Nhằm giúp các em ôn tập và củng cố lại kiến thức Toán học trước khi bước vào kì thi, giới thiệu đến các em Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2016 2017. Hy vọng đây sẽ là đề thi hay giúp các em ôn tập thật hiệu quả.
PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016 – 2017 - Môn: Toán Thời gian: 90 phút I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị x biểu thức ( x - )2 = 0,25 là: 1 9 A ; B ; C ; D ; 4 4 4 4 Câu 2: Cho góc xOy = 50 , điểm A nằm Oy Qua A vẽ tia Am Để Am song song với Ox số đo góc OAm là: A 500 B 1300 C 500 1300 D 800 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với x > Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) f(1) = Giá trị f(4) là: A B C D Câu 4: Cho tam giác ABC vuông B, AB = ,  = 30 Phân giác góc C cắt AB D Khi độ dài đoạn thẳng BD AD là: A.2; B 3; C 4; D 1; Câu 5: Cho a2m = - Kết 2a6m - là: A -123 B -133 C 123 D -128 Câu 6: Cho tam giác DEF có � E = �F Tia phân giác góc D cắt EF I Ta có: A ∆ DIE = ∆ DIF B DE = DF , � IDE = �IDF C IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C Câu 7: Biết a + b = Kết phép tính 0, a(b) 0, b(a ) là: A B C, 0,5 D 1,5 Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36 Giá trị lớn x = a.b là: A B - C D Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN Biết AC > AB Khi độ dài hai đoạn thẳng BM CN là: A BM ≤ CN B BM > CN C BM < CN D BM = CN Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x : A M ( - 1; -2 ) B N ( 1; ) C P ( ; -2 ) D Q ( -1; ) Câu 11: Biết lãi suất hàng năm tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p Nếu tiền gửi 175000 tiền lãi là: A 8850 đ B 8750 đ C 7850 đ D.7750 đ Câu 12: Cho tam giác ABC cân A,  = 20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Số đo góc BDC là: A 500 B 700 C 300 D 800 II Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm) A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 B, Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị A x = Tìm x để A = 2015 2.2 Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B trồng 120 Câu 3.(5 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB A B Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm C tia By lấy điểm D cho góc COD 900 AB a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD b) Chứng minh rằng: AC.BD 2 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh rằng: HA + HB + HC < ( AB AC BC ) Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ A, biết :A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu Đ án A C C II Phần tự luận (14 điểm) Câu 1(4 điểm) 2(4 điểm) A B D B A C 10 D Nội dung M = 75.(4 + + + +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 M100Vậy M M102 B, Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a Md, c Md Hay a = m.d c = n.d với (m,n) = Thay vào (1) ta m.d.b = n2 d2 => m.b = n2 d => b Mn2 (a,b) = 1= (b,d) Và n2 Mb => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 = x2 – 4x + 2015 A, Với x = ta A = 2015 x0 � B, A = 2015 => x2 – 4x = => x(x - 4) = ó � x4 � Gọi số ba lớp trồng a, b, c ( cây, a,b,c �N*) Theo đề ta có b : c = 1,5: 1,2 b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy lớp trồng số 2400 2017 2016 11 B 12 C Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 3(5 điểm) A, Vẽ tia CO cắt tia đối tia By điểm E Chứng minh AOC BOE g c g � AC BE ; CO EO Chứng minh DOC DOE c g c � CD ED Mà ED EB BD AC BD Từ : CD AC BD (đpcm) B, Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông BOE BOD ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 � OE OB EB � � OE OD 2OB EB DB � 2 OD OB DB � Mà OE OD DE ; Nên 0,25 DE 2OB EB DB 2OB EB DE BD DB.( DE BE ) 2OB EB.DE EB.BD DB.DE DB.BE 2OB EB.DE DB.DE BD.BE 0,5 2OB DE EB DB BD.BE 4(2 điểm) 2OB DE BD.BE Suy 2OB BD.BE � BD.BE OB AB Mà BE AC ; OB 2 �AB � AB Vậy AC.BD � � (đpcm) �2 � Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g) AD = HE; AE = HD Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) Từ HE BH ΔHBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3) Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) HA + HB + HC < BC + AC (6) Từ suy HA + HB + HC < ( AB AC BC ) đpcm � � Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| | xy + yz + zx - 2000| �0 Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| �0 Mà A = |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = x y Có: |7x – 5y| = ó 7x = 5y ó x z |2z – 3x| = ó |xy + yz + zx - 2000| = ó xy + yz + zx = 2000 x 20; y 28; z 30 � Từ tìm � x 20; y 28; z 30 � A �0, mà A = ó (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA = ó (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HC 2016 -2017 mÔN: TON (Thi gian lm bi 120 phút) A= Bài (5 điểm)a) Thực phép tính: 212.35 - 46.92 ( 22.3) + 84.35 - 510.73 - 255.492 ( 125.7) + 59.143 b) Tính giá trị biểu thức: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 17.18.19 c) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục giảm chữ số hàng đơn vị n đơn vị số có chữ số gấp n lần số có chữ số ban đầu Bài (3 điểm)a) Tìm số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z xyz = 30 x- b) Tìm x biết: 3 + = - 1,6 + Bài (3 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = b) Cho m = Tìm x biết f(3 – 2x) = 20 2) Cho đơn thức A = - 2 x yz , B = - xy2z2, C = x3y Chứng minh đơn thức A, B, C nhận giá trị âm � cắt AC D, phân giác ACB � cắt AB Bài (7 điểm)Cho D ABC nhọn có góc A 600 Phân giác ABC E BD cắt CE I a) Tính số đo góc BIC b) Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF = BE Chứng minh D CID = D CIF c) Trên tia IF lấy điểm M cho IM = IB + IC Chứng minh D BCM tam giác Bài (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n = 2n+11 BÀI HƯỚNG DẪN NỘI DUNG Ý 12 A= a 2 - ( 3) 10 12 - 25 49 - ( 125.7) + 14 ( 3- 1) ( 1- 7) A= ( 3+1) ( 1+ ) + 84.35 12 10 12 9 = 12 ĐIỂM 10 c 0.5 3 5.(- 6) 3.4 - 10 A= = b - - 212.36 + 212.35 59.73 + 59.23.73 A= (5đ) 10 4B=1.2.3.4+2.3.4.(5 – 1)+3.4.5.(6 – 2)+…+17.18.19.(20 – 16) 4B=1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + 17.18.19.20 – 16.17.18.19 4B=17.18.19.20 B = 17.18.19.5 = 29070 Gọi số có chữ số cầìm tìm abc (a, b, c STN có chữ số, a �0) Theo ta có: (a + n)(b - n)(c - n) = n.abc � 100(a + n) + 10(b – n) + (c – n) = n(100a + 10b + c) � 100a + 100n + 10b – 10n + c – n = 100an + 10bn + cn � 100(n – 1)a + 10(n – 1)b + (n – 1)c = 89n � 89n Mn – mà (89; n – 1) = nên n Mn – Tìm n = Số có chữ số cần tìm 178 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 � a x y y z x y z = ; = � = = =k � x = 8k, y = 6k, z = 5k xyz = 30 � 8k.6k.5k = 30 � 240k3 = 30 � k = ½ � x = 4, y = 3, z = (3đ) (3đ) 0.25 0.5 0.5 3 + = - 1,6 + � x + =- + 5 � x - + =1 b 1 � x= � x = hoac x = 4 Vì f(2) – f(–1) =7 � (m – 2).2 – (m – 1).(–1) = 1.a � 2m – + m – = � 3m – = � m = x- 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 Với m = ta có hàm số y = f(x) = 4x 1.b Vì f(3 – 2x) = 20 � 4(3 – 2x) = 20 � 12 – 8x = 20 � x = –1 Giả sử đơn thức A, B, C có giá trị âm � A.B.C có giá trị âm Mặt khác: A.B.C = (– ½ x2yz2).(– ¾ xy2z2) x3y = (7đ) 0.25 (1) 4 xyz x y z4 �0 x, y � A.B.C �0 x; y (2) Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) � điều giả sử sai Vậy ba đơn thức A = ẵ x2yz2, B = ắ xy2z2, C = x3y khơng thể có giá trị âm Vẽ hình đúng, ghi giả thiết, kết luận Vì A D E I B 2 C F N M 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 a b c (2đ) BD phân giác góc ABC nên B1=B2= ½ ABC CE phân giác góc ACB nên C1=C2= ½ ACB Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy 600 + ABC+ACB = 1800 � ABC+ACB = 1200 � B2+C1= 600 � BIC = 1200 D BIE = D BIF (cgc) � BIE = BIF BIC = 1200 � BIE = 600 � BIE = BIF = 600 Mà BIE + BIF + CIF = 1800 � CIF = 600 CID = BIE = 600 (đ.đ) � CIF = CID = 600 � D CID = D CIF (gcg) Trên đoạn IM lấy điểm N cho IB = IN � NM = IC � D BIN � BN = BI BNM = 1200 � D BNM = D BIC (cgc) � BM = BC B2 = B4 � D BCM Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n S = 2S – S = (2.23 + 3.24 + 4.25 + …+ n.2n+1) – (2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n) S = n.2n+1 – 23 – (23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n) Đặt T = 23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n Tính T = 2T – T = 2n-1 – 23 � S = n.2n+1 – 23 – 2n-1 + 23 = (n – 1).2n+1 � (n – 1).2n+1 = 2n+11 � n – = 210 � n = 210 +1 = 1025 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH THÀNH 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2016 – 2017 Thời gian: 120 phút khơng tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 212.35 46.92 �3 � �4 � : : a) A = � b) B = � � � (2 3) �7 11 �11 �7 11 �11 2 5x 3y x y Cho Tính giá trị biểu thức: C = 10x 3y x y y z Câu 2: (4,5 điểm)1 Tìm số x, y, z, biết: a) ; x + y + z = 92 b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = Câu 3: (3,0 điểm) Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 Cho hàm số y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a – 1; a2 + a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: � 600 IA tia phân giác DIE � a) BE = CD b) V BDE tam giác cân c) EIC Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số hữu tỉ x, cho tổng số với nghịch đảo có giá trị số nguyên Cho số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c.ĐÁP ÁN �3 � �4 � �3 �11 �4 �11 � � Câu 1: 1.a) A = � �: � �: =� � �7 11 �11 �7 11 �11 �7 11 �7 �7 11 �7 11 � � 11 � � 11 11 �3 � �4 � �3 4 � �4 � A= = � = (1) 1 � � � � � � � � � � � 7� �� 11 11 � �7 11 � �7 11 � �7 � 7� � b) B = 212.35 46.92 212.35 (22 )6 (32 ) 212.35 212.34 212.34 (3 1) = = 212.35 (3 1) (2 2.3) 84.35 212.36 (23 ) 35 212.36 212.35 B= 212.34.2 212.35.4 �x 3k 5x 3y 5(3k) 3(5k) 45k 75k 120k x y =k �� Khi đó:C = = =8 10x 3y 10(3k)2 3(5k) 90k 75k 15k �y 5k y �x y �x � � x y z �2 � 10 15 �� � Câu 2: 1.a) Ta có: � 10 15 21 �y z �y z 15 21 �5 � x y z xyz 92 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số x + y + z = 92, ta được: = 10 15 21 10 15 21 46 �x 2 � 10 �x 20 � �y � � � � �y 30 15 � � z 42 � �z �21 � b ) Ta có: (x – 1)2016 �0 (2y – 1)2016 �0 x y 2017 2016 |x + 2y – z| �0 x, y, z � (x – 1) + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 �0 x, y, z 2016 � x – 1 � 2016 � 2y – 1 Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = nên dấu "=" xảy � � � 2017 x 2y – z 0 � � � �x x 1 � � � � � � �y � �y � � z2 � � � – z � � 2 Ta có: xy + 3x – y = � x(y + 3) – (y + 3) = – � (x – 1)(y + 3) = = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x–1 –1 –3 y+3 –3 –1 x –2 y –2 –6 –4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + � a2 + a = a2 – a + � 2a = � a = b) Với a = y = f(x) = x + Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) � (2x – 1) + = (1 – 2x) + � 4x = � x = � = 90 , ABD ACE Câu ABC, A 4:GT I = BE �CD a) BE = CD b) V BDE tam giác cân KL � 600 IA tia phân giác DIE � c) EIC Đặt � A �1 900 600 900 1500 � DAC � � BAE � � DAC a) Ta có: � 0 0 � � BAE A 90 60 90 150 � Xét V DAC V BAE có: DA = BA (GT) � BAE � (CM trên) DAC AC = AE (GT) � V DAC = V BAE (c – g – c) � BE = CD (Hai cạnh tương ứng) �3 A �1 BAC � A � 3600 b) Ta có: A �3 600 900 600 3600 � A �3 1500 � A � = DAC � � A = 1500 Xét V DAE V BAE có: DA = BA (GT) � = DAC � (CM trên) A AE: Cạnh chung � V DAE = V BAE (c – g – c) � DE = BE (Hai cạnh tương ứng) � V BDE tam giác cân E �1 = C �1 (Hai góc tương ứng) c) Ta có: V DAC = V BAE (CM câu a) � E � ICE � 1800 (Tổng góc V ICE) Lại có: $ I1 E � E �1 ) (C �1 C � ) 1800 � $ I1 (AEC $ �1 C �1 600 1800 I1 600 E $ �1 = C �1 ) I1 1200 1800 (Vì E $ I1 600 �1 = E � (Hai góc tương ứng) � EA tia phân giác DEI � Vì V DAE = V BAE (Cm câu b) � E � � � (1) DAC BAE � �1 = D � (Hai góc tương ứng) � DA tia phân giác � V DAC = V DAE � D Vì � DAE BAE � � EDC (2) Từ (1) (2) � A giao điểm tia phân giác V DIE � IA đường phân giác thứ ba � V DIE hay IA tia phân giác DIE m Câu 5: Gọi x = (m, n �Z, n �0, (m, n) = 1) Khi đó: n m n m2 n x+ (1) x n m mn Để x nguyên m2 + n2 Mmn x � m2 + n2 Mm � n2 Mm (Vì m2 Mm) � n Mm Mà (m, n) = nên m = m = – *) Với m = 1: 12 n n Từ (1), ta có: x = Để x nguyên + n2 Mn � Mn hay n = �1 x x 1.n n *) Với m = – 1: (1) n n 1 Từ (1), ta có: x = Để x nguyên + n2 M(– n) � M(– n) hay n = �1 x x (1).n n m 1 1 1 hay x = �1 n 1 1 Ta có: a + 3c = 2016 (1) a + 2b = 2017 (2) Từ (1) � a = 2016 – 3c 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = � b = Khi đó: � 6c 3c 2c c 3c � 2016 � 2016 Vì a, b, c không P = a + b + c = (2016 – 3c) + +c= � 2� 2 2 � c 1 âm nên P = 2016 � 2016 , MaxP = 2016 � c = 2 2 PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 - 2016 Khi x = 1 a , với a 2014 2016 2015 x 1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số số nguyên x 1 Câu 2: (5 điểm)a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M � �F � trung điểm EF a) Chứng minh MDH b) Chứng minh EF - DE > DF - DH E a1 a2 a3 a15 5 Câu 4: (2 điểm) Cho số a1 a2 a3 a15 Chứng minh a5 a10 a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có � A 1200 Các tia phân giác BE, CF � ABC � ACB cắt I (E, F Câu 1: (5 điểm)a) Tính giá trị biểu thức P = a � CIN � 300 a) Tính số đo thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM � MIN b) Chứng minh CE + BF < BC HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 2.5 đ NỘI DUNG ĐÁP ÁN 1 a a) Tính giá trị biểu thức P = a , với a 2014 2016 2015 1 1 Thay a vào biểu thức P = 2015 2014 2015 2016 2015 1 1 1 Ta có P P 2014 2015 2015 2016 2014 2016 2016 2014 1 P P= 2014.2016 2014.2016 1007.2016 2030112 x 1 số nguyên x 1 x 1 = x 1 Điểm 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 b) Tìm số ngun x để tích hai phân số 2.5 đ x 1 x 1 2( x 1) x 1 Đặt A = 0.25 0.25 0.25 2x x 1 2( x 1) x 1 2 x 1 Để A nhận giá trị nguyên x + Ư(4) = �1; �2; �4 0.25 0.5 Suy x � 0; 2;1; 3;3; 5 2đ 3đ a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab a b 1 1 1 ab b � Suy � 1 Từ a � a b a b ab Vậy ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Gọi diện tích ba hình chữ nhật S1 , S , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng d1 , r1 ; d , r2 ; d3 , r3 theo đề ta có S1 S2 ; d1 d ; r1 r2 27; r2 r3 , d3 24 S2 S3 Vì hình thứ hình thứ hai chiều dài S1 r1 r r r r 27 � 1 3 S r2 9 Suy chiều rộng r1 12cm, r2 15cm Vì hình thứ hai hình thứ ba chiều rộng 7d S2 d2 7.24 � d2 21cm S3 d 8 3đ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy diện tích hình thứ hai S d r2 21.15 315 cm 0.25 4 0.25 Diện tích hình thứ S1 S2 315 252 cm 5 0.25 8 Diện tích hình thứ ba S3 S 315 360 cm 7 Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF � �F � a) Chứng minh MDH E 0.5 Hình vẽ đúng, xác 0.25 Vì M trung điểm EF suy MD = ME = MF 0.25 � MDE � � ∆MDE cân M � E � F � phụ với E � Mà HDE 0.25 � � HDE � Ta có MDH 0.25 MDE � �F � Vậy MDH E b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Trên cạnh EF lấy K cho EK = ED, cạnh DF lấy I cho DI = DH 0.25 Ta có EF - DE = EF - EK = KF Giả sử số nguyên dương tùy ý cho a 1, a2, a3, …, a8 với a1 a2 … a8 20 Nhận thấy với ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c b + c > a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số a1, a2, a3, …, a8 không chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì: a6 a7 + a8 + = a5 a6 + a7 + = a4 a5 + a6 + = a3 a4 + a5 + = a2 a3 + a4 + = 13 a1 a2 + a3 13 + = 21 (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử sai Do đó, số nguyên cho chọn ba số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác 0,25 0,25 0,25 0,25 a 0,5 0,75 (5,0đ) ABM = ABD (g.c.g) AM = AO (1) ACN = ACO (g.c.g) AN = AO (2) Từ (1) (2) suy AM = AN b AOM = AON (c.g.c) OM = ON (3) AOM = AMN (c.g.c) OM = NM (4) Từ (3) (4) suy OM = ON = NM Do MON tam giác Hướng dẫn: DE = AM AH (AH đường cao ABC) Vậy DE nhỏ ó AM nhỏ ó M trùng với H (1,0đ) a b a b a x y b x y a2 y b2 x 2 a b Ta có: P x y x y x y x y a2 y b2 x a b y x 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 b2 x a2 y có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ y x a2 y b2 x a a y b x ay bx a 1 x bx x x y a b b Suy y a b a b Vậy giá trị nhỏ biểu thức P a b x y a b a b Các số dương PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ 0,25 KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Bài (5 điểm ) 1.Thực phép tính: � �193 33 �� 11 �1008 1007 � �2 �7 A� �� : � � � � 193 386 �17 34 �� 1008 2016 � 25 2016 � � � � � �1 � B ( 11) 77 � �: 3.116 77 �7 � a bc ca b a cb Cho số a, b, c khác thỏa mãn: 2b 2a 2c � c �� b �� a � � 1 � � 1 � � b a � �� �� c � x 3x 1 Tính giá trị biểu thức: P � Bài (5 điểm )a) Tìm x biết: b) Tìm hình chữ nhật có kích thước cạnh số nguyên cho số đo diện tích số đo chu vi c) Tìm số nguyên dương x; y; z thỏa mãn: Bài (3 điểm) x y Cho hàm số: y f x x a) Vẽ đồ thị hàm số (1) 3 x y z 2015 x z 2017 (1) b) Gọi E F hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ (-4) , xác định tọa độ hai điểm E, F Tìm trục tung điểm M để EM+MF nhỏ Bài (6 điểm)1 Cho tam giác ABC nhọn; vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân A tam giác ABD tam giác ACE a) Chứng minh DC = BE DC BE b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến ED M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh A, M, H thẳng hàng Cho tam giác ABC vng A có AB= 3cm; AC= 4cm Điểm I nằm tam giác cách ba cạnh tam giác ABC Gọi M chân đường vng góc kẻ từ điểm I đến BC Tính MB Bài (1 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n 2 tổng: 15 n2 1 S số nguyên 16 n Cõu Đáp án biểu điểm chấm HSG môn toán năm học 2015-2016 Bài 1(5điểm ) Nội dung Điểm (3 điểm) 193 33 11 1008 1007 : a)Tính A 2016 193 386 17 34 1008 2016 25 33 11 1007 2 A : 17 34 34 25 50 2016 1007 A 1 : 2016 2015 A 1 : 2016 2016 A 2015 2016 Vậy A 2015 b ) Tính B ( 11) 77 5. : 3\ 116 77 7 1 B 2 4.112.7 5.115 11 7 11 7 11 B 11 B 11 Vậy B 11 (1,5®iểm) c b a b c a b c a b c a b c a P 1 1 1 với a,b,c 0 c b a c a c b b a a b c a c b Khi a+b+c =0 b c a P a c b c a b Khi a+b+c 0 , áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c c a b a c b a b c c a b a c b 2b 2a 2c 2(c a b) a c c b a b a c c b a b 1 2 2b 2a 2c b a c P 8 Với a,b,c 0 P =-1 a+b+c =0; P = a+b+c 0 Câu Nội dung 2® 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 1,5® 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Điểm a) a) Tìm x biết : x 3x (2 điểm) x x 1 0,5 x 3 x 0,25 x 4 0,25 4 x 3 x 10 x x 2 10 Vậy x ; 3 x b) (1,5điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm x,y (đơn vị độ dài ) (x,y N * ; x y ) Ta có diện tích chu vi hình chữ nhật : x.y 2(x+y) Theo ta có : x.y= 2(x+y) với x,y N * ; x y xy x y 0 x( y 2) 2( y 2) 4 ( y 2)( x 2) 4 Với x,y N * ta có ( y 2); ( x 2) Z y 2; x Ư(4)= 1;2;4 x-2 ; y-2 > -2 x y Ta có trường hợp sau : x 4 x 6 x 2 x 4 y 1 y 3 y 2 y 4 Có hai hình chữ nhật thỏa mãn tốn : Hình chữ nhật có kích thước 3; c) (1,5điểm) Chứng minh: x y x y chia hết cho y z y z chia hết cho z x z x chia hết cho x y y z 2015 x z x y x y y z y z z x z x 2014 z x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chia hết cho Mà 2017 không chia hết không tồn số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề Bài 3(3 điểm ) Nội dung Câu a) (1,5điểm) 0,25 Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)= x x (1) 0,5 0,25 Điểm x với x 0 1 x với x y= Cho x= y 5 , ta có điểm A(2 ;5) thuộc đồ thị hàm số(1) Cho x= -2 y 1 , ta có điểm B(-2 ;1) thuộc đồ thị hàm số (1) Đồ thị hàm số (1) hai tia OAvà OB Từ hàm số (1) ,ta có : y= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b) (1,5điểm) x với x 0 1 x với x y= Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ x= -4 0 5 nên tung đô điểm F y= 2 F (1;2) Điểm M thuộc trục tung nên hoành độ điểm M x = Ta có E,F thuộc đường thẳng y=2 Để EM+FM nhỏ M nằm E F nên M thuộc đường thẳng y=2, nên tung độ M y=2 Từ hàm số (1) ,ta có : y= Vậy điểm M (0;2) Câu Nội dung 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm (4,5điểm) a)Chứng minh DC= BE Ta có DAC = DAB+ BAC =90 + BAC tương tự BAE = 900+ BAC DAC = BAE Xét DAC BAE có AD =AB ( ABD vng cân A) AC=AE ( AC E vuông cân A) DAC = BAE (cmt) DAC = BAE(c-g-c) DC =BE ( định nghĩa tam giác nhau) Chứng minh DC BE Gọi K , N giao điểm DC với BE AB AND KNB có AND= KNB( đối đỉnh ); ADN= KBN ( DAC = BAE) 1,5® 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5® 0,25 0,25 DAN= BKN định lí tổng góc tam giác ) Mà DAN=900(( ABD vuông cân A) BKN=900 DC BE K b) Chứng minh A,H,M thẳng hàng Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI=MA Chứng minh AMB= IMC(cgc) CI=AB CI //AB Chứng minh ACI= DAE( bù BAC) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5® Chứng minh ACI= EAD (c-g-c) CAI= AED mà AED + EAH =900( AHE vuông H) CAI+ EAH=900 MAH=1800 M,A,H thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 Vì điểm I nằm tam giác cách cạnh tam giác ABC nên I giao điểm dường phân giác tam giác ABC 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5điểm) Câu Tam giác ABC vuông A nên AB2+AC2=BC2( định lý Pitago) Tính BC=5cm Chứng minh CEI= CMI (cạnh huyền- góc nhọn ) CE =CM Tương tự AE =AD; BD =BM BC BA AC Chứng minh BM 53 BM 2 cm Bài 5(1điểm ) Nội dung 0,25 0,25 0,5 0,25 Điểm 0,25 S Có (n-1) số hạng: 15 n2 1 S 1 1 16 n n 1 S n n n 2 1 1 1 1 1 Mặt khác 0,25 1.2 2.3 3.4 (n 1)n n n 1 S n n n n n 0,25 Từ (1) (2) ta có n S n Vậy S khơng có giá trị ngun với số tự nhiên n 2 0,25 TRƯỜNG THCS TAM HƯNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 3 33 2000 Câu1: (6 điểm) a) Tính ( - 81)( - 81)( - 81) .( - 81) 2003 b) Tính giá trị biểu thức : 6x2 + 5x - x thoả mãn x - =1 a b3 c Câu : (5đ) a) Cho 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c a c 2a 3ab 5b 2c 3cd 5d b) Cho tỉ lệ thức: Chứng minh : Với điều kiện mẫu thức b d 2b 3ab 2d 3cd xác định x Câu (2đ)Tìm x, y nguyên biết y Câu : (6đ) Cho MNP nhọn, MD vng góc với NP D Xác định I ; J cho MN trung trực DI, MP trung trực DJ ; IJ cắt MN ; MP L K Chứng minh : a) MIJ cân b) DM tia phân giác góc LDK c) NK MP ; PL MN d) Trực tâm MNP giao đường phân giác DLK e) Nếu D điểm tùy ý cạnh NP Chứng minh góc IMJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh NP để IJ có độ dài nhỏ Câu 5: (1đ)Tìm Giá trị nhỏ C x2 x x2 x HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM 36 Câu1: a)(3đ) Trong dãy số có - 81 = - 81 = 81-81 = 0Do tích b)(3đ)Ta có x = * x - = x = * x - = -1 x = Thay x=1 vào biểu thức ta + 5.1 - = Thay x=3 vào biểu thức ta + 5.3 - = 67 Câu 2:a)(2đ) Xác định a, b ,c a b c 5( a 1) 3(b 3) 4(c 5) 5a 3b 4c 20 = 10 12 24 10 12 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7 a b3 c Cách : = t ; sau rút a, b ,c thay vào tìm t = - tìm a,b,c a c b)(3đ) Chứng minh Đặt = k => a= kb ; c = kd Thay vào biểu thức : b d 2 2a 3ab 5b 2c 3cd 5d k 3k k 3k 0 => đpcm 3k 3k 2b 3ab 2d 3cd Câu (2đ) 5x 15 y � (5x – 3).y = 4.15 = 60 = 1.60 = 2.30 = 3.20 = 4.15 = 5.12 = 6.10 Từ suy cặp x,y Câu 4: a) Do MN trung trực DI NP trung trực DJ (1đ) => MI = MD MD = MJ => MI = MJ => ΔMIJ cân M � MDL � MLI = MLD (c.c.c) b) => MIL � � TT : MKD = MKJ (c.c.c) => MDK MJK � MJK � � MDK � � Mà MIJ cân (câu a) => MIL (1đ)=> MDL => DM tia p/g LDK � � c) CMTT câu b : PL ; NK p/g LDK ; DLK DKL => NK MP (1 đ) PL MN d) Từ câu c => trực tâm MNP giao đường phân giác DLK (1 đ) � NMP � e) * CM IMJ (không đổi) (1 đ) � * MIJ cân M có IMJ khơng đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ cạnh bên MI nhỏ Ta có MI = MD MH (MH đường vng góc kẻ từ M đến NP) Xảy dấu đẳng thức D H (1đ) Vậy D chân đường vng góc hạ từ M xuống NP IJ nhỏ M I J N Câu 5: Đặt x2 + x = t H D P có C t 3 t 6 C t 3 6t Áp dụng BĐT A B � A B Dấu = xảy A.B �0 GTNN C = 3 �x �2 PHÒNG GD & ĐT CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2014 - 2015 Mơn thi: TỐN 3 0,375 0,3 11 12 1,5 1 0,75 Câu 1.: a Thực phép tính: 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 b So sánh: 50 26 168 Câu 2.a Tìm x biết: x 2x 2x 1 b Tìm x; y �Z biết: xy x y c Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z 4x - 3y + 5z = Câu a Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x Từ áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z b Cho Chứng minh: a 2b 3c a 2b 3c � 90o ), đường cao AH Gọi E; F điểm đối xứng H qua AB; Câu Cho tam giác ABC ( BAC AC, đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng: � ; a AE = AF; b HA phân giác MHN c CM // EH; BN // FH ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 - 2013 Mơn thi: TỐN Câu Ý Nội dung Điểm a 0,5 0.25 3 3 3 điểm A = 10 11 12 53 5 5 5 100 10 11 12 �1 1 � �1 1 � 3� � 3� � 3(165 132 120 110) �8 10 11 12 � �2 � 1320 66 60 55 53 � 1 � �1 1 � 53 Câu 5( ) 5� � 5� � 100 660 0.25 100 � 10 11 12 � �2 � 1,5 A= điểm 263 263 3 3945 1881 1320 1320 53 49 1749 1225 5948 29740 100 660 3300 b 0.5 Ta có: 50 > 49 = 4; 26 > 25 = điểm 0,5 Vậy: 50 26 13 169 168 Câu điểm a điểm Nếu x >2 ta có: x - + 2x - = 2x + � x = Nếu �x �2 ta có: - x + 2x - = 2x + � x = - loại Nếu x< ta có: - x + - 2x = 2x + � x = Vậy: x = ; x = 0.25 0.25 0.25 0.25 b 1.5 điểm c 1.5 điểm a 0.5 điểm Ta có: xy + 2x - y = � x(y+2) - (y+2) = � (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1) y+2 -1 x-1 -3 X -2 Y -1 -3 Từ: 2x= 3y; 4y = 5z � 8x = 12y = 15z x y z x y 5z x y 5z 12 �1 1 1 = 1 12 15 4 12 1 � x = 12 = ; y = 12 = 1; z = 12 12 15 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x ax bx c (a �0) 5 -3 -1 -5 0.5 0.5 Ta có : f x 1 a x 1 b x 1 c � a 2a � � �� f x f x 1 2ax a b x � � ba � b � � Vậy đa thức cần tìm là: f x x x c (c số tùy ý) 2 Áp dụng: + Với x = ta có : f 1 f 0.25 0.25 + Với x = ta có : f f 1 ………………………………… + Với x = n ta có : n f n f n 1 Câu 1.5 điểm n n 1 n2 n cc 2 2bz 3cy 3cx az ay 2bx � a 2b 3c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx a2 4b 9c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0 a 4b 9c z y � 2bz - 3cy = � (1) 3c 2b x z x y z � 3cx - az = � (2); Từ (1) (2) suy ra: a 3c a 2b 3c � S = 1+2+3+…+n = f n f = b điểm 0.5 0.25 0.25 Câu điểm Hình vẽ 5đ 0.25 F A N M E B C H a điểm b điểm c điểm Vì AB trung trực EH nên ta có: AE = AH (1) Vì AC trung trực HF nên ta có: AH = AF (2) Từ (1) (2) suy ra: AE = AF � � MB phân giác ngồi góc M Vì M AB nên MB phân giác EMH tam giác MNH � � NC phân giác góc N Vì N AC nên NC phân giác FNH tam giác MNH Do MB; NC cắt A nên HA phân giác góc H tam giác � HMN hay HA phân giác MHN � � HB phân giác Ta có AH BC (gt) mà HM phân giác MHN góc H tam giác HMN MB phân giác ngồi góc M tam giác HMN (cmt) � NB phân giác góc N tam giác HMN � BN AC ( Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau) � BN // HF ( vng góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH // CM � � PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN NĂM HỌC 2013-2014 Bài ( 2,0 điểm) Tính hợp lý biểu thức sau: 5 22.10 23.6 a) 27 � 13 � b) c) 8 15 24 Bài ( 2,5 điểm) Tìm x biết: a) 3(x – 2) + = b) x c (2 x 1)7 (2 x 1)5 Bài (1,5 điểm): Ba đội chuyển khối lượng gạch Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai đội thứ ba làm xong công việc giờ, giờ, Tính số người tham gia làm việc đội, biết số người đội thứ ba số người đội thứ hai người AB BC = 15cm Tia phân giác góc C cắt AB Bài (3,5điểm): Cho tam giác ABC vuông A với AC D Kẻ DE BC (E �BC) a) Chứng minh AC = CE b) Tính độ dài AB; AC � c) Trên tia AB lấy điểm F cho AF = AC Kẻ tia Fx FA cắt tia DE M Tính DCM Bài (0,5điểm): Tìm giá trị lớn biêu thức: A = x x Câu 2,0đ - HẾT ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2013 – 2014 Nội dung 5 1 35 a ) 27 � 13 � (27 13 ) 14 8 4 4 2 2 3 3 10 23.6 c) 2 15 24 15 24 23 (5 6) 2.11 2 2 (15 ) 11 2 18 a) 3(x – 2) + = 3(x – 2) = 43(x - 2) = 5 16 x–2= x= 5 1 x 5 x 12 3 1 35 37 x 12 x 12 x = x 3 3 (2 x 1) (2 x 1) b)2 2,5đ (2 x 1)5 ((2 x 1) 1) Điểm 0,75 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 2x 1 � � 2x 1 � � � � x 1 � � 0,25 � x � � x 1 � � � �x � � 1,5đ 3,5đ Gọi số người tham gia làm việc đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba x; y; z (giờ) ĐK: x; y; z > Cùng khối lượng công việc, số người tham gia thời gian làm việc tỷ lệ lệ nghịch Theo ta có: 2x = 3y = 4z y – z = y z yz 60 1 1 4 12 y = 20, z = 15, x = 30 (thoả mãn điều kiện toán) Vậy số người tham gia làm việc đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba 30 người, 20người, 15 người Vẽ hình, ghi GT, KL : A D 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5đ BC E F M K a) C/m ACD ECD ( cạnh huyền- góc nhọn) => AC = CE (hai cạnh tương ứng) AB AB AC b) ( gt ) � AC 4 2 AB AC AB AC BC 152 � 9 16 16 25 25 AB 9.9 81 � AB 9cm AC 9.16 144 � AC 12cm c) Kẻ Cy Fx cắt K Ta thấy AC = AF = FK= CK = CE � ACK 900 C/M CEM CKM ( cạnh huyền- cạnh góc vng) � KCM � (hai góc tương ứng) � ECM 1 � � ECM � DCE � ACK � 900 450 Mà DCM 2 Xét trường hợp: + TH1 : x �2 � A x ( x 2) +TH2 : �x � A x x x + TH3 : x � A x x 2 => Với giá trị x A �2 Vậy giá trị lớn A x �2 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5đ 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Mơn: Tốn - Lớp a c a2 c2 a b2 a b a Bài 1: (2.0 điểm) Cho chứng minh rằng: a) 2 b) 2 c b b c b a c a Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng S n 1 L với n ��* Chứng 1 1 1 L n minh Sn < Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây � 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác Bài 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b AM = BC Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân A, � A 800 Ở miền tam giác lấy điểm I cho � 100 , ICB � 300 Tính � IBC AIB UBND TX PHÚ THỌ PHÒNG GD&ĐT HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS NĂM HỌC 2010-2011 Mơn: Tốn - Lớp Bài Đáp án a c chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a b a a) 2 b) 2 b c b a c a 2 a ( a b) a a c a c a a.b Từ suy c a.b , 2 = b ( a b) b c b b c b a.b a c2 a b2 c b Theo câu a) ta có: 2 � 2 b c b a c a 2 2 b c b b c b từ 2 � 2 a c a a c a 2 2 b c a c ba b2 a b a hay Vậy a2 c2 a a2 c2 a Điểm Bài 1: (2.0 điểm): Cho a) b) 0.75 0.25 0.5 0.5 Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng Sn 1 L với n ��* Chứng minh Sn < 1 1 1 L n Ta có với k số nguyên dương thì: � �1 2� � L k k ( k 1) �k k � Thay k 1, 2L n ta tổng 0.75 1 � � � � 1 sn � 1 L 1 � 2� � n n 1� � n 1� n 1 � 2 * Vì n �� nên Sn < 0.75 0.5 Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.25 Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 0.5 5.x y 3.z x x y z 59 Ta có: x y z x x y z 59 60 hay: 1 1 1 59 0.5 5 60 1 z 60 20 Do đó: x 60 12 ; y 60 15 ; 0.5 Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m) 0.25 � Bài 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC -Vẽ hình, ghi GT, KL 0.5 điểm a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) � DAC � suy DAB � 200 : 100 Do DAB A 0.5 điểm 20 M D C B b) ABC cân A, mà � ABC (1800 200 ) : 800 A 200 (gt) nên � � 600 DBC nên DBC 0.25 Tia BD nằm hai tia BA BC suy � ABD 800 600 200 Tia BM phân giác góc ABD nên � ABM 100 Xét tam giác ABM BAD có: � � � 100 AB cạnh chung ; BAM ABD 200 ; � ABM DAB Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0.25 0.25 0.25 Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân A, � A 800 Ở miền tam giác lấy điểm I cho � 100 , ICB � 300 Tính � IBC AIB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC, chứa điểm A dựng tam giác BCE Vì ABC cân A, � A 800 nên � ABC � ACB 500 � � ABE � ACE 100 điểm A thuộc miền BCE Dẽ dàng chứng minh ABE = ICB (g c g) � BA = BI � ABI cân B, ta có 0.5 E 0.5 A 0.5 � 140 700 � = 50 10 40 � AIB ABI 0 I B Hình vẽ đẹp, xác C 0.5 ... = 75 .(4 + + + +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(420 17+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(420 17+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (420 17+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 420 17+ + 42 +4) - 25(420 17+ 42016+ ... � c 1 âm nên P = 2016 � 2016 , MaxP = 2016 � c = 2 2 PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 - 2016 Khi x = 1 a , với a 2014 2016 2015 x 1 b)... +1 = 1025 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH THÀNH 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2016 – 20 17 Thời gian: