Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm 2018-2019 có đáp án – Trường THPT Liễn Sơn

Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K thẳng hàng.. Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng.[r]

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019 MƠN: TỐN – KHỐI 10

(Thời gian làm 180 phút)

Câu (2 điểm) Cho phương trình

(m1)x 2(m1)x  m (x ẩn, m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

Câu (2 điểm) Cho phương trình

2

x  x m  Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x x12 22 x12x22 4

Câu (2 điểm) Cho phương trình

(2m1)x 2mx 1 Xác định m để phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng ( 1;0)

Câu (2điểm).Cho phương trình 2

2( 3)

x  m xm  m  (m tham số) có nghiệm 1,

x x thỏa mãn điều kiện (x1x2)(x x1 2 1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 1( 1)

Ax x  x

Câu (2 điểm) Giải phương trình: 3 2





3

3

x  x  x x  Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình





2

2

4

2

x y y x

x y y x x y

      

 

      



Câu (2 điểm) Cho tam giác



ABC Điểm M thuộc cạnh BC cho MC = 3MB, I điểm thuộc đoạn AM cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC cho điểm B, I, K thẳng hàng

Câu (2 điểm) Cho n điểm phân biệt mặt phẳng Bạn An gọi chúng A A1, 2, ,An Bạn Bình gọi B B1, 2, ,Bn (A Bi, i điểm khơng) Tính tổng vecto

1 2 n n

A B A B  A B

Câu (2 điểm) Cho tam giác



ABCvới A( 1; 3), (2;5), (4;0)  B C Xác định trực tâm H tam giác ABC

Câu 10 (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn

2 2 2

3 a b  b c  c a  Chứng minh rằng:

2 2

3

a b c

bccaab 

-Hết -

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

HƯỜNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019 MƠN: TỐN – KHỐI 10

Câu Nội dung Điểm

1 Cho phương trình

(m1)x 2(m2)x  m 0(x ẩn, m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

Bài làm

+) Với m = phương trình là:   6x 1( )

x loai

   0,5

+) Với m1 để phương trình có nghiệm : '



 8m 1

8

m

  0,5

Vậy

1 m m

      

1,0 Cho phương trình

2

x  x m  Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x x12 22 x12x224

Bài làm

Để phương trình có nghiệm '

m

    0,5

Theo viet ta có : 2

2

3

x x x x m

  



  

 0,5

Ta có: 2 2 2

x x x x  2

(3m 4) ( 2) 2(3m 4)

      

2

9m 18m m [0;2]

     0,5

Kết hợp điều kiện

3

m  ta [0; ]5

m 0,5

3 Cho phương trình

(2m1)x 2mx 1 Xác định m để phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng ( 1;0)

Bài làm

+) Xét 1

m  m phương trình là:       x x ( 1;0) 0,5

+) Xét

2

m Khi ta có :

' (m 1) 0, m     

Phương trình có nghiệm x1và

2

x m





0,5

Ta thấy nghiệm x1 không thuộc (-1; 0) Vậy để phương trình có nghiệm khoảng (-1; 0) suy : 1

2m

  



0,5

1

2

2 m

m

  



 

  



0 m  

Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (-1 ;0)

0 m

4 Cho phương trình 2

2( 3)

x  m xm  m  (m tham số) có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều kiện x1x2100 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

1( 1) Ax x  x Bài làm

Để phương trình có nghiệm: 2

(m3) m 3m 1

9

m

   0,5

Theo viet: 2

2( 3)

3

x x m

x x m m

   



   

 0,5

Ta có x1x2100  m

+) Ax x1( 2 1) x2 x x1 2(x1x2)m2 m 0,5 +) Lập bảng biến thiên hàm số

( )

f m m  m [ 8; 2]

 ta giá trị lớn A = m = 2, giá trị nhỏ A = 13

2

m

0,5

5

Giải phương trình: x33x23x2



x1



3 0 Bài làm

Điều kiện: x 1





3

3

x  x  x x  x33 (x x 1)



x1



3 0









3





3

1 2

x x x x x x

       

















1 1

x x x x x x

       



x x

 



x x x



2



x 1





        

0,5



 

2



1

x x x x

     

1

2

x x

x x

  

 

  



0,5





2

2

1

2

2 2

4

x

x x x

x

x

x x

 

    

 

 

   

 

   

  



0,5

Vậy phương trình cho có nghiệm 2 2;

6

Giải hệ phương trình





2

2

4 1(*)

2

x y y x

x y y x x y

      

 

      



Bài làm:

Điều kiện:

0

y x

  

  



0,5





2

2 xy 6y2x 4 x  y1

2

2x 4xy 2y 6y 2x x y x y( 1)

          

2

2[x (x y 1) (y 1) ] x y x y( 1)

         

2 2(y x) ( x y 1)

      

1 y x

  

0,5

Thay vào phương trình (*) ta được:

(*)(x 3x   3) x 4   x x x 7





1

3

1

x x

x x x x

 

      

     

 

2

3 x x

    , 1 0, [0; 4]

1 x

x x x x



     

 

     

 

0,5

3 21 21

( )

x

x l

  

   

  

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

3 21 21

2 x

y

  

  

    

0,5

7 Cho tam giác



ABC Điểm M thuộc cạnh BC cho MC = 3MB, I điểm thuộc đoạn AM cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC cho điểm B, I, K thẳng hàng

Bài làm

Đặt ABa AC; b AK t AC Khi đó: BK   a tb

Ta có:

4

AI  AM =3





4 ABBM ;





1

4

BM  BC  ACAB

9

16 16

AI a b

  

0,5

Mà

16 16

BI  AI AB a ba =

16a 16b

   0,5

Để điểm B,I,K thẳng hàng

7

:

16 16

m BK mBI a tb a b

7 16

16

3

16

m

m m

t t



   

 

 

  

   

 

 

Suy ra:

7

AK  AC Vậy điểm K thuộc đoạn AC cho

7

AK  AC

0,5

8 Cho n điểm phân biệt mặt phẳng Bạn An gọi chúng A A1, 2, ,An Bạn Bình gọi B B1, 2, ,Bn (A Bi, i điểm khơng) Tính tổng vectơ

1 2 n n

A B A B   A B Bài làm

Lấy điểm O Khi :

1 2 n n n n

A B A B   A B  A OA O  A OOB OB  OB Vì



A A1, 2, ,An

 

 B B1, 2, ,Bn



nên

1,0

1 n n

OB OB  OB OA OA  OA Do :

1 2 n n

A B A B   A B 

1,0

9

Cho tam giác



ABCvới A( 1; 3), (2;5), (4;0)  B C Xác định trực tâm H tam giác ABC

Bài làm :

Giả sử H x y( ; ) Do H trực tâm tam giác ABC nên ta có

AH BC BH AC

 

 





0,5

Ta có : AH 



x1;y3 ;



BH 



x2;y5





2; ;



 

5;3

BC   AC 0,5

Ta có hệ phương trình :



 





 



2

5

x y

x y

   

 

   

 0,5

164

2 13 31

5 25 15

31 x x y

x y

y

  

 

 

  

  

  



Vậy điểm 164; 15 31 31 H  

 

10

Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn

2 2 2

Chứng minh rằng:

2 2

3

a b c

bccaab Bài làm:

Đặt 2 2 2

; ;

x a b y b c z c a , ,x y z0 ta có

x  y z

Ta có : 2



2 2



x y z  a b c

0,5

Do ta :

2 2 2 2 2

2 2

; ;

2 2

x y z x y z x y z

a    b    c    

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :





2 2

2( )

b c  b c  y Suy :

2 2

2

a x y z

b c y

 





Tương tự ta có :

2 2 2 2

;

2 2

b x y z c x y z

c a z a b x

    

 

  0,5

Do :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a b c x y z y x y z z x y z x

b c c a a b y z x

     

       

  

2 2

1 1

( )

2 2

x y z x y z

x y z

   

      

 

2

1 1

( )

6 x y z x y z

 

      

 

= ( )( ) 1

6 x y z x y z x y z

 

       

 

0,5

9.3 3

2

  

Vậy bđt chứng minh Đẳng thức xảy khí a=b=c=1