Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập, củng cố và nâng cao kiến thức cho các em học sinh lớp 9 trước khi bước vào kì thi HSG môn Toán lớp 9. gửi tới các em Bộ 18 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017 2018, hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu tham khảo bổ ích. Để nắm vững nội dung chi tiết mời các em cùng tham khảo tài liệu.
18 Bộ HSG Toán Cấp Tỉnh, TP HCM – Hà Nội Năm học: 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I + 2x - x x- x x+1 , với x 0, x Rút gọn + + x x- x x + x+ x x2 - x P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên 1/ Cho biểu thức: P = 4(x + 1)x 2018 - 2x 2017 + 2x + 1 x = 2/ Tính giá trị biểu thức: P = 2x + 3x 3- 2 3+ Câu II 1/ Biết phương trình (m - 2)x - 2(m - 1)x + m = có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng ìï (x + y) (8x + y + 4xy - 13) + = ïï Giải hệ phương trình í ïï 2x + =1 ïïỵ x+ y Câu III 1/ Tìm nghiệm nguyên phương trình y2 - 5y + 62 = (y - 2)x + (y2 - 6y + 8)x 2/ Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p = a + b2 số nguyên tố p - chia hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax - by2 chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p Câu IV Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác với tâm tương ứng O, I, Ia Gọi ¼ (O) , PI cắt (O) điểm D tiếp điểm (I) với BC , P điểm cung BAC a K Gọi M giao điểm PO BC, N điểm đối xứng với P qua O Chứng minh IBIa C tứ giác nội tiếp Chứng minh NIa tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia MP · = KAI · Chứng minh DAI a Câu V : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x ³ z Chứng minh rằng: xz y2 x + 2z + + ³ 2 y + yz xz + yz x+ z SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1/ Rút gọn biểu thức: P = 109 - 36 + 109 + 36 ìï a + b3 + c3 = abc 2/ Xét số thực a, b, c thay đổi thõa mãn điều kiện ïí Chứng minh ï 2 a b c + + ù ợ a + 3b + 5c biểu thức Q = có giá trị không đổi (a + b + c) Bài 1/ Giải phương trình: x - 3x + - x- 2- 7- x = ìï x + = (3y - x)(y + 1) 2/ Giải hệ pt: ïí ïï 2y - ïỵ x- y = x- Bài 1/ Cho đa thức P(x) = x + ax3 + bx - cx + d với (a,b,c,d Ỵ ¡ ) thõa mãn P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11 Tính S = 10P(4) + P(-2) 2/ Phân tích số 16032018 thành tổng số hạng nguyên dương Gọi S tổng lập phương tất số hạng Hỏi S chia cho dư bao nhiêu? Bài 4: Cho D ABC nhọn, có AB < AC Gọi I trung điểm BC Hai đường cao BD CE tam giác cắt H Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BEI đường tròn tâm O’ ngoại tiếp tam giác CDI cắt K khác I, DE cắt BC M 1/ CMR: Tứ giác AEKD nội tiếp đường tròn ba điểm A, K, I thẳng hàng · · = ECK 2/ CMR: EMK 3/ Chứng minh ba đường thẳng EC, DB, MK đồng quy Bài 1/ Xét số thực không âm a, b, c thõa mãn a + b + c = khơng có hai số đồng thời 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + (c + 2)(3 + a + b) (a + b)(b + c) 2/ Một hình tròn chia thành 10 hình quạt hình vẽ Trên người ta đặt viên bi Nếu ta thực hện liên tục thao tác lấy hai ô ô viên bi chuyển sang ô liền kề chuyển tất viên bi không? (c + a)(a + b) SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: Cho x = ( - 1) 16 + 10 + - Tính giá trị biểu thức A = (77x + 35x + 646)2017 Bài 2: Cho đa thức P(x) Q(x) thõa mãn P(x) = Q(x) + (x2 – x + 1)Q(1-x) với " x Ỵ ¡ Biết hệ số P(x) số nguyên khơng âm P(0) = Tính giá trị Q(2017) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên (x;y) phương trình (2x – y - 2)2 = 7(x – 2y – y2 – 1) Bài 3x - + x + 17x + = x + ïì x - 3xy2 - x + = x - 2xy - y 2/ Giải hệ pt sau: ïí ïï y - 3x y + y - = y - 2xy - x ỵ 1/ Giải pt sau: Bài Cho tam D ABC M điểm nằm bên tam giác Gọi D điểm AB cho MD // BC E điểm BC cho ME // AC, F điểm AC cho MF // AB Kí hiệu SABC SDEF diện tích D ABC D DEF Chứng minh rằng: SABC ³ 3SDEF Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O có đường cao AH = OA Gọi E F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB AC Chứng minh đường thẳng EF qua trung điểm đoạn OA Bài 12 20 15 Cho số thực dương x, y, z thõa mãn + + £ Tìm GTLN biểu thức : P= x +9 + xy y + 16 yz + zx z + 25 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: Tính A = + 11 + + 11 18 - 11 æ x+ Bi 2: Cho biu thc A = ỗỗỗ + ốỗ x x - x + x + x + 1- Hãy rút gọn biểu thức A Chứng minh A < x- ÷ ÷ vi x > 0; x : ữ ữ ø x Bài Cho đường thẳng dm có phương trình y = mx + 2m – 1, với m tham số a/ Chứng minh tham số m thay đổi đường thẳng dm ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b/ Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến dm lớn Bài a/ Tìm tất số x thõa mãn: x- x- + + x+ x- + = ìï x - 2x = y ïï b/ Tìm tất số x, y, z thõa: ïí y + 2y = z ïï ïï x + y + z + + x - = ỵ Bài Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng 3m ta ruộng hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Bài · = 1500 Gọi E, F Cho hình bình hành ABCD có độ dài đường chéo AC 4, ABC chân đường cao hạ từ C đến đường thẳng AB AD Tính độ dài đoạn FE Bài Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt đường thẳng qua C song song với AB D a/ CMR: BC2 = AB.CD b/ Gọi G trọng tâm tam giác ABC; E giao điểm CG BD Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt BG F · = FAC · Chứng minh rằng: EAB SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯNG N ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài a/ Cho hai số thực a, b thõa mãn 1 CMR: + = a b 2018 b/ Cho a nghiệm dương phương trình 6x2 + a+ b = 3x - a - 2018 + b - 2018 = Tính giá trị biểu thức a+ A= a4 + a + - a2 Bài 1/ Giải phương trình: (1- 1- x ) - x = x 2/ Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thõa mãn: (x – 2018)2 = y4 – 6y3 + 11y2 – 6y Bài ìï ïï 2x + + 2y + = (x - y) a/ Giải hệ phương trình: í ïï ïïỵ (3x + 2y)(y + 1) = - x b/ Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn y + z = 3yz 4zx 5xy + + ³ CMR: x y z x Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định với OA = 2R; đường kính BC quay quanh O cho tam giác ABC nhọn Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA điểm thứ hai I Các đường thẳng AB, AC cắt (O; R) điểm thứ hai D E Gọi K giao điểm DE OA a/ CMR: AK.AI = AE.AC b/ Tính độ dài AK theo R c/ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc đường thẳng cố định Bài Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 chọn 311 số cho hai số có tổng 625 Chứng minh 311 số chọn, cungxcos số phương SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1/ Chứng minh n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với n nguyên dương 2/ Cho ba số a, b, c phân biệt Đặt : x = (a + b + c)2 – 9ab, y = (a + b + c)2 – 9bc, z = (a + b + c)2 – 9ac Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có số dương Bài 1/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: (x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13 2/ Giải phương trình: x2 x 2018 2018 Bài 1/ Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca) p, q, r ba số thỏa mãn : p + q + r = Chứng minh : apq + bqr + crp 2/ Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a b 1 a2 b2 ab Bài 1/ Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H a/ Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH; b/ Gọi I, J trung điểm AH BC Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2/ Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017 - 2018 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ỉ x+1 1/ Cho biu thc A = ỗỗỗ + ỗố x - ỉ x x - x + 1ư ữ ữ ỗỗ ữ ữ vi x 0;x : + ữ ữ ỗ ữ ữ - x ứ ốỗ x - x - 1ø x+1 a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ c/ Tìm giá trị m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thõa mãn 2x1 - 2x - + = x1x + x2 x1 x1x Bài 1/ Giải phương trình: 2x + x + + ìï x + x + = 2y 2/ Giải hệ pt: ïí ïï 3(x + x) = y - y ỵ x2 + x + = x + x (x, y Ỵ ¡ ) Bài 1/ Tìm tất cặp số nguyên (x;y) cho 3(x4 – y2) = 2(x2 – y) + 2/ Cho biểu thức B = 2018 2017 B2018 + + + + 2018 So sánh: B 16 16 16 16 Bài 1/ Cho hai đường tròn(O; 4cm) (I; 2cm) cắt tai hai điểm phân biệt A, B cho · ¹ 900 Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt đường (I) C khác A Tiếp tuyến đường OAI tròn (I) A cắt đường tròn (O) D khác A Gọi E giao điểm AB CD Gọi P, Q trung điểm AD, CD Chứng minh rằng: a/ D APQ D ABC đồng dạng b/ ED = 4EC 2/ Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm E thuộc cung nhỏ CD đường tròn (O), E khác C D Có EA cắt DB, DC M N; EB cắt CA, CD P Q Gọi G giao điểm CM DP Chứng minh rằng: GM GP NQ + + =1 EM EP CD Bài (x + y3 ) - (x + y ) Tính giá trị nhỏ biểu thức P = , x, y số thực lớn (x - 1)(y - 1) PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TP BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TP LỚP Năm học: 2017 - 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: x2 x 4 a/ Cho biểu thức M x x 8 x 10 x x 1 x : x x x x Rút gọn M tìm x để M > b/ Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab bc ca Tính H = a b b c c a 1 c 1 a 1 b Bài 2: a/ Giải phương trình 30 5 x2 x2 x x b/ Tìm số thực x để số x 3; x 3; x số nguyên x Bài 3: a/ Tìm x nguyên dương để x3 14 x2 x số phương b/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz y2 z2 Chứng minh rằng: x xyz x y z Bài 4: Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R) Trên đường tròn (O;R) lấy H kỳ cho AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R) Trên đường thẳng a lấy B C cho H nằm B C AB = AC = R Vẽ HM vng góc với OB (M OB), vẽ HN ^ OC (N OC) a/ Chứng minh OM OB = ON OC MN qua điểm cố định b/ Chứng minh OB OC = 2R2 c/ Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi Bài 5: Cho dãy số n, n + 1, n + 2, …, 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên - ... NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2 018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1/ Rút gọn biểu thức: P = 1 09 - 36 + 1 09 + 36 ìï... YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2 018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài a/ Cho hai số thực a, b thõa mãn 1 CMR: + = a b 2 018 b/... : P= x +9 + xy y + 16 yz + zx z + 25 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TỈNH Năm học: 2017- 2 018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH