de thi chon hoc sinh gioi cap tinh mon toan lop 12 chuyen so gd dt bac ninh nam 2015 2016

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đư

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHNĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán – Lớp 12 Chuyên

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

Câu 1 (4,0 điểm)

2 1

x y x

 



 (C) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y  x m luôn

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k 1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến

với (C) tại A và B Tìm m để 2016 2016

k k đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: x33x27x 6 (3x7) 33 x26x2

b) Giải hệ phương trình:

2

2 3

9

9







Câu 3 (3,0 điểm)

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

F

Câu 4 (6,0 điểm)

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 3P x y 2 -14 0,z  ( ) :Q x2 - 3y z16 0 và điểm M6;2;4  Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc mặt phẳng (Q) sao cho ME EF FM  2 30

b) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM.

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho dãy số ( )u n thỏa mãn điều kiện:

1

2

1

3

2014

2016 2016

n

u

u 











a) Chứng minh: ( )u n là dãy số tăng

b) Với mỗi n1,n, đặt

1 2

n n

n

u v

u 



 Chứng minh rằng với mọi n1.

1 2 n 2016

v    v v

Hết

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên

Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

1

4,0 đ

2 1

x

x

 

1

2

x không là nghiệm)

Dễ thấy đường thẳng ( ) :d y x m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m

2,0

1 2 2( 1 2) 2

k k  x x     m Vậy 2016 2016

1 2

2,0

2

Phương trình đã cho (x1)34x 5 (3x7) (33 x7)(x 1) 4x5

Đặt u x 1,v 3(3x7)(x 1) 4x5 Ta có hệ:

3

3

4 5 (3 7)

4 5 (3 7)





0,5

Vì

2

Do đó x 1 33x26x 2 x33x1(1)

0,5

Nếu x  2;2 đặt x2cos ( [0; ]) , khi đó (1) trở thành: 8cos3 6cos 1

9 9 9

  

Do đó pt (1) nhận 2 os ;2 os5 ;2 os7

làm nghiệm

1,0

Mặt khác phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm

Vậy tập nghiệm của pt đã cho là {2cos ;2cos5 ;2cos7 }

Giải hệ phương trình:

2

2 3

9

9







ĐK: x0,xy2

Ta có (1)x32x6 ln(x x29) ( y)32 y6 ln( y y9) (*)

Xét hàm f t( )  t3 2t 6ln(t t2 9),t 

2

6 '( ) 3 2

9

t



2

2

t

t



Suy ra f(t) đồng biến và liên tục trên 

Mà (*) f x( ) f( y) x y  y x2

1,0

Thay vào (2) ta được:

2

3

3

(ĐK x 32 )

Ta có

3

2 2 2 3

3

1 2

x



 

2 3

2 5

x

  .

Nên pt (3) có nghiệm duy nhất x = 3.

Vậy hệ pt có nghiệm ( ; ) (3;9)x y 

1,0

3

3,0 đ

Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có

4

x y  z  z x y  z   x y z  

2

x y z

x y z     

F

1,5

3

      

3

g t

  , t2

Lập BBT suy ra

2

1 Max ( ) (4)

12

x g t g

Vậy MaxF= 1

12 tại x y 1,z0

1,5

4

Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P) và (Q) là A3;1;2 , 5;0;7  B 

Do đó với E( ),P F( )Q thì ME EF FM  DE EF FC DC   2 30

Tìm được (28; 14 70; ), (32; 16 80; )

15 15 15 15 15 15

4.b 3,0 đ

Chọn hệ Oxy sao cho O là trung điểm BC,tia Ox là tia OC, tia Oy là tia OA.

Gọi BC=2a, d A BC( ; )h

Khi đó B a- ;0 ,    C a;0 , 0;A h

1,0

Tính được

2 2

3 ( ; ), ( ; ), (0; )

h



h

5

2,0 đ

Dùng quy nạp chứng minh đc u n    2, n * Do đó u n1 u n

Vậy ( )u n là dãy tăng (đpcm)

1,0

n

u



1 2

n

n

1,0

- Hết