118 đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 cấp trường huyện tỉnh quốc gia các năm

Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.. a Chứng minh rằng hai số hạng liên

1 Đề HSG Toán cấp trường lần 1 năm 2019 – 2020 trường Tiên Du 1 – Bắc Ninh

2 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Nai

3 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hưng Yên

4 Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020

5 Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lâm Đồng

6 Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thái Bình

7 Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Bình

8 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Gia Lai

9 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lạng Sơn

10 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Ngãi

11 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 sở GD&ĐT Quảng Ninh

12 Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

13 Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

14 Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2020 môn Toán sở GD&ĐT Bắc Ninh

15 Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bình Định

16 Đề thi HSG Toán 12 lần 2 năm 2019 – 2020 trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc

17 Đề thi chọn HSG Toán năm 2019 – 2020 trường THPT Ngô Gia Tự – Phú Yên

18 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc

19 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Yên Bái

20 Đề thi thử HSG lần 1 Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Lý Thái Tổ – Bắc Ninh

21 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Đồng Đậu – Vĩnh Phúc

22 Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

23 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Trị

24 Đề chọn học sinh giỏi MTCT 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế

25 Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Nội

26 Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế

27 Toàn cảnh đề thi HSG môn Toán các tỉnh thành năm học 2018 – 2019

28 Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng

29 Đề chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hải Phòng

30 Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị

31 Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT Bình Phước

32 Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2020 sở GD&ĐT Khánh Hòa (vòng 1)

33 Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình

34 Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Lê Quý Đôn – Hà Nội

35 Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bến Tre

36 Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Bình

37 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Nam Định

38 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Giang

39 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh

40 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Nam

41 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Cần Thơ

42 Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT thành phố Đà Nẵng

MỤC LỤC

43 Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bến Tre

44 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh

45 Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh

46 Đề thi HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 cụm trường THPT huyện Yên Dũng – Bắc Giang

47 Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai

48 Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hưng Yên

49 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lào Cai

50 Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai

51 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lâm Đồng

52 Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 môn Toán (ngày thi thứ nhất)

53 Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng B)

54 Đề thi giao lưu HSG Toán năm 2018 – 2019 cụm Gia Bình – Lương Tài – Bắc Ninh

55 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 2)

56 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)

57 Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Gia Lai

58 Đề thi thử chọn HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 cụm Tân Yên – Bắc Giang

59 Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Ninh Bình

60 Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp cơ sở năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Điện Biên

61 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thái Bình

62 Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng A)

63 Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Tĩnh

64 Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

65 Đề thi chọn HSG thành phố môn Toán năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Phòng

66 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế

67 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Cao Bằng

68 Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc

69 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thái Nguyên

70 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Quảng Ngãi

71 Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Dương

72 Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh vòng 2 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Long An

73 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT TP HCM

74 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Ninh Bình

75 Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT Hà Tĩnh

76 Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ

77 Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT KonTum

78 Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bến Tre

79 Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn

80 Đề Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi Quốc gia 2019 sở GD và ĐT Đồng Tháp

81 Đề chọn đội tuyển dự HSG Quốc gia 2019 môn Toán sở GD và ĐT Quảng Bình

82 Đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

83 Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Nội

84 Đề thi giải toán 12 trên máy tính cầm tay cấp tỉnh năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT An Giang

85 Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Quảng Bình

86 Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh

87 Đề thi HSG Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng A)

88 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Nam Định

89 Đề thi chọn HSG THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán 12 sở GD và ĐT Hà Nam

90 Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hưng Yên

91 Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Phú Thọ

92 Lời giải và bình luận đề thi VMO 2018

93 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hòa Bình

94 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Ninh Bình

95 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thái Bình

96 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bình Phước

97 Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

98 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 THPT học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế

99 Đề thi thử HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 trường THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

100 Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường môn Toán trường THPT Chu Văn An – Gia Lai

101 Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Dương

102 Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 2)

103 Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)

104 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp trường năm 2017 – 2018 trường Lý Thái Tổ – Bắc Ninh

105 Đề thi chọn HSG Toán 12 năm học 2017 – 2018 trường THPT Lê Quý Đôn – Thái Bình

106 Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Bắc Ninh

107 Đề thi chọn đội dự tuyển thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Đồng Nai

108 Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Phòng (Không chuyên)

109 Đề thi chọn HSG lớp 12 cấp trường năm học 2017 – 2018 môn Toán trường Trần Hưng Đạo – Vĩnh Phúc

110 Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Cao Bằng

111 Đề minh họa kỳ thi chọn HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Phú Thọ

112 Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 năm học 2017 – 2018 trường THPT Đan Phượng – Hà Nội

113 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thái Nguyên

114 Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Hải Dương

115 Đề thi thành lập đội tuyển HSG Toán 12 dự thi Quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và

ĐT Bình Thuận

116 Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận

117 Đề thi chọn HSG văn hóa cấp cụm môn Toán 12 năm học 2016 – 2017 cụm THPT Lạng Giang – Bắc Giang

118 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

119 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2016 sở GD và ĐT Quảng Ninh

120 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Ninh Bình

Thời gian làm bài: 90 phút (50 câu trắc nghiệm)

a

C 2 a 3 D

32.3

y =x + x + + có đồ thị (C) và điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ a Gọi x S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của a∈ ∩ − [ 2020; 2020] để tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với một tiếp tuyến khác của (C) Tìm số phần tử của S

Trang 2/6 - Mã đề thi 132

A α> −1 B α <0 C α>1 D 0< <α 1

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=a AD, =2 ,a SA= a

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng

33.6

a

D

223



4 33

a a

chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích V của

khối lăng trụ đó theo a

Trang 4/6 - Mã đề thi 132

Câu 29: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a, có thể tích V 1 và hình cầu

có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V2 Khi đó tỉ số thể tích 1

V

2

12

V

21

Câu 33: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để phương trình ( 2 )

2 2

Câu 40: Cho hình vuông C1có cạnh bằng a Người ta chia mỗi cạnh của hình

vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có

hình vuông C2 (Hình vẽ) Từ hình vuông C2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận

được dãy các hình vuông C C C1, , , ,2 3 C n, Gọi S i là diện tích của hình vuông

AB= a AD= a SA⊥(ABCD) và cạnh SC tạo với đáy góc o

60 Gọi M là trung điểm của ,

BC N là điểm trên cạnh AD sao cho DN = Khoảng cách giữa MN và SB là a

f x =

+ Tính tổng 100 2

0

sin100

+

=

− có đồ thị là ( )C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng : d y= −1 2x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của ( )C với hai tiếp điểm tương ứng là A , B Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là H Biết O là gốc tọa độ, tính độ dài đoạn OH là

Trang 5

Câu 47: Trong không gian, cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 11 Ba mặt cầu bán kính 3, 4 và 6 có

tâm đặt lần lượt tại các đỉnh A, B và C của tam giác ABC Có bao nhiêu mặt phẳng cùng tiếp xúc với cả

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020

Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số y 1 (m2 4)x (4m 1)x2 x3, với m là tham số

a) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên

b) Tìm các số thực m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1

c) Tìm các số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 2; 1] bằng 9

+ Nếu m  1 y'  3x2 6x    3 0 x 1 không là cực đại m 1 (loại)

+ Nếu m  9, y'  3x2 74x 77, y'' 6x 74 ,x y''(1) 80 nên hàm số có cực đại tạ01

2

19 6 10 ( 10 3)1

2

x x

x x

cos (2sinx x 1) (2sinx 1)(sinx 2) 0 (2sinx 1)(sinx cosx 2) 0

Câu 3 (2,0 điểm) Một trang trại xây một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 18, 432 m 3

(tính cả thành và đáy bể), biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Chi phí xây bể được tính theo tổng diện tích của thành (mặt bên ngoài) và đáy bể với giá 800 nghìn đồng/m2 Tìm các kích thước của bể để chi phí xây bể là nhỏ nhất và tính gần đúng chi phí đó

M N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh AB và AD sao cho AM AN a

1) Chứng minh thể tích S AMCN có giá trị không đổi

2) Tính theo a khoảng cách từ C đến (SMN) Chứng minh mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định

Giải

Trang 8

1) Đặt AM m AN,  n m n  a ND m BM,  n

2 2

Câu 5 (3,0 điểm)

1) Một tổ gồm 8 học sinh là An, Bình, Châu, Dũng, Em, Fin, Giang, Hạnh sẽ cùng đi trên một chuyến bay

để dự đợt học tập, tham quan và trải nghiệm ; đại lý dành cho tổ 8 vé máy bay có số ghế là

18 , 18 , 18 , 18 , 18 , 18 , 18 , 18A B C D E F G H Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên một vé Tính xác suất để có

đúng 4 học sinh trong tổ mà mỗi bạn chọn được một vé có chữ của số ghế trùng với chữ đầu của tên mình 2) Cho n và k là hai số nguyên dương thỏa mãn n k Chứng minh rằng C C n k n k k là số chẵn

Giải 1) n( ) 8!

Chọn 4 học sinh trong 8 học sinh, sau đó phát vé có chữ số ghế trùng với chữ đầu tiên của tên học sinh thì

có 1 cách chọn

Còn 4 học sinh còn lại và phát không đúng như đề bài, giả sử các vé sắp xếp sẵn theo thứ tự là ABCD

+ Bạn có tên chữ cái B đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau:

BADC ; BCDA ; BDAC

+ Bạn có tên chữ cái C đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau:

CADB ; CDAB ; CDBA

+ Bạn có tên chữ cái D đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau:

DABC ; DCAB ; DCBA

Vậy có C84.1.9 (cách chọn) nên xác suất cần tìm là:

4

8.9 18! 64

C

2) Ta có:

x x

2 2

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

H ƯNG YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN

Th ời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (6,0 điểm)

1 Cho hàm số y x3 mx2  1 có đồ thị  C m Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng

 d :y 1 x cắt đồ thị  C m tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị  C m tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau

2 Cho hàm số  2

12

x y x





 có đồ thị  C Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của  C

với x1 x2 Tìm điểm M trên trục tung sao cho T 2MA2 MB2  2MA MB 

Câu III (5 ,0 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD 2 ,a AB BC CD a, cạnh

SA vuông góc v ới đáy Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho

2 Cho tam giác ABC vuông t ại A có  ABC 60o Đường phân giác của góc ABC c ắt AC tại I

Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC

Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

Cán b ộ coi thi không giải thích gì thêm

H ọ và tên thí sinh Số báo danh Giám th ị coi thi

Trang 12

HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO Câu I 1. Cho hàm số y x3 mx2  1 có đồ thị  C m Tìm các giá trị của tham số m để đường

thẳng  d :y  1 x cắt đồ thị  C m tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị  C m tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau

x y x





 có đồ thị  C Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 là các điểm cực trị của

 C với x1 x2 Tìm điểm M trên trục tung sao cho T 2MA2MB2  2MA MB 

 

f t a a b b  t suy ra f t  nghịch biên trên  nên f t   0 có nghiệm duy nhất

t    x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Câu II 2. Cho các số thực a b c, ,   2; 8 và thỏa mãn điều kiện abc 64 Tìm giá trị lớn nhất của

x   x ) suy ra Pmax 14  x 1,y 2,z  (loại 3 y 1,x 2,z 3)

Vậy Pmax 14  a 2,b 4,c  (và các hoán v8 ị)

Câu III 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với

CH  và là đường cao của hình thang

cân ABCD, suy ra

N

Trang 14

Câu III 2. Cho tam giác ABC vuông t ại A có ABC  60o Đường phân giác của góc ABC cắt

AC t ại I Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh

BC Cho mi ền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn

AC  h AB a IAR AB  Khi cho tam giác

ABC và n ửa hình tròn tâm I quay xung xung quanh AC thì tạo thành khối nón tròn xoay và khối

D

Trang 15

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm        x y , 1;1 , 2;2 , 3;3 

Câu VI Cho dãy  a n xác định 1 2

LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ VMO

2019 – 2020

(Lê Phúc Lữ tổng hợp và giới thiệu)

Xin cám ơn các thầy Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Văn Linh và các bạnĐoàn Cao Khả, Nguyễn Công Thành, Nguyễn Mạc Nam Trung đã chia sẻ một số nộidung để có thể hoàn tất tài liệu này

Kỳ thi chọn HSG quốc gia (viết tắt là VMO) năm nay diễn ra vào các ngày 27, 28 tháng 12/2019 Cấu trúc đề năm nay là:

Ngày thi thứ hai có một bất ngờ lớn khi xuất hiện câu biện luận hệ phương trình cũng như ý tổ hợp a quá nhẹ nhàng Các câu hệ a và tổ a xem như cho điểm hoàn toàn Cả câu hình và tổ b cũng ở mức trung bình (xây dựng mô hình khá đơn giản) Tuy nhiên, câu hệ b và tổ c quả thực là thách thức lớn, đòi hỏi phải kỹ năng xử lý tình huống tốt Nhưng nói chung, đề thi năm nay mới mẻ, đòi hỏi thí sinh vừa phải nắm chắc kiến thức, vừa phải có ít nhiều sáng tạo mới có thể làm trọn vẹn được.

Dưới đây là lời giải chi tiết, bình luận phân tích liên quan; một số nội dung có tham khảo tại group "Hướng tới VMO-TST" trên Facebook.

1

Trang 17

1 Đề thi ngày 1 (ngày 27/12/2019)

S = |a1− a2| + |a2− a3| + · · · + a2019− a1

Bài 3 (5 điểm) Cho dãy số (a n ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và

a n+2= 5a n+1− 6a n với mọi n≥ 2

a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau

b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p− 1 chia hết cho 2k+1với

mọi số tự nhiên k.

tâm H Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB.

a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A0là điểm đối xứng của A qua O Gọi

O a là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng H D0, A0O a cắtnhau tại một điểm trên(O).

b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA0 là hình bình hành Chứng minh rằng các

đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A.

Lời giải và bình luận VMO 2019-2020

Trang 18

2 Đề thi ngày 2 (ngày 28/12/2019)

Bài 5 (6 điểm) Cho hệ phương trình (tham số a):

b) Chứng minh rằng hệ có5 nghiệm khi a > 1.

Bài 6 (7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân có các đường cao AD, BE, C F với

D , E, F là các chân đường cao Đường tròn đường kính AD cắt DE, DF lần lượt tại

M , N Lấy các điểm P, Q tương ứng trên AB, AC sao cho N P ⊥AB, MQ⊥AC Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.

a) Chứng minh rằng(I) tiếp xúc với EF.

b) Gọi T là tiếp điểm của (I) với EF, K là giao điểm của DT, MN và L đối xứng với

A qua M N Chứng minh rằng(DK L) đi qua giao điểm của MN và EF.

có thứ tự (x, y, z) trong đó x, y, z là các số nguyên dương đôi một khác nhau và

1≤ x, y, z ≤ 2n Một tập hợp A các bộ có thứ tự (u, v) được gọi là “liên kết” với T nếu

với mỗi phần tử(x, y, z) ∈ T thì {(x, y), (x, z), (y, z)} ∩ A 6= ∅.

3 Lời giải chi tiết và bình luận

Bài 1 Cho dãy số (x n ) xác định bởi x1= 1 và x n+1= x n +3px n+ n

1+ 3

y n + n

y3 + 1.Theo câu a thì lim

p x n+1>

vut

được kết quả tương tự, vì thực ra định lý Stolz còn tổng quát hơn cả định lý trung bình Cesaro: Cho hai dãy số (x n ), (y n ) có y n dương, tăng, tiến tới vô cực và lim

y n = L Dấu hiệu nhận biết định lý Stolz cho câu b là khá rõ Nếu ở trên không

thực hiện đặt dãy phụ thì vẫn có thể xét hiệupx

n+1−px n Tuy nhiên, nếu ta đi theo hướng xét trực tiếp dãy x n và n2 thì hơi khó, vì khi đó không dễ để tính trực tiếp được giới hạn sau (cũng khó có thể chứng minh được tính tăng/giảm của dãy x n

< x n <p3

n2,∀n ≥ 3 và tính lim x n+1−x n

3 p

Lời giải. Nhận xét Theo BĐT Cauchy – Schwarz, ta luôn có

2 , 0,

p 2

2 )

b) Cách 1 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a1 là số nhỏ nhất Ta xét cáctrường hợp sau:

1 Nếu dãy số a1, a2, , a2019 không giảm thì tổng các khoảng cách đã cho chính

là hai lần khoảng cách giữa số đầu và số cuối, tức là

S= 2

a1− a2019

≤ 2qa21+ a2

2019≤ 2p2

2 Ngược lại, trong dãy phải có một vị trí a k với 1 < k < 2019 mà a k ≥ a k−1

và a k ≤ a k+1 (tức là đơn điệu ngược chiều) Khi đó |a k − a k−1| + |a k+1− a k| =

|a k+1− a k−1| Như thế, ta đã loại bỏ được số a k khỏi biểu thức S và ta đưa về bài

toán chỉ có 2018 số thực như sau:

Cho2018 số thực b1, b2, , b2018thỏa mãn b2

1+ b2

2+ · · · + b2

2019≤ 1 Tìm giá trịlớn nhất của

S = |b1− b2| + |b2− b3| + · · · + |b2018− b1| Suy ra

2018 .

Lời giải và bình luận VMO 2019-2020

Trang 22

i=1max{a i , a i+1} −

2019X

2019P

i=1 " i = 0 (do trong tổng ở trên có 2019dấu− và 2019 dấu +) nên trong các hệ số này, phải có ít nhất một hệ số bằng 0, vìnếu không thì vế trái là số lẻ, vô lý Không mất tính tổng quát, giả sử"2019= 0 Suy ra

S

2 ≤

2018X

i=1

" i a i ≤

2018X

2018 và a2019= 0

Nhận xét Câu a của bài toán là một gợi ý hiệu quả khi cho ba số (lẻ số) và kết quả là

2p

2 Nếu thay câu a gốc thành bài toán tìm GTLN ứng với 2020 số thì ta có thể thực

hiện ngay BĐT Cauchy-Schwarz như trên và thu được kết quả là2p

2020 Như thế thì

bài toán này có thể đổi giả thiết từ2019→ n là số nguyên dương bất kỳ Xét về bản chất

của lời giải, ở trường hợp 2019 số, ta vẫn thực hiện được tương tự trên nhưng lại không

thể chỉ ra dấu bằng theo kiểu ghép thành từng cặp đan dấu được.

Một số bài toán tương tự

1 (JBMO TST) Cho a , b, c ∈ R và a2+ b2+ c2= 21 Chứng minh rằng

|a − 2b| + |b − 2c| + |c − 2a| ≤ 7.

2 Với các số thực x1, x2, , x n thì ta có

|x1− x2| + |x2− x3| + · · · + |x n − x1| ≥ 2 max ... nguyên tố cùng

nhau Và có lẽ ý tưởng khai thác để xây dựng thành toán trong

đề thi Bài toán tương tự:

1 Chứng minh hai số hạng liên tiếp dãy Fiboacci (cũng... Bài toán thực cách phát biểu khéo léo, che giấu chất

vấn đề định lý Mantel – Turan Quan hệ “khơng có tam giác” phát biểu thông qua ràng buộc rõ, cần phải xử lý cẩn thận, đề cho... hợp Ω gọi liên kết giao chúng có

đúng phần tử; hai tập hợp gọi thân thi? ??t giao chúng dãy số tự nhiên liên tiếp có phần tử.

a) Biết Ω, tập hợp thân thi? ??t, chứng minh