thành ba tập khác rỗng cho tập không chứa hai số nguyên liên tiếp Đề số Bài Tìm tất hàm số f : R → R thoả mãn điều kiện f (x2 − y2 ) = x f (x) − y f (y) với x, y ∈ R Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường Đại học năm học 2009-2010 147 Bài Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện (x + y + z) 1 + + x y z = 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (x3 + y3 + z3 ) 1 + + x3 y3 z3 Bài Cho tam giác ABC, K L hai điểm (AB), (AC) cho BK = CL Gọi P giao điểm CK BL Đường thẳng qua P song song với phân giác góc ∠BAC cắt AC M Chứng minh CM = AB Bài Tìm tất cặp số nguyên dương x, y cho (x2 + y)(y2 + x) luỹ thừa số nguyên tố Bài Có 2009 bìa có ghi số từ đến 2009, số bìa Đầu tiên bìa xếp thành hàng theo thứ tự Người ta thực liên tiếp phép biến đổi sau: nhìn vào bìa bên tay trái, có ghi số k ta đảo k bìa theo thứ tự ngược lại, bìa khác để ngun Ví dụ ta xét chín số từ đến thay từ đến 2009 thứ tự ban đầu 395672814 dãy biến đổi 395672814 → 593672814 (đảo thứ tự ba số đầu) → 763952814 (đảo thứ tự năm số đầu) → 825936714 (đảo thứ tự bảy số đầu) → 17639528 (đảo thứ tự tám số đầu) Chứng minh sau số hữu hạn lần thực hiện, bìa với số đưa lên đầu từ thứ tự bìa khơng thay đổi Đề số Bài Giải hệ phương trình 2 (2x − y) = + z (z − y)2 = + 4x2 (z + 2x)2 = + y2 Bài Đa thức P(x) bậc n > có n nghiệm phân biệt x1 , x2 , , xn Đạo hàm P (x) có nghiệm y1 , y2 , , yn−1 Chứng minh bất đẳng thức x12 + x22 + · · · + xn2 y21 + y22 + · · · + y2n−1 > n n−1 148 Trần Nam Dũng (chủ biên) Bài Trên đường thẳng d cho ba điểm A, B, C theo thứ tự Về phía với d, vẽ nửa đường tròn (S1 ), (S2 ) đường kính AB, AC tương ứng D điểm S2 cho tam giác DBC cân D Gọi O tâm đường tròn tiếp xúc với (S1 ), (S2 ) BD Chứng minh OB vng góc với d Bài Cho n số x1 , x2 , , xn có tích p Biết với i = 1, 2, , n, số p − xi số nguyên lẻ Chứng minh tất số x1 , x2 , , xn số vơ tỷ Bài Cho bàn cờ 13 × 13 bị khuyết Hỏi phủ bàn cờ quân tetramino kích thước × × hay không? Đề số Bài Trên bảng ghi năm số Cộng số theo cặp, ta 10 số sau đây: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 Hỏi số ghi bảng số nào? Bài Hàm số liên tục f : R → R thoả mãn điều kiện g(x, y) = | f (x + y) − f (x) − f (y)| bị chặn Chứng minh tồn số thực A cho hàm số h(x) = | f (x) − Ax| bị chặn Bài Cho tam giác nhọn ABC Trên cạnh AC nối dài C, CB nối dài phía B, BA nối dài phía A lấy điểm B1 , A1 , C1 cho tam giác A1 B1C1 đồng dạng với tam giác ABC Chứng minh trực tâm tam giác A1 B1C1 trùng với tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Bài Tìm tất đa thức f (x) với hệ số nguyên cho với n nguyên dương ta có f (n) ước 2n − Bài Có số có n chữ số lập từ chữ số {1, 2, 3, , 9} có tích chữ số chia hết cho 10? Đề số Bài Cho a, b, c số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh 1 + + ≤ 2 2 a +b +2 b +c +2 c +a +2 Bài Tìm tất giá trị tham số a cho phương trình log7 (7x − log7 a) = 2x Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường Đại học năm học 2009-2010 149 có nghiệm Bài Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) tâm O đường tròn (O ) tâm O cắt hai điểm B, M Các điểm A, C nằm đường tròn (O) Đường thẳng AB cắt (O ) K khác B Đường thẳng BC cắt đường tròn (O ) N khác B Các đường trung trực đoạn thẳng AK CN cắt I (khác M) Chứng minh ∠IMB = 90◦ Bài Trong cấp số cộng a1 , a2 , a3 , a4 , chứa số a21 , a22 a23 Chứng minh cấp số gồm số hạng nguyên Bài Trong quốc gia có số thành phố nối với đường Các đường cắt thành phố Tại thành phố có treo bảng ghi độ dài ngắn đường đi, xuất phát từ thành phố qua tất thành phố (đường đi qua số thành phố vài lần không thiết phải quay thành phố xuất phát) Chứng minh hai số bảng chênh lệch không 1.5 lần Đề số Bài Tìm tất hàm số f : R → R thoả mãn điều kiện (i) f (x2 ) = f (x) với x thuộc R; (ii) f (x + 1) = f (x) + với x thuộc R Bài Cho a, b, c, x, y, z số thực thoả mãn điều kiện (a + b)z − (x + y)c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ P = a2 + b2 + c2 + x2 + y2 + z2 + ax + by + cz Bài Trên cạnh AB AD hình vng ABCD lấy điểm K N tương ứng cho AK · AN = 2BK · DN Các đoạn thẳng CK CN cắt đường chéo BD điểm L M Chứng minh điểm K, L, M, N A nằm đường tròn Bài (a) Chứng minh phương trình x2 + = y3 khơng có nghiệm ngun (b) Tìm tất nghiệm ngun dương phương trình x2 + = y3 Bài Chọn cách ngẫu nhiên 55 số từ 100 số nguyên dương Chứng minh số số chọn tìm hai số có hiệu 150 Trần Nam Dũng (chủ biên) Phụ lục B Hướng dẫn nội dung bồi dưỡng học sinh thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia lớp 12 THPT I Yêu cầu tối thiểu kiến thức Ngồi kiến thức tốn theo Chương trình phổ thông (từ lớp đến lớp 12) hành, học sinh dự thi cần trang bị thêm tối thiểu số kiến thức sau: Phần Số học – Các khái niệm kết lý thuyết trình bày Chương I; §1, §2, §4 Chương II; §1, §2, §3 Chương III; Chương IV Chương V “Bài giảng số học” nhóm Tác giả: Đặng Hùng Thắng (Chủ biên), Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thuỷ (NXB Giáo dục, 1994) – Định lý nhỏ Fermat, Định lý Wilson – Định lý Euler định lý Trung Quốc số dư Kèm theo Công văn số 11636/THPT ngày 25/12/2000 1403/THPT ngày 25/02/2002 Bộ Giáo dục Đào tạo 151 152 Trần Nam Dũng (chủ biên) Phần Đại số - Giải tích a Bất đẳng thức – Các bất đẳng thức đại số: bất đẳng thức Cauchy cho n (n ∈ Z, n ≥ 2) số thực không âm; bất đẳng thức Bunyakowski cho hai n số thực (n ∈ Z, n ≥ 2); bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy n số thực (n ∈ Z, n ≥ 2); bất đẳng thức Nesbitt cho ba số thực dương; bất đẳng thức Bernoulli mở rộng – Bất đẳng thức hàm lồi (Bất đẳng thức Jensen) – Các bất đẳng thức tích phân trình bày mục §2 Chương III SGK Giải tích 12 (Sách chỉnh lý hợp năm 2000, NXB Giáo dục) – Kết Ví dụ 1.4 §1 Chương V “Bất đẳng thức” Tác giả Phan Đức Chính (NXB Giáo dục, 1993) b Đa thức – Khái niệm nghiệm bội đa thức số kết đơn giản liên quan đến nghiệm đa thức: + Định lý Đa thức bậc n (n ∈ N∗ ) có tối đa n nghiệm thực, nghiệm kể số lần số bội + Định lý Nếu x0 nghiệm đa thức P(x) x0 + a nghiệm đa thức P(x − a), với a ∈ R cho trước + Định lý Nếu x0 = nghiệm đa thức P(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , a0 = n ∈ N∗ , nghiệm đa thức x0 Q(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 + Định lý Nếu x0 nghiệm bội k (k ∈ Z, k ≥ 2) đa thức P(x) x0 nghiệm bội k − đa thức đạo hàm P (x) + Định lý Nếu x0 nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên P(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , a0 = n ∈ N∗ , p ; p, q tương ứng ước an , a0 q + Định lý Viette thuận đảo cho đa thức bậc n (n ∈ Z, n ≥ 2) x0 phải có dạng – Cơng thức nội suy Lagrange Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường Đại học năm học 2009-2010 153 – Khái niệm đa thức khả quy, bất khả quy – Định lý Bezout số dư phép chia đa thức cho nhị thức bậc x − a – Đa thức Chebyshev tính chất trình bày phần Phụ lục “Bất đẳng thức” Tác giả Phan Đức Chính (NXB Giáo dục, 1993) c Dãy số - Hàm số – Phương trình đặc trưng cơng thức tính số hạng tổng qt dãy số cho hệ thức truy hồi tuyến tính – Các khái niệm: dãy con, dãy số tuần hoàn chu kỳ dãy số tuần hoàn – Mối liên hệ tính hội tụ dãy số tính hội tụ dãy dãy số – Một số kết đơn giản tính đơn điệu hàm số: + Kết Nếu f g hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X f + g hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X + Kết Giả sử f g hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X Khi đó: (i) Nếu f g nhận giá trị khơng âm (khơng dương) X f · g hàm số đồng biến tập X (ii) Nếu f g nhận giá trị khơng dương (khơng âm) X f · g hàm số nghịch biến tập X + Kết Giả sử f hàm số đồng biến g hàm số nghịch biến tập X Khi đó, f nhận giá trị khơng âm (không dương) X đồng thời g nhận giá trị khơng dương (khơng âm) tập f · g hàm số nghịch biến (đồng biến) X + Kết Giả sử g hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X Kí hiệu g(X) tập giá trị hàm g với tập xác định X Khi đó: (i) Nếu f hàm số đồng biến g(X)thì f (g(x)) hàm số đồng biến (nghịch biến) X (ii) Nếu f hàm số nghịch biến g(X) f (g(x)) hàm số nghịch biến (đồng biến) X + Kết Nếu f hàm số đồng biến R hai phương trình sau tương đương với nhau: f ( f ( ( f (x)) )) = x f (x) = x 154 Trần Nam Dũng (chủ biên) – Khái niệm chu kỳ sở hàm số tuần hoàn số kết liên quan đến hàm tuần hoàn: + Định lý Nếu hàm số f (x) tuần hoàn tập X với chu kỳ sở T f (x) = f (x + A) ∀x ∈ X phải có A = kT, với k ∈ Z + Định lý Nếu hàm số tuần hồn f (x) có chu kỳ sở T hàm số T f (ax) (a = 0) hàm số tuần hồn có chu kỳ sở a + Định lý Nếu hàm số f1 (x), f2 (x) tuần hoàn X tương ứng có chu kỳ T1 , T2 thơng ước với hàm số f1 (x) + f2 (x), f1 (x) − f2 (x), f1 (x) f2 (x) tuần hoàn X – Định nghĩa hàm số ngược – Định lý giá trị trung gian hàm số liên tục đoạn – Kết Bài tốn 1-7 §1 Chương II “Phương trình hàm” Tác giả Nguyễn Văn Mậu (NXB Giáo dục, 1997) Phần Lượng giác – Hệ thức Charles cho cung lượng giác – Bất phương trình lượng giác tập nghiệm bất phương trình lượng giác – Các cơng thức đơn giản tính độ dài đường phân giác, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác theo độ dài cạnh giá trị lượng giác góc tam giác – Một số bất đẳng thức thông dụng tam giác: √ 3 • sin A + sin B + sinC ≤ ∀∆ABC • cos A + cos B + cosC ≤ ∀∆ABC √ • tan A + tan B + tanC ≥ 3 ∀∆ nhọn ABC Dấu đẳng thức bất đẳng thức xảy ∆ABC tam giác Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường Đại học năm học 2009-2010 155 Phần Hình học a Hình học phẳng – Khái niệm trọng tâm, tâm tỉ cự hệ điểm toạ độ chúng xét hệ toạ độ Decartes – Tâm đẳng phương ba đường tròn – Hàng điểm điều hồ Chùm điều hồ: Định nghĩa số tính chất đơn giản: + Hệ thức Newton, Hệ thức Decartes + Định lý Hai cạnh tam giác đường phân giác trong, xuất phát từ đỉnh chung hai cạnh lập thành chùm điều hoà – Định lý Ptolemy, Định lý Ceva, Định lý Menelauyt, Định lý Thales thuận đảo – Định nghĩa đường tròn Apoloniut, đường tròn Euler (đường tròn điểm) – Kết Ví dụ 1, phần §4 Chương II SGK Hình học 10 (Sách chỉnh lý hợp năm 2000, NXB Giáo dục) – Hệ thức Euler tam giác: d = R2 − 2Rr, d, R, r tương ứng khoảng cách tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác – Định nghĩa tích phép biến hình số kết liên quan, định nghĩa tính chất phép đồng dạng: trình bày TLGKTĐ Hình học lớp 11 Ban KHTN-THCB (NXB Giáo dục, 1997) – Các kết lý thuyết liên quan tới phép biến hình mặt phẳng trình bày “Các tốn hình học phẳng” (T.1 T.2) Tác giả Praxolov V.V (NXB Hải Phòng, 1994) – Định nghĩa tính chất phép nghịch đảo trình bày phần “Các kiến thức bản” Chương 28 “Các tốn hình học phẳng” (T.2) Tác giả V.V Praxolov (NXB Hải Phòng, 1994) 156 Trần Nam Dũng (chủ biên) b Hình học không gian – Định lý Thales thuận đảo – Định nghĩa khối đa diện đều, khối tứ diện gần đều, khối tứ diện trực tâm số kết liên quan: + Định lý 10 Tứ diện ABCD tứ diện gần xảy điều sau: (i) Các mặt tứ diện có diện tích (ii) Bốn đường cao tứ diện có độ dài (iii) Có hai ba điểm sau trùng nhau: tâm mặt cầu nội tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện + Định lý 11 Tứ diện ABCD tứ diện trực tâm xảy điều sau: (i) Các cặp cạnh đối tứ diện vng góc với (ii) Chân đường vng góc hạ từ đỉnh xuống mặt đối diện trực tâm mặt (iii) Tổng bình phương độ dài cặp cạnh đối – Định lý tồn mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện – Kết Ví dụ §1 Chương II SGK Hình học 12 (Sách chỉnh lý hợp năm 2000, NXB Giáo dục) – Khái niệm trọng tâm, tâm tỉ cự hệ điểm toạ độ chúng xét hệ toạ độ Decartes – Định nghĩa tính chất tích có hướng hai vectơ, tích hỗn tạp ba vectơ số kết liên quan: trình bày §3 §8 Chương II SGK Hình học 12 (Sách chỉnh lý hợp năm 2000, NXB Giáo dục) Phần Tổ hợp – Nguyên lý Dirichlet, Nguyên lý cực hạn (hay Nguyên lý khởi đầu cực trị) – Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh, ánh xạ tích – Các khái niệm kết trình bày §1, §2 §3 tài liệu “Về số vấn đề giải tích tổ hợp chương trình THPT” (Biên soạn: Nguyễn Khắc Minh Tài liệu báo cáo Hội nghị tập huấn giáo viên giảng dạy chun tốn tồn quốc, Hà Nội-1997) Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường Đại học năm học 2009-2010 157 – Kết Bài tốn 1, 4, §4 viết nói – Các khái niệm lý thuyết Graph: Graph; Đỉnh, đỉnh cô lập, cạnh vơ hướng, cạnh có hướng Graph; Graph có hướng; Graph đơn vô hướng hữu hạn; Graph đầy đủ; Graph bù; Graph con; Bậc đỉnh Graph đơn vô hướng hữu hạn; Graph nhất; Đường đi, độ dài đường đi, đường khép kín, xích (có tài liệu gọi đường đơn giản), xích đơn, chu trình (có tài liệu gọi chu trình đơn giản), chu trình đơn, đường Euler, đường Hamilton, chu trình Euler, chu trình Hamilton Graph đơn vơ hướng hữu hạn; Graph liên thông, cây, Graph Euler, Graph Hamilton; Thành phần liên thông Graph đơn vô hướng hữu hạn – Một số kết đơn giản lý thuyết Graph: + Định lý 12 Số đỉnh bậc lẻ Graph đơn vô hướng hữu hạn số chẵn + Định lý 13 Trong Graph đơn vô hướng n đỉnh (n ∈ Z, n ≥ 2) tồn hai đỉnh có bậc + Định lý 14 Nếu Graph G đơn vô hướng n đỉnh (n ∈ Z, n ≥ 2) có hai đỉnh bậc G phải có đỉnh bậc đỉnh bậc n − + Định lý 15 Mỗi Graph đơn vô hướng hữu hạn không liên thông bị phân chia cách thành thành phần liên thông + Định lý 16 Nếu đỉnh Graph G đơn vô hướng n đỉnh (n ∈ Z, n ≥ n 2) có bậc khơng nhỏ G Graph liên thông + Định lý 17 Graph G đơn vô hướng hữu hạn Graph Euler hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: (i) G Graph liên thông (ii) Mọi đỉnh G có bậc chẵn + Định lý 18 Nếu tất cạnh Graph đơn vô hướng đầy đủ sáu đỉnh tơ hai màu phải tồn chu trình đơn độ dài có tất cạnh màu – Khái niệm “chiến lược thắng cuộc” tốn trò chơi II Yêu cầu tối thiểu kỹ Biết vận dụng linh hoạt kiến thức lý thuyết vào việc giải toán cụ thể 158 Trần Nam Dũng (chủ biên) Biết phân tích cách hợp lý giả thiết để từ tìm hướng giải tốn Đặc biệt, tốn giải nhờ mơ hình graph, cần: – Biết cách chuyển tốn ban đầu (hoặc phần toán ban đầu) tốn tương đương mơ hình graph; – Biết cách sử dụng biểu diễn hình học graph công cụ tạo gợi ý trực giác q trình suy luận, tìm tòi lời giải cho toán; – Biết sử dụng khái niệm, thuật ngữ lý thuyết graph để trình bày lời giải cách ngắn gọn, sáng sủa, chặt chẽ xác III Một số điểm lưu ý Cơng thức nội suy Lagrange, Định lý Euler định lý Trung Quốc số dư, phép biến hình nghịch đảo mặt phẳng, khái niệm, kết lý thuyết graph tốn trò chơi nội dung kiến thức không bắt buộc học sinh dự thi Bảng B Về định lý Euler định lý Trung Quốc: Chỉ yêu cầu học sinh hiểu định lý biết vận dụng chúng tình khơng phức tạp Học sinh dự thi (ở hai bảng A B) phép sử dụng khái niệm, kết nêu mục I khái niệm, kết SGK Trong kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia mơn tốn lớp 12 THPT thí sinh phép sử dụng kiến thức số phức phạm vi chương trình mơn tốn Ban KHTN-THCB (cũ) Để học sinh đạt yêu cầu kỹ năng, nêu mục II, giáo viên bồi dưỡng cần ý: – Giúp học sinh hiểu rõ chất toán học khái niệm, kết – Giúp học sinh nắm ý tưởng toán học ẩn chứa lời giải toán cụ thể – Luyện tập cho học sinh toán mà lời giải chúng thể mối liên quan phần kiến thức – Phân tích cho học sinh thấy đường đến lời giải toán Điều đặc biệt quan trọng việc luyện tập toán tổ hợp Để nâng cao hiệu việc bồi dưỡng, tài liệu dẫn mục I, giáo viên bồi dưỡng tham khảo tài liệu sau: [1] Đề thi vô địch nước (19 nước) T.1, T.2, T.3, NXB Hải Phòng Lời giải bình luận đề thi tỉnh, trường Đại học năm học 2009-2010 159 [2] H Chúng, Graph giải tốn phổ thơng, NXB Giáo dục, 1992 [3] N V Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [4] Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi bậc THPT mơn tốn, Vụ THPT ấn hành, 1997 [5] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ ... 137 A Đề luyện đội tuyển cho kỳ thi VMO 2010 145 B Hướng dẫn nội dung bồi dưỡng học sinh thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia lớp 12 THPT 151 Phần I Đề toán lời giải Chương Số học Toán học bảo... địa phương Nhằm giúp bạn học sinh có thêm hội trao đổi, học hỏi, rèn luyện kỹ giải toán, thực sách Thông qua việc giải bình luận đề thi học sinh giỏi tỉnh trường Đại học, đưa tập tương tự, nói...dddd Lời nói đầu Kỳ thi VMO năm tổ chức vào tháng 3/2010 Hiện trường tỉnh hoàn tất việc thi HSG cấp tỉnh thành lập đội tuyển Sau kỳ thi học kì I, việc luyện thi cho kỳ thi VMO 2010 khởi động