60 đề thi học sinh giỏi môn toán 6 có đáp án chi tiết

Hoàng Hà - Đinh Th Hoài Thương 60 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (Có đáp án) Tuyển tập đề thi HSG Toán ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Câu : (2 điểm) Cho biểu thức A = a + 2a − a + 2a + 2a + a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc = n − cba = (n − 2)2 Câu 3: (2 điểm) a Tìm n để n2 + 2006 số phương b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (2 điểm) a+n a a Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh b+n b 11 10 10 − 10 + b Cho A = 12 ; B = 11 So sánh A B 10 − 10 + Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng ĐÁP ÁN a + 2a − (a + 1)(a + a − 1) a + a − Câu 1: Ta có: A = = = a + 2a + 2a + (a + 1)(a + a + 1) a + a + Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 ( 0,25 điểm) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố ( 0, điểm) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n – 4n + (2) (0,25 điểm) Từ (1) (2) ⇒ 99(a-c) = n – ⇒ 4n – ⋮ 99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100 [ n2-1 [ 999 ⇔ 101 [ n2 [ 1000 ⇔ 11 [n[31 ⇔ 39 [4n – [ 119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) (4) ⇒ 4n – = 99 ⇒ n = 26 Vậy: abc = 675 ( , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a∈ Z) ⇔ a2 – n2 = 2006⇔ (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm) + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n) ⋮ (a+n) ⋮ nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm) Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm) b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Bài 4: Mỗi câu cho điểm Tuyển tập đề thi HSG Toán =1 a Ta xét trường hợp b a TH1: b ⇔ a=b =1 TH1: a b >1 a+n b+n >1 a b a+n b + n = a b a b < (0,5 điểm) =1 (0 , ,5 điểm) ⇔ a>b ⇔ a+m > b+n a −b a+n Mà b + n có phần thừa so với b + n a −b a a−b có phần thừa so với b , b + n b < a −b a a+n b nên b + n < b (0,25 điểm) a TH3: b x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu2: a Gọi dlà ước chung 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 12n + phân số tối giản (0,5đ) 30n + 1 1 b Ta có < = 1 2 1 1 < = 2 3 1 1 < = (0,5đ) 100 99.100 99 100 Vậy 1 1 1 1 + + + < - + - + + 2 99 100 100 2 1 1 99 + + + 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53 52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì a số tự nhiên với a ∈ Z nên từ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5 => (x + 1) + ( x + ) + + (x + 100) = 5750 x + + x + + x + + + x + 100 ( + + + + 100) + ( x + x 101 x 50 + = 5750 + x + x ) = 5750 100 x = 5750 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = Câu a) abc deg = 10000ab + 100 cd + eg = 9999 ab + 99 cd + ab + cd + eg ⋮ 11 b) 10 28 + ⋮ 9.8 ta có 10 28 + ⋮ (vì có số tận 008) nên 10 28 + ⋮ 9.8 10 28 + ⋮ 72 Câu Gọi số giấy lớp thu x (Kg) ( x-26) ⋮ 11 ( x-25) ⋮ 10 Do (x-15) ∈ BC(10;11) 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235 Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + = 20 hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + = 22 hs 21 Câu Số thứ bằng: : = (số thứ hai) 11 22 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 22 22 + 21 + 27 70 Tổng số (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 21 27 Số thứ hai : 210 : = 66 ; số thứ là: 66 = 63 ; số thứ là: 66 = 81 22 22 22 Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng hai nửa mặt phẳng Xét trường hợp a) Nếu điểm A, B, CD thuộc nửa mặt phẳng a khơng cắt đoạn thẳng b) Nếu có điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD c) Nếu có điểm chẳng hạn (A B) thuộc nửa mặt phẳng hai điểm (C D) thuộc mặt 100 x + 5050 ( ) Tuyển tập đề thi HSG Toán phẳng đối a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Bài (3đ): a) So sánh: 222333 333222 b) Tìm chữ số x y để số 1x8 y chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 2002 chia cho a có số dư 28 Bài (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S ⋮ Bài (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư chia cho 31 dư 28 Bài (3đ): Cho góc AOB = 1350 C điểm nằm góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD tia đối tia OC So sánh hai góc AOD BOD HƯỚNG DẪN Bài (3đ): a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) 333 222 Suy ra: 222 > 333 b) Để số 1x8 y ⋮ 36 ( ≤ x, y ≤ , x, y ∈ N ) (1 + x + + y + 2) ⋮9 (0,5đ) ⇔  y 2⋮ y ⋮ ⇒ y = {1;3;5;7;9} (x+y+2) ⋮ => x+y = x+y = 16 => x = {6;4;2;0;9;7} (0,25đ) Vậy ta có số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) ⋮ a => 42 ⋮ a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài (2đ): a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) 2004 − Suy ra: 8S = 32004 - => S = (0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( + 36 + + 31998 ) = 91( + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S ⋮ (0,25đ) Bài (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p ≥ Vì a nhỏ hay q - p = => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm 121 (0,25đ) Bài (3đ): a) theo giả thiết C nằm góc AOB tia OC nằm hai tia OB OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450 (0,75đ) nên Tuyển tập đề thi HSG Tốn b) OD tia đối tia OC nên C, O, D thẳng hàng Do góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Bài 1( điểm Tìm chữ số tận số sau: a) 571999 b) 931999 1999 1997 Cho A= 999993 - 555557 Chứng minh A chia hết cho a Cho phân số (0 < a < b) thêm m đơn vị (m > 0) vào tử mẫu phân số lớn b a hay bé ? b Cho số 155 * 710 * * 16 có 12 chữ số chứng minh thay dấu * chưc số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ số ln chia hết cho 396 chứng minh rằng: 1 1 1 1 99 100 a) − + − + b) − + − + + 99 − 100 < − < ; 16 32 64 3 16 3 3 Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M tia Ox cho OM = (a+b) ĐÁP ÁN Bài 1: Tìm chữ số tận số sau: ( điểm ) Để tìm chữ số tận số cần xét chữ số tận số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499 343 Suy chữ số tận ( 0,25 điểm ) ỵVậy số 571999 có chữ số tận : b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499 33 = 81499.27 Suy chữ số tận (0,25 điểm ) Cho A = 9999931999 - 5555571997 chứng minh A chia hết cho Để chứng minh A chia hết cho , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận 0, A chia hết cho ( 0,25 điểm ) (1 điểm )Theo toán cho a < b nên am < bm ( nhân hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ⇒ ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) ⇒ a(b+m) < b( a+m) a a+m ⇒ < b b+m 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí chữ số thay ba dấu số hàng chẵn ba chữ số Tuyển tập đề thi HSG Tốn đơi khác nhau, lấy từ tập hợp {1;2;3} nên tổng chúng 1+2+3=6 Mặt khác 396 = 4.9.11 4;9;11 đôi nguyên tố nên ta cần chứng minh A = 155 * 710 * * 16 chia hết cho ; 11 Thật : +A ⋮ số tạo hai chữ số tận A 16 chia hết cho ( 0,25 điểm ) + A ⋮ tổng chữ số chia hết cho : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho ( 0,25 điểm ) + A ⋮ 11 hiệu số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ 0, chia hết cho 11 {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A ⋮ 396 5(4 điểm ) 1 1 1 1 1 1 a) (2 điểm ) Đặt A= − + − + − = − + − + − (0,25 điểm ) 16 32 64 2 2 2 1 1 ⇒ 2A= − + − + − (0,5 điểm ) 2 2 26 − ⇒ 2A+A =3A = 1- = b⋮ 0,25 3a+ 5b= 33 =>5b≤ 33 =>b≤ 6,6 (2) 0,25 Từ (1), (2) b nguyên => b∈{0; 3; 6} 0,25 • Nếu |b| =0 3a= 33=>a= 11 => a = ± 11; b = 0,25 Ta có cặp (0; 11), (0; -11) • Nếu |b| =3 3a= 33 – 15 =18 =>a= => a = ± 6; b = ±3 0,25 Ta có cặp (6; 3), (6; -3), (-6; 3), (-6; -3) • Nếu |b| = 3a= 33 – 30 =3 =>a= => a = ± 1; 0,25 b=±6 Ta có cặp (1; 6), (1; -6), (-1; 6), (-1; -6) BÀI : (5 ĐIỂM) KL: Ta có cặp (0; 11), (0; -11), (6; 3), (6; -3), (-6; 3), (-6; -3) (1; 6), (1; -6), (-1; 6), (-1; -6) thoả mãn đề b) Cho n số tự nhiên, tìm số nguyên tố p có chữ số cho p = ƯCLN(2n - 3; 3n +15) 0,25 (1điểm)  2n − 3⋮ p p = ƯCLN(2n - 3; 3n +15)=>  3n + 15⋮ p 0, 25  6n − 9⋮ p ⇒ 6n + 30⋮ p 0, 25 ⇒ ( 6n + 30) − ( 6n − 9)⋮ p 0, 25 ⇒ 39⋮ p p số nguyên tố có chữ số => p = 13 c) Cho S = + + 52 + 53 +54 + … + 52010 0, 25 (2 điểm) Tìm số dư chia S cho 2, cho10, cho 13 • S gồm 2011 số hạng số lẻ nên S lẻ => S chia cho dư 0, • S gồm 2010 số hạng chia hết cho số hạng chia cho dư => S chia cho dư 0, 25 => S có tận mà S lẻ nên S có tận Vậy S chia cho 10 dư 75 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Toán S = + + 52 + 53 +54 + … + 52010 S =1 + + 52 +( 53 +54 + 55 +56) +( 57 +58 + 59 +510) +… 2007 BÀI : (Tiếp) +( 2008 +5 2009 +5 +5 ) S =1 + + 25 +5 (1 + + 52 + 53) + 57 (1 + + 52 + 53) +… +52007 (1 + + 52 + 53) S =26 + +53 156 + 57 156 +… +52007 156 Ta có 26 156 chia hết cho 13 S chia cho 13 dư a) Cho a, b, c, d số tự nhiên khác biểu thức: M= a b c d + + + a+b+c a+b+d a+c+d b+c+d Hỏi M có giá trị số tự nhiên hay khơng? Vì ? a a Vì a, b, c, d ∈ N* ⇒ a+b+c < a+b+c+d => > a+ b + c a+ b + c+ d b b Tương tự : > a+ b + d a+ b + c+ d c c > a+ c+ d a+ b + c+ d d d > b + c+ d a+ b + c+ d a+ b + c+ d ⇒M> =1 a+ b + c+ d BÀI : a a < (5 ĐIỂM) Vì a, b, c, d ∈ N* ⇒ a + b + c > a + b ⇒ a+ b + c a+ b Tương tự : 0,5 2010 b b < ; a+ b + d a+ b c c d d < ; < a+ c+ d c+ d b + c+ d c+ d a+ b c+ d + =2 a+ b c+ d Vậy 1< M < nên M khơng số tự nhiên b) Tìm số tự nhiên x, y, z cho < x ≤ y ≤ z xy + yz + zx = xyz.(1) 1 Từ (1) ⇒ + + = x y z Lý luận < x ≤ ⇒ x ∈ {2, } ⇒M < * ) Trường hợp x = tìm y ∈ {3, } +) y = tìm z = +) y = tìm z = * ) Trường hợp x =3 tìm y = z =3 Vậy x= 2, y = , z = x = 2, y = , z = x = y = z =3 76 0,25 0,25 (2 điểm) 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0, 0, 75 0, 0,25 0,25 0, 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Toán Cho xOy yOz hai góc kề bù thoả mãn xOy = yOz a) Tính số đo góc xOy yOz Vẽ hình Lập luận xOy + yOz = 1800 5 mà xOy = yOz => yOz + yOz = 1800 4 yOz = 1800 => yOz = 800 => xOy = 1000 Bài : (4 điểm) b) Kẻ tia Ot cho tOy = 800 Tia Oy có tia phân giác tOz không ? Tại ? Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ đường thẳng chứa tia Oy tia Ot trùng với tia Oz ( tOy = yOz = 800 ) nên tia Oy không tia phân giác tOz Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ đường thẳng chứa tia Oy tia Oy nằm tia Oz Ot mà tOy = yOz (= 800 ) nên tia Oy tia phân giác tOz c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng cho đường thẳng khơng chứa tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường tròn tâm O bán kính r Gọi A tập hợp giao điểm đường tròn nói với tia gốc O có hình vẽ, tính số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp A (Cho biết điểm nằm đường tròn khơng thẳng hàng) Lập luận có 50.2 + = 104 tia gốc O => A có 104 điểm Lập luận để có 104.103/2 = 5356 đoạn thẳng nối 104 điểm A Nối đầu đoạn thẳng với điểm thuộc 102 điểm lại (khơng phải mút đoạn thẳng đó) 102 tam giác Vậy có 5356.102 tam giác Nhưng tam giác tính lân, ta có5356.102 : = 182104 tam giác Bài : (1 điểm) (2 điểm) 0, 0,25 0, 0, 0,25 (1 điểm) 0, 0,5 (1 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài : (1 điểm) Cho lưới vng kích thước 5×5 Người ta điền vào ô lưới số -1; 0; Xét tổng số tính theo cột, theo hàng theo đường chéo Hãy chứng tỏ tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Vì lưới vng có kích thước 5×5 có cột, hàng đường chéo, có tất 12 tổng Do chọn điền vào số -1, ,1 nên giá trị tổng S số nguyên thoả mãn : -5 ≤ S ≤ Vậy có 11 số mà 12 tổng , theo nguyên tắc Đi-rích-lê tồn hai tổng có giá trị 77 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán ĐỀ SỐ 54 Đề Olimpic huyện năm học 2006 2007 (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm chữ số x để: a) 137 + 3x chia hết cho 13 b) 137 x137 x chia hết cho 13.Bài a) So sánh phân số: b) So sánh tổng S = 15 25 Với 301 499 n 2007 + + + + n + + 2007 với ( n ∈ N*) 2 2 Bài Với giá trị số tự nhiên a thì: a) 8a + 19 có giá trị ngun 4a + b) 5a − 17 có giá trị lớn 4a − 23 Bài Tìm chữ số tận số 62006, 72007 Bài Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời câu ? ĐÁP ÁN Bài Tìm chữ số x để: a) 137 + 3x chia hết cho 13 A = 137 + 3x = 137 + 30 + x = 12 13 + (11 + x) => A ⋮ 13 Khi 11 + x ⋮ 13 Vì x chữ số từ - > => x = b) 137 x137 x chia hết cho 13 B = 137 x137 x = 13.10 + x.10 + 13.10 + x = 13.(10 + 10 ) + x.10001 10001 không chia hết cho 13 => B ⋮ 13 Khi x ⋮ 13 => x = 15 25 Bài a) So sánh phân số: Với 301 499 15 15 25 25 15 25 Vậy < < = = < 301 300 20 500 499 301 499 n 2007 b) So sánh tổng S = + + + + n + + 2007 với ( n ∈ N*) 2 2 n n +1 n + Với ∀ n ≥ ta có: n = n +1 − n Từ ta có: 2 4 2008 2009 2009 S = + ( − ) + ( − ) + + ( 2006 − 2007 ) = − 2007 < Vậy S < 2 2 2 2 Bài Với giá trị số tự nhiên a thì: 8a + 19 a) có giá trị nguyên 4a + 8a + 19 8a + + 17 17 N= = = 2+ 4a + 4a + 4a + Để N nguyên 4a + ước số 17 => a = 0, a = 5a − 17 b) có giá trị lớn 4a − 23 5a − 17 20a − 68 5(4a − 23) + 47 47 = = = + 4a − 23 4(4a − 23) 4(4a − 23) 4(4a − 23) Như tốn đưa tìm số tự nhiên a để 4a – 23 số tự nhiên nhỏ 78 Tuyển tập đề thi HSG Toán 5a − 17 = 13 4a − 23 Bài Tìm chữ số tận số 62006, 72007 Ta có: 62 = 36 ≡ (mod10), 6n ≡ (mod10) ∀ số nguyên dương n => 62006 ≡ (mod10) => chữ số tận 62006là 74 = 2401 ≡ (mod10), mà 72007 = 74.501.73 (74)501 ≡ (mod10) => chữ số tận 72004 1, Mà chữ số tận 73 => chữ số tận 72007 Vậy a = => Bài Nếu bạn trả lời 50 câu tổng số điểm 50 x 20 = 1.000 (điểm) Nhưng bạn 650 điểm thiếu 1.000 – 650 = 350 (điểm) Thiếu 350 điểm số 50 câu bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời trả lời sai chênh lệch 20 + 15 = 35(điểm) Do câu trả lời sai bạn 350:35 =10 (câu) Vậy số câu bạn trả lời 50 – 10 = 40 (câu) 79 Tuyển tập đề thi HSG Toán ĐỀ SỐ 55 Bài 1: Hãy chọn Kết 1 1 Tìm x biết rằng: + + + = 5.8 8.11 x( x + 3) a x = 27 c x = 25 b x = 35 d x = 205 Bài 2: Hãy chọn Kết Góc xOy có hai tia phân giác khi: a Góc xOy góc bẹt b Góc xOy góc tù c Góc xOy góc vng d Góc xOy góc nhọn Bài 3: Hãy chọn Kết 222221 444443 Cho số: x = ; y= ; ta có: 222222 444445 a x = y c x < y b x > y 9999 Bài 4: So sánh giá trị biểu thức: A = + + + với số 99 10.000 Bài 5: Một người xe đạp từ A đến B, từ A với vận tốc 10km/ h, từ đường đến B với vận tốc 15km/h Tính xem qng đường người với vận tốc trung bình Bài 6: Tìm cặp số nguyên dương (x;y) cho (x- 1) (5y + 2) = 16 Bài 7: Xét hình vẽ bên: a Có tam giác có cạnh NC b Có tất góc có đỉnh A N; kể c Nếu biết góc ∠MPB = 600 , ∠NPC M K N = 500 PN có phân giác góc MPC K hay khơng ? sao? H I B P C ĐÁP ÁN Bài 1: Chọn câu a: x = 27 Bài 2: Chọn câu a: Bài 3: Chọn câu c: x < y Bài 4: Biến đổi: 1 A = (1 − ) + (1 − ) + + (1 − ) 10000 1 = (1 − ) + (1 − ) + + (1 − ) 100 1 = 99 - ( + + + ) = 99 - B 100 1 1 Trong B = ( + + + + ) 1002 Vì B > nên A < 99 Bài 5: 80 điểm điểm điểm điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm Tuyển tập đề thi HSG Toán Trên quãng đường AB 2km có 1km với vận tốc10km/h (hết 1/10h); 1km với vận tốc 15km/h (hết 1/15h) Nên 2km người hết: 1 (h) + = 10 15 Vậy vận tốc trung bình người là: : 1/6 = 12km/h Bài 6: Vì x,y nguyên dương nên x - uóc 16 Mà Ư (16) = {1;2;4;8;16} Ta có: x -1 = x -1 = x -1 = x -1 = x -1 = 16 ⇒x=2 ⇒x=3 ⇒x=5 ⇒x=9 ⇒ x = 17 1.0 1.0 0.5 0.5 điểm 0.5 1.0 Thay giá trị x vừa tìm vào (x - 1) (5y + 2) = 16 x = ta có: 5y + = 16 ⇒ y = 14/5 loại x = ta có: (5y + 2) = 16 ⇒ y = 6/5 loại x = ta có: (5y + 2) = 16 ⇒ y = 2/5 loại x = ta có: (5y + 2) = 16 ⇒ y = x = 17 ta có: 16 (5y + 2) = 16 ⇒ y = - 1/5 loại Kết luận: Cặp số nguyên dương cần tìm (9;0) Bài 7: a Những tam giác có cạnh NC: ∆ NCI; ∆ NCP; ∆ NCK; ∆NCB b Những góc có đỉnh N: ∠ANC, ∠ANB, ∠ANP ∠BNP, ∠BNC, ∠PNC c Ta có tia PM PN nằm hai tia PB PC Nên ∠BPM + ∠MPN + ∠NPC = ∠BPC = 1800 Mà ∠BPM = 600 ; ∠MPC = 500 Suy ra: ∠MPN = 1800 - 600 - 500 = 700 Ta thấy: ∠MPN ≠ ∠NPC Nên PN phân giác góc MPC ĐỀ SỐ 56 Hãy khoanh tròn chữ a, b, c d câu Bài 1: Cho số nguyên m n: a m + n = |m| + |n| với m n b m + n = |m| + |n| với m n dấu c m + n = |m| + |n| với m n trái dấu d m + n = |m| + |n| với m n dương Bài 2: Biết x ; tìm x: 10 63 10 a b c d 25 21 1 1 Bài 3: Kết tổng A = − − − − − là: 10 90 72 81 1.0 0.5 điểm 2.0 2.0 0.5 0.5 1.0 Tuyển tập đề thi HSG Toán b d c 10 Bài 4: Chứng minh :A = (2005 +2005 + + 200510)⋮ 2006 Bài 5: Tìm hai số ngun dương biết tích hai số gấp đơi tổng hai số a 32 Bài 6: So sánh số: 22 Bài 7: Tìm x biết: 4|x - 5| + |3x - 4| +12 = Bài 8: Cho điểm O đường thẳng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy vẽ tia Oz cho góc xOz nhỏ 900 a Vẽ tia Om; On phân giác góc xOz góc zOy b Tính số đo góc nhọn hình số góc mOz 300 ĐÁP ÁN Bài 1: Chọn câu d: Bài 2: Chọn câu a: Bài 3: Chọn câu d: Bài 4: Ta có: A = (2005 +20052 + + 20059 + 200510) = = 2005 (1 + 2005) +20053 (1 + 2005)+ + 20059 (1+ 2005) = 2006 (2005 + 20053 + + 20059 ) ⋮ 2006 điểm điểm điểm điểm Vậy A ⋮ 2006 Bài 5: Gọi số nguyên dương phải tìm a b Ta có: (a + b) = ab (1) Do vai trò a b nhau; ta giả sử a< b nên a + b < 2b Do (a + b) < 4b (2) Từ (1) (2) suy ra: ab < 4b Chia vế cho b > ta a ≤ Thay a = vào (1) ta 2b + = b loại Thay a = vào (1) ta + 2b = 2b loại Thay a = vào (1) ta + 2b =3 b ⇒ b = Thay a = vào (1) ta + 2b =4 b ⇒ b = Vậy có cặp số thoả mãn 6; Bài 6: điểm 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm Ta có 32 = 38 = > 84 = 212 > 210 Từ đó: 23 23 23 10 9 > 2 = 22 = > 32 = 32 32 1.0 1.0 32 Suy ra: 23 > 32 Bài 7: Khơng tìm x vế trái ln lớn với x Bài 8: 82 điểm điểm Tuyển tập đề thi HSG Tốn a Vẽ hình (1đ) m x z n O y 0.5 b Vì Om phân giác góc xOz nên ∠xOm = ∠mOz = 1/2∠xOz mà ∠mOz = 300 Suy ra: ∠xOm = 300 ∠xOz = 600 + góc ∠xOz ∠zOy kề bù nên ∠xOz = ∠zOy = 1800 Suy ra: ∠zOy = 1800 - ∠xOz = 1800 - 600 = 1200 + Vì On phân giác góc zOy nên ∠zOn = ∠nOy = 1/2 ∠zOy = 1/2 1200 = 600 Kết luận: ∠xOm = 300 ∠xOm = ∠nOy = 600 0.5 0.5 0.5 ĐỀ SỐ 57 Khoanh tròn chữ a,b,c,d câu Bài 1: Cho số nguyên m n: a m n = |m| |n| vói m n b m n = |m| |n| với m n dấu c m n = |m| |n| với m n trái dấu d m n = |m| |n| với m n âm Bài 2: Với a số nguyên: a a a3 Tổng: + + số nguyên Khẳng định là: a Đúng b sai Bài 3: Qua ba điểm A,B,C ta có: a AB + BC = AC c AB + BC ≥ AC b AB + BC > AC b AB + BC ≤ AC Bài 4: Chứng minh rằng: 1 1 A = + + + + 99 < 3 3 Bài 5: Tìm số nguyên tố p cho số p + p + Cũng số ngun tố Bài 6: Tìm ssó tự nhiên nhỏ có tính chất sau: Số chia cho dư 1; chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 13 Bài 7: Tìm x biết: |x- 1| = 2x + Bài 8: Cho đoạn thẳng Ab = 7cm Điểm C nằn Avà B cho AC = 2cm Các điểm D,E theo thứ tự trung điểm AC CB Gọi I trung điểm DE tính DE CI ĐÁP ÁN Bài 1: Chọn câu a: Bài 2: Chọn câu b: Bài 3: Chọn câu c: điểm điểm điểm 83 Tuyển tập đề thi HSG Toán Bài 4: 1 1 Ta có: 3A = + + + + + 98 3 3 Nên 3A - A = - 99 1 1 Hay 2A = - 99 ⇒ A = − < 99 2 Vậy A < ẵ Bài 5: Số p có dạng 3k; 3k + 1; 3k + với k ∈ N * Nếu p = 3k p = ( p số nguyên tố) Khi p + =5; p + =7 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k +3 chia hết cho lớn nên p +2 hợp số trái với đề Nếu P = 3k +2 p +4 = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số; trái với đề Vậy p = giá trị phải tìm Bài 6: Gọi x số phải tìm x + chia hết cho 3; 4; 5; nên x +2 bội chung 3; 4; 5; BCNN (3,4,5,6) = 60 nên x + = 60n Do x = 60n - (n = 1,2,3 ) Do x số nhỏ có tính chất x phải chia hết cho 13 Lần lượt cho n = 1,2,3 ta thấy đến n = 10 Thì x = 598 chia hết cho 13 Số nhỏ cần tìm 598 Bài 7: |x - 1| = 2x + ta có: x - = 2x + x - = -(2x + 3) * x - = 2x +3 2x - x = -1 - x=-4 * x - = -(2x + 3) x + 2x = -3 + x = -2/3 Vậy x = -4; x = -2/3 Bài 8: điểm 0,5 0.5 0.5 0.5 điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 điểm 0.5 0.5 0.5 điểm 84 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Vẽ hình A D C I E B 0.5 + Ta có: AC + CB = AB ( C nằm AB) nên CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + Vì D E nằm A,B nên AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (vì D trung điểm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (vì E trung điểm BC) Vậy DE = - - 2,5 = 3,5 (cm) + Vì I trung điểm DE Nên DI = 1/2 DE = 1/2 3,5 = 1,75(cm) Suy AI = AD + DI = + 1,75 = 2,75 + Ta thấy AD < AC < AI nên (nằm D I) nên DC + CI = DI Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - = 0,75 (cm) Kết luận: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ĐỀ SỐ 58 Đề Olimpic huyện năm học 2005 2006 (Thời gian làm 120 phút) 20 27 − 915 25 29.125 − 39 1519 Bài Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; có số dư Bài Một Đồn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, không thiếu người thuyền Đoàn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ? Bài Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ? Bài Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 Bài Thực phép tính: HƯỚNG DẪN Bài (4 điểm) Thực phép tính: 20 27 − 915 25 20 27 − 30 518 = = 29.125 − 39 1519 29 518 − 310 319 519 = 29 20 − 331 518 29 518 (5 − ) = = (Mỗi bước đ) 29 518 − 29 519 29 518 (7 − 5) Bài (5 điểm) Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; có số dư Theo suy ra: (359** - 1) chia hết cho BCNN (5; 6; 7); BCNN (5; 6; 7) = 210 (1 đ) Hay 359ab = 35700 + 200 + ab (a; b ∈ N; ≤ a; b ≤ 9) (1 đ) (1 đ) => 359ab - = 210 170 + 199 + ab 85 Tuyển tập đề thi HSG Toán => 199 + ab chia hết cho 210 => ab = k 210 - 199 (k ∈ N ) (1,5 đ) k = => ab = 11 Vậy số cần tìm 35911 (1,5 đ) Bài (4 điểm) Một Đoàn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách khơng thừa, khơng thiếu người thuyền Đồn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ? Giả sử thuyền chở 30 người 11 thuyền chở được: 30 11 = 330 (người) (1 đ) Nên số thuyền người lái chở 24 người / thuyền (330 - 300): (30 - 24) = (thuyền) (1 đ) Giả sử thuyền có người láI, số người láI thuyền là: 11 = 22 (người) (1 đ) Nên số thuyền người láI chở 30 người là: 22 -19 = (thuyền) Suy số thuyền người láI chở 30 người / thuyền là: 11 - (3 + 5) = (thuyền) (1 đ) Bài (4 điểm) Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ? Nhận xét: Số a có n chữ số khi: 10 n −1 ≤ a ≤ 10 n (1 đ) Ta thấy: 50 = 216 34 = 216 ( ) = 216 512 128 (1) (0,5 đ) 1016 = 216 516 = 216 (5 ) Từ (1) (2) suy ra: 50 < 1016 = 216 625 ( 2) (0.5 đ) Mặt khác: 50 = 215 35 = 215 (2 ) = 215 128 (3) (0,5 đ) 15 15 15 15 15 10 = = (5 ) = 125 ( 4) 15 50 Từ (3) (4) suy ra: (0.5 đ) 10 < 50 15 50 16 Vậy ta có: 10 < < 10 ; Nên số có 16 chữ số viết hệ thập phân (1đ) Bài (3 điểm) Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 Ta có: 77 = 777777.1045 +777777 1039+ + 777777 103+777 (0.5 đ) 51 chu sô = 777777(1045 + 1039 + + 103) + 777 Suy ra: 77 chia cho 777 777 dư 777 (0.5 đ) (0.5 đ) 51 chu sô Đặt 77 = A ; 777 777 = B; 1045 + 1039 + + 103 = C (0.5 đ) 51 chu sơ Ta có A = B.C + 777 hay A - B C = 777 Từ ước chung A B ước 777 Mặt khác 777 ước số A B (0.5 đ) ( A = 777.(1048 +1045 + + 1); B = 777 1001) Vậy 777 ƯCLN A B (0.5 đ) ĐỀ SỐ 59 Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số abc , biết rằng: b = ac abc − cba = 495 1978.1979 + 1980.21 + 1958 Bài 2: a)Tính nhanh: 1980.1979 − 1978.1979 52.611.162 + 62.126.152 b)Rút gọn: 2.612.104 − 812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số 6n + 99 3n + a)Có giá trị số tù nhiên b)Là phân số tối giản 86 Tuyển tập đề thi HSG Toán n 11 + + + + n +1 + + 12 với n ∈ N Chứng minh A < 5 5 16 Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 a) Chứng minh tia Ot nằm hai tia Oy Oz b) Chứng minh tia Ot tia phân giác góc zOy Bài 4: Cho A = HƯỚNG DẪN Bài 1: Ta có abc − cba = (100a + 10b + c ) − (100c + 10b + a ) = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 99a − 99c = 99(a − c ) = 495 ⇒ a − c = 495 : 99 = Vì b = ac ≤ b ≤ mà a - c = Nên ta có: Với a = ⋮ c = b2 = 9.4 = 36 ⋮ b = (Nhận) Với a = ⋮ c = b2 = 8.3 = 24 ⋮ giá trị b Với a = ⋮ c = b2 = 7.2 = 14 ⋮ khơng có giá trị b Với a = ⋮ c = b2 = 6.1 = ⋮ khơng có giá trị b Bài 2: a) 1978.1979 + 1980.21 + 1958 1978.1979 + 1979.21 + 21 + 1958 = 1980.1979 − 1978.1979 1979.(1980 − 1978) 1979.(1978 + 21) + 21 + 1958 1979.(1978 + 21 + 1) = = 1979.2 1979.2 1979.2000 = = 1000 1979.2 ( ) ( ) ( )( ) 52.611.162 + 62.126.152 52.(2.3) 24 + (2.3) 22.3 (3.5) = 12 2.612.104 − 812.9603 2.(2.3) (2.5) − 34 26.3.5 11 2 ( ) 3n + 3n + 52.219.311 + 214.310.53 52.310.214 25.3 + 25.3 + = 17 12 11 18 = 17 11 = ( ) − − 2 5.3.12 b) 32.3 + 96 + 101 = = = 8.15.12 120.12 1440 6n + 99 6n + + 91 2(3n + ) + 91 2(3n + ) 91 91 Bài 3: Đặt A = = = = + = 2+ 3n + 3n + 3n + 3n + a) Để A số tù nhiên 91⋮ 3n + ⋮ 3n + ước 91 hay 3n + thuộc {1; 7; 13; 91} Với 3n + = n = -1 Loại n số tù nhiên Với 3n + = n = Nhận A = + 13 = 15 Với 3n + = 13 n = Nhận A = + = Với 3n + = 91 n = 29 Nhận A = + = b) Để A phân số tối giản 91 không chia hết 3n + hay 3n + không ước 91 Suy 3n + không chia hết cho ước nguyên tố 91 Từ suy ra: 3n + khơng chia hết cho suy n ≠ 7k +1 87 Tuyển tập đề thi HSG Tốn 3n + khơng chia hết cho 13 suy n ≠ 13m + Bài 4: Xét A = n 11 + + + + n + + 11 Suy ra: 5 5 n 11   n 11  1 A = A − A =  + + + + n + + 11  −  + + + + n +1 + + 12  5  5 5 5  5 5 1 1 11 A = + + + + n + + 11 − 12 5 5 5 11 A = B − 12 Với 1 1 + + + + n + + 11 5 5 1 1 511 − 11 512 − − ⇒ B = + + + + + n −1 + + 10 ⇒ A = − = 5 5 4.511 512 4.512  1 1 1   1 ⇒ B = B − B =  + + + + + 10  −  + + + + n + + 11   5 5 5   5 511 − 511 − ⇒ B = − 11 = 11 ⇒ B = 5 4.511 Bài 5: Hình vẽ B= t y z 970 x' 540 400 x O a)Theo đề ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm hai tia Ox Oy Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm hai tia Ot Ox Vậy tia Ot nằm hai tia Oz Oy b)Theo câu a ta có tia Ot nằm hai tia Oz Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy Vì tia Ot nằm hai tia Ox Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 430 ( góc xOt = 970 góc xOy = 1400) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 430 ( góc xOt = 970 góc xOy = 540) Suy góc tOy = góc zOt = 430 Vậy tia Ot tia phân giác góc zOy ĐỀ SỐ 60 Phòng GD huyện Ngọc Lạc Trường Cao Thịnh năm 2006 2007 Thời gian làm bài:120 phút Bài (4 điểm) : Tính giá trị biểu thức : a/ A = + (-2) +3 + (-2) + + 2003 + (-2004) + 2005 b/ B = - + 13 - 19 + 25 - 31 + (B có 2005 số hạng) Bài 2(5 điểm) : a/ Chứng minh : C = ( 2004 + 2004 + 2004 + +2004 10 ) chia hết cho 2005 88 Tuyển tập đề thi HSG Tốn b/ Tìm số ngun n cho n + chia hết cho n + Bài 3(4 điểm) : Tìm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư ; chia cho dư chia hết cho 13 Bài 4(2 điểm) : Tìm x số nguyên biết : x − + x − = Bài (5 điểm): Cho đoạn thẳng AB = cm ; điểm C nằm A b cho AC = cm ; điểm D, E theo thứ tự trung điểm AC CB ,Gọi I trung điểm DE.Tính độ dài DE CI ĐÁP ÁN Bài : a/ A = + (-2+3) + (-3+4) + + (-2002+2003) + (-2004 + 2005) = 1+ + + + 1+ + ( có 1002 số hạng) = 1003 b/ B = – +13 – 19 + 25 – 31 + (B có 2005 số hạng) = +C C = (-7+13) + (-19+25) + (-31+37) + (C có 1002 cặp) =6 + 6+ + = 6012 Vậy B = 6013 Bài : a/ C = (2004 + 20042) + (20043+20044) + +( 20049+200410) = 2004.2005 + 20043.2005 + + 20049.2005 = 2005.( 2004 +20043+ + 20049) ⋮ 2005 n+4 b/ n + = (n + 1) + ⇒ = 1+ ∈Z n +1 n +1 ⇔ ∈ Z ⇔ n + ∈ Ư(3) = { ± 1;±3 } n +1 Vậy n ∈ {-4;-2;0;2} Bài : Gọi số phải tìm a (a nguyên dương) Theo gt : chia cho dư 1, chia cho dư ,chia cho dư ,chia cho dư suy a +2 chia hết cho 3,4,5,6 BCNN(3;4;5;6) = 60 suy a+2 ⋮ 60 hay a = 60k -2 (k ∈ N) Mặt khác a ⋮13 suy 60k -2 ⋮13 hay 8k-2 ⋮13 Do a nhỏ suy k nhỏ nhất.Vậy 8k-2 = 78 ⇒k = 10 suy a = 598 Bài : x − + x − = Nếu x ≥ : x-5+x-5=0 ⇔ x=5 (TM) Nếu x … > > >…> (2) 41 42 60 61 62 80 1 1 1 1 Ta có + + ….+ + + + +….+ + 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 + = (3) + = + = = 60 80 12 12 Từ (1) , (2),...Hoàng Hà - Đinh Th Hoài Thương 60 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (Có đáp án) Tuyển tập đề thi HSG Toán ĐỀ SỐ Thời gian làm 120 phút Câu : (2 điểm) Cho biểu thức A... Tuyển tập đề thi HSG Tốn (n + 1).n có chữ số Suy n+1 < 74 ⇒ n = 37 n+1 = 37 37.38 +) Với n= 37 = 703 ( loại) 36. 37 +) Với n+1 = 37 ( thoả mãn) = 66 6 Vậy n = 36 a =6 Ta có: 1+2+3+… + 36 = 66 6 Bài :