Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn: Toán 10 năm học: 2012 – 201329644

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Mơn: Tốn 10 Năm học: 2012 – 2013 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/4/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: a) Giải bất phương trình b) Giải hệ phương trình x  x   2(2  x) x   x  xy  y 10  y (1)   x   y   6(2)  x  m  y ( x  my ) Câu 2: Tìm tất giá trị tham số m để hệ sau có nghiệm:  x  y  xy  Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho I 2;  đường thẳng d1 : x  y   0; d : x  y   Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I cho (C) cắt d1 A B , cắt d C D thỏa mãn AB  CD  16  AB.CD Câu 4: a) Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM b   Tính tỷ số cosA AL c b) Cho số thực a b thõa mãn: 2  a 1  b   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  16  a   b Câu 5: Cho f x   x  ax  b với a, b số nguyên Biết tồn số nguyên đôi phân biêt m, n, p mà  m, n, p  cho f (m)  f (n)  f ( p)  Tìm tất số a; b  Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TĨNH MƠN TỐN 10 Năm học 2012 – 2013 Câu a) giải bất ptrình x  x   2(2  x) x  1 2 Bpt  x  x x   x   4(2 x  1)  x   Điều kiện: x       x  2x   2x    x  x   2 x   1( vế dương ) x 1   2x   2x     x  2 2 2 x   x  x  Đối chiếu đk ta có nghiệm bất phương trình x    x  xy  y 10  y (1) b) Giải hệ   x   y   6(2) Điều kiện: x   Ta thấy ( x; y ) = (0; ) nghiệm Từ (1 )  x  Từ (2 ) ta có +nếu x >  y   y  y  x  xy   y  y 10  y  (1)vn  hêvn + x <  y   (1)vn ( tương tự cm )  hệ Vậy x = thay vào (2 ) ta dễ dàng có y =1 hệ dã cho có nghiệm ( x : y) = ( ; )  x  m  y ( x  my ) x  y  xy  Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ sau có nghiệm :   my  y  m  0(1)  x  xy  my  m Hệ cho     x  yx  y  0(2)  x  xy  y  Gọi f ( y ) = my -y + m  y  0(3)  y  4(4) Hệ có nghiệm  (1) có nghiệm y thõa mãn :   y  y    +)nếu m = hệ có nghiệm (x ; y ) = ( ; )  m  thõa mãn ++)nếu  : ý ac = m > nên khơng thể có nghiệm trái dấu    4m  1 Thợp 2: ( 1) có nghiệm x1 ; x    0m 0  m  0  s Thợp 3: (1) có nghiệm x1 ; x  4    4   mf (4)  KL : hệ có nghiệm   m  S ( khơng có chương trình sách giáo khoa ) ta đặt y = t+4 đưa pt ẩn t có nghiêm t1 ; t  ) ( Chú ý : Nếu để tránh định lý đảo dấu tam thức bậc hai xét ThuVienDeThi.com Câu Trong mặt phẳng 0.xy cho I( ;4 ) đường thẳng d1 : x  y   0; d : x  y   Viết phương trình đường trịn ( C ) có tâm I cho ( C ) cắt d1 A B , cắt d C D thõa mãn AB  CD  16  AB.CD Giải : ( Bạn đọc tự vẽ hình ) ta có d I ;d   442  5 d I ;d 21   442 Gọi H K trung điểm AB CD ta có : AB= 2AH = R  d1  R   Goi R bán kính đường tròn CD = 2CK = R  d 2  R  36 Điều kiện đề  R2  92  361  R2  trở thành : R   25R  200 R  144   21 21R  184 R  128  92  361 Ta có phương trình đường tròn : x  22  y  42  21 Câu (Bạn đọc tự vẽ hình ) 1.Cho tam giác ABC có BC =a , CA = b, AB = c.Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL Tính CM  52 AL b cosA c Giải: Gọi H = AL  CM Vẽ MK // AL Ta dễ dàng nhận thấy tam giác CAM cân A nên CA = AM = MB  c= 2b hay Ta có HL = b  c 1 MK  AH  AL= AH Áp dung công thức trung tuyến ta có CM = 2(b  a )  c a  b  4 Áp dụng Pi ta go ta có: AH  b  CH  b  CM  b  (a  b )  9b  a a2  b2 23  a2  b2 CM a  52      52  Nên  52  2 AL 9b  a 16 9b  a 3 b   Áp dụng định lý cos tam giác ABC ta có: 23  a 5  5 2 2 1 b c a 5b  a 3 b  Cos A =    4 2bc 4b b Nhận xét: đáng không nên câu : “ tính ” kết ‘tầm thường” c Cho số thực a b thõa mãn: ( 2+a )(1+b ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16  a   b Giải: Đặt 2b = x Điều kiện toán trở thành : ( 2+ a) ( 2+x ) = 9.Ta cần tìm Min P = 16  a  16  x Theo bất đẳng Co si :  a  2a 2+2 a  4a  16  a   (a  2) Cũng theo Co si 16  a  16  x  (16  a )(16  x )  24 5  a  5  x    =2 25  20a   x   16 (a  2)( x  2)  24 25  20.2.3  16.9  17 ThuVienDeThi.com  a  x  Vậy Min P = 17  b  a   2 Câu Cho f (x ) = x  ax  b với a,b số nguyên Biết tồn số nguyên đôi phân biêt m,n,p mà  m, n, p  cho f (m)  f (n)  f ( p)  Tìm tất số (a;b) Dấu “ = “ xẩy    x  ax  b   0(1)  x  ax  b   0(2) Giải: Xét phương trình f ( x)  7(*)   Theo đề (*) có nghiệm ngun Nên ta suy (1) (2 ) phải có nghiệm nguyên ( dễ thấyNếu pt có nghiệm nguyên nghiệm nguyên )   a  4b  28  m số phương Khơng tính tổng qt giả sử  2    a  4b  28  n m> ,n > mn  mn  m  15 m   (m  n)(m  n)  56      m  n  28  n  13 n  m  n  14 1 Th1: (m;n ) = ( 15; 13) Khi nghiệm (1) x1  a  15, x  a  15 nghiệm 2 1 (2) x3  (a  13); x  (a  13) 2 Do x1  x3  x  x tồn giá trị nguyên đôi phân biêt m,n,p mà  m, n, p    a  15     a  13  9     a  13 1   a  15  9  Th2: (m ; n ) = ( 9;5 ) Khi nghiệm (1) x1  a  9, x2  a  9 nghiệm 2 1 2 Do x1  x3  x  x tồn giá trị nguyên đôi phân biêt m,n,p mà  m, n, p  (2) x3  (a  5); x  (a  5)  a     11  a  13  a   9 Do x i  Z  a số nguyên lẻ    a5 1  7a9   a 2  9   Thử trực tiếp Ta có cặp (a;b ) sau (a;b) = (11;17 ) ứng với với x  11x  17  có nghiệm nguyên 1;3;8 thõa mãn toán (a;b ) = ( 7;-1) ứng với với x  x   có nghiệm nguyên 1;6;8 thõa mãn toán Cặp ( a; b ) = ( 9;7 ) ứng với với x  x   có nghiệm nguyên 2;7;9 thõa mãn toán căp (a;b ) = ( 13;29) ứng với với x  13x  29  có nghiệm nguyên 2;4;9 thõa mãn toán ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TĨNH MƠN TỐN 10 Năm học 2012 – 2013 Câu a) giải bất ptrình x  x   2(2  x) x  1 2 Bpt  x  x x   x... nguyên 1;3;8 thõa mãn toán (a;b ) = ( 7;-1) ứng với với x  x   có nghiệm nguyên 1;6;8 thõa mãn toán Cặp ( a; b ) = ( 9;7 ) ứng với với x  x   có nghiệm nguyên 2;7;9 thõa mãn toán căp (a;b ) =...  x  xy  y 10  y (1) b) Giải hệ   x   y   6(2) Điều kiện: x   Ta thấy ( x; y ) = (0; ) nghiệm Từ (1 )  x  Từ (2 ) ta có +nếu x >  y   y  y  x  xy   y  y 10  y  (1)vn