SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Mơn: Tốn 10 Năm học: 2012 – 2013 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/4/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: a) Giải bất phương trình b) Giải hệ phương trình x x 2(2 x) x x xy y 10 y (1) x y 6(2) x m y ( x my ) Câu 2: Tìm tất giá trị tham số m để hệ sau có nghiệm: x y xy Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho I 2; đường thẳng d1 : x y 0; d : x y Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I cho (C) cắt d1 A B , cắt d C D thỏa mãn AB CD 16 AB.CD Câu 4: a) Cho tam giác ABC có BC a, AC b, AB c Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM b Tính tỷ số cosA AL c b) Cho số thực a b thõa mãn: 2 a 1 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 16 a b Câu 5: Cho f x x ax b với a, b số nguyên Biết tồn số nguyên đôi phân biêt m, n, p mà m, n, p cho f (m) f (n) f ( p) Tìm tất số a; b Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TĨNH MƠN TỐN 10 Năm học 2012 – 2013 Câu a) giải bất ptrình x x 2(2 x) x 1 2 Bpt x x x x 4(2 x 1) x Điều kiện: x x 2x 2x x x 2 x 1( vế dương ) x 1 2x 2x x 2 2 2 x x x Đối chiếu đk ta có nghiệm bất phương trình x x xy y 10 y (1) b) Giải hệ x y 6(2) Điều kiện: x Ta thấy ( x; y ) = (0; ) nghiệm Từ (1 ) x Từ (2 ) ta có +nếu x > y y y x xy y y 10 y (1)vn hêvn + x < y (1)vn ( tương tự cm ) hệ Vậy x = thay vào (2 ) ta dễ dàng có y =1 hệ dã cho có nghiệm ( x : y) = ( ; ) x m y ( x my ) x y xy Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ sau có nghiệm : my y m 0(1) x xy my m Hệ cho x yx y 0(2) x xy y Gọi f ( y ) = my -y + m y 0(3) y 4(4) Hệ có nghiệm (1) có nghiệm y thõa mãn : y y +)nếu m = hệ có nghiệm (x ; y ) = ( ; ) m thõa mãn ++)nếu : ý ac = m > nên khơng thể có nghiệm trái dấu 4m 1 Thợp 2: ( 1) có nghiệm x1 ; x 0m 0 m 0 s Thợp 3: (1) có nghiệm x1 ; x 4 4 mf (4) KL : hệ có nghiệm m S ( khơng có chương trình sách giáo khoa ) ta đặt y = t+4 đưa pt ẩn t có nghiêm t1 ; t ) ( Chú ý : Nếu để tránh định lý đảo dấu tam thức bậc hai xét ThuVienDeThi.com Câu Trong mặt phẳng 0.xy cho I( ;4 ) đường thẳng d1 : x y 0; d : x y Viết phương trình đường trịn ( C ) có tâm I cho ( C ) cắt d1 A B , cắt d C D thõa mãn AB CD 16 AB.CD Giải : ( Bạn đọc tự vẽ hình ) ta có d I ;d 442 5 d I ;d 21 442 Gọi H K trung điểm AB CD ta có : AB= 2AH = R d1 R Goi R bán kính đường tròn CD = 2CK = R d 2 R 36 Điều kiện đề R2 92 361 R2 trở thành : R 25R 200 R 144 21 21R 184 R 128 92 361 Ta có phương trình đường tròn : x 22 y 42 21 Câu (Bạn đọc tự vẽ hình ) 1.Cho tam giác ABC có BC =a , CA = b, AB = c.Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL Tính CM 52 AL b cosA c Giải: Gọi H = AL CM Vẽ MK // AL Ta dễ dàng nhận thấy tam giác CAM cân A nên CA = AM = MB c= 2b hay Ta có HL = b c 1 MK AH AL= AH Áp dung công thức trung tuyến ta có CM = 2(b a ) c a b 4 Áp dụng Pi ta go ta có: AH b CH b CM b (a b ) 9b a a2 b2 23 a2 b2 CM a 52 52 Nên 52 2 AL 9b a 16 9b a 3 b Áp dụng định lý cos tam giác ABC ta có: 23 a 5 5 2 2 1 b c a 5b a 3 b Cos A = 4 2bc 4b b Nhận xét: đáng không nên câu : “ tính ” kết ‘tầm thường” c Cho số thực a b thõa mãn: ( 2+a )(1+b ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16 a b Giải: Đặt 2b = x Điều kiện toán trở thành : ( 2+ a) ( 2+x ) = 9.Ta cần tìm Min P = 16 a 16 x Theo bất đẳng Co si : a 2a 2+2 a 4a 16 a (a 2) Cũng theo Co si 16 a 16 x (16 a )(16 x ) 24 5 a 5 x =2 25 20a x 16 (a 2)( x 2) 24 25 20.2.3 16.9 17 ThuVienDeThi.com a x Vậy Min P = 17 b a 2 Câu Cho f (x ) = x ax b với a,b số nguyên Biết tồn số nguyên đôi phân biêt m,n,p mà m, n, p cho f (m) f (n) f ( p) Tìm tất số (a;b) Dấu “ = “ xẩy x ax b 0(1) x ax b 0(2) Giải: Xét phương trình f ( x) 7(*) Theo đề (*) có nghiệm ngun Nên ta suy (1) (2 ) phải có nghiệm nguyên ( dễ thấyNếu pt có nghiệm nguyên nghiệm nguyên ) a 4b 28 m số phương Khơng tính tổng qt giả sử 2 a 4b 28 n m> ,n > mn mn m 15 m (m n)(m n) 56 m n 28 n 13 n m n 14 1 Th1: (m;n ) = ( 15; 13) Khi nghiệm (1) x1 a 15, x a 15 nghiệm 2 1 (2) x3 (a 13); x (a 13) 2 Do x1 x3 x x tồn giá trị nguyên đôi phân biêt m,n,p mà m, n, p a 15 a 13 9 a 13 1 a 15 9 Th2: (m ; n ) = ( 9;5 ) Khi nghiệm (1) x1 a 9, x2 a 9 nghiệm 2 1 2 Do x1 x3 x x tồn giá trị nguyên đôi phân biêt m,n,p mà m, n, p (2) x3 (a 5); x (a 5) a 11 a 13 a 9 Do x i Z a số nguyên lẻ a5 1 7a9 a 2 9 Thử trực tiếp Ta có cặp (a;b ) sau (a;b) = (11;17 ) ứng với với x 11x 17 có nghiệm nguyên 1;3;8 thõa mãn toán (a;b ) = ( 7;-1) ứng với với x x có nghiệm nguyên 1;6;8 thõa mãn toán Cặp ( a; b ) = ( 9;7 ) ứng với với x x có nghiệm nguyên 2;7;9 thõa mãn toán căp (a;b ) = ( 13;29) ứng với với x 13x 29 có nghiệm nguyên 2;4;9 thõa mãn toán ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TĨNH MƠN TỐN 10 Năm học 2012 – 2013 Câu a) giải bất ptrình x x 2(2 x) x 1 2 Bpt x x x x... nguyên 1;3;8 thõa mãn toán (a;b ) = ( 7;-1) ứng với với x x có nghiệm nguyên 1;6;8 thõa mãn toán Cặp ( a; b ) = ( 9;7 ) ứng với với x x có nghiệm nguyên 2;7;9 thõa mãn toán căp (a;b ) =... x xy y 10 y (1) b) Giải hệ x y 6(2) Điều kiện: x Ta thấy ( x; y ) = (0; ) nghiệm Từ (1 ) x Từ (2 ) ta có +nếu x > y y y x xy y y 10 y (1)vn