Đang tải... (xem toàn văn)
HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS. Môn thi: Toán.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH MIỆN
**************
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang
Câu ( điểm)
Cho biểu thức:
2
x + x 2x + x
A = - + x > x - x + 1 x
1) Rút gọn biểu thức A
2) Khi x ≠ 1, tìm giá trị x để: x
< A Câu ( điểm)
1) Giải phương trình 3 2x - = x
2) Cho đa thức F(x) = ax3 + bx – Biết F(2) = 2009, tính F(- 2). Câu ( điểm)
1) Tìm các nghiệm nguyên dương phương trình xy + 3x – 3y = 21 2) Chứng minh 2 + 3 số vô tỷ.
Câu ( điểm)
1) Cho hình chữ nhật ABCD có AB =15, AC = 17 Kẻ DH vng góc với AC H, DH cắt AB I Tính HI
2) Cho tam giác ABC có đường cao AH, phân giác CD trung tuyến BM đồng quy Đặt AB = c; AC = b; BC = a
a) Tính BH theo a, b c b) Chứng minh
2 2
2 2
a a - b + c =
b a + b - c . Câu ( điểm)
Cho hai số nguyên dương m n thoả mãn
m n
, chứng minh
m
n 3mn
3
-Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị : Chữ kí giám thị
(2)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH MIỆN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCSHướng dẫn chấm gồm trang
CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂ
M
Câu 2,0 điểm
1)
1 điểm
3
x x +1 x x 1
A = - +
x - x + 1 x
0,25
x x x - x +
= - x +
x - x + 1
0,25
= x + x - x 1 0,25
= x - x 0,25
2)
1 điểm 2 x 1 2 x 1 0
A x - x
0,25
3 x
=> 0
x 1
0,25
=> x < 1; x > 0,25
Kết luận < x < 1; x > 0,25
Câu 2 điểm
1)
1 điểm Điều kiện ẩn số:
3 x
2
0,25
2
0
2x (*)
x -
Đ a ph ơng tr ì nh vÒ 2x - = x - <=>
x -
0,25
Giải phương trình (*) x = 2; x = 0,25
Kêt luận: phương trình có nghiệm x =
(Kết luận thừa nghiệm không cho điểm ý này)
(3)2) điểm
F(2) = 8a + 2b – 1; F(- 2) = - 8a – 2b – => F(2) + F(- 2) = - 0,5
F( -2) = 2009 => F(2) = - 2011 0,5
Câu điểm
1) điểm
Biến đổi (x – 3)(y + 3) = 12 0,25
Nêu y + ước 12 y + > => y + {4; 6; 12} 0,25 y + = => y = 1; x =
y + = => y = 3; x = y + = 12 => y = 9; x =
0,25
Kết luận: (x; y) = (1; 6), (4; 9), (5; 3) 0,25
2) điểm
2
3 m (m Q) => m 11
Gi¶ sư 2 0,25
2
m 11 (*)
Rút đ ợc 0,25
Chứng minh số vô tỉ(**) 0,25
m l s hu tỉ nên
2
m 11 Q
dẫn đến (*) (**) mâu thuẫn từ đpcm
0,25
Câu diểm
1
15 17 H
I
C
A B
D
áp dụng đl Pitago vào tam giác vng ADC tính AD =
0,25 Tam giác ADC vuông D có đường cao DH => DH.AC = DA.DC
Từ tính
120 DH
17
0,25
Tam giác ADI vuông A có đường cao AH => AD2 = DH.DI Từ tính
136 512
DI HI
15 255
0,5
2 a điểm
K H
D
O A
C B
M
Dễ thấy H nằm đoạn thẳng BC
(4)AH2 = AB2 – BH2; AH2 = AC2 – HC2 => AB2 – BH2 = AC2 – HC2
c2 – BH2 = b2 – (a – BH)2
Từ tính
2 2
a + c - b BH
2a
0,5
2b điểm
Chứng minh tương tự phần a
2 2
a + b - c CH
2a
0,25
Gọi O giao điểm AH, CD BM
CO tia phân giác góc ACB =>
OB CB a 2a
(*) b
OM CM b
2
0,25 Hạ MK BC
Chứng minh K trung điểm HC => HK = HC/2
Chứng minh
OB BH BH 2BH
CH
OM HK CH
2
Thay BH CH tính theo a, b, c thu gọn
2 2
2 2
OB 2(a c b )
(**)
OM a b c
0,25
(*) và(**) =>
2 2
2 2
2a 2(a c b )
=
b a b c
=>
2 2
2 2
a a b c
=
b a b c
0,25
Câu điểm
Do m n số nguyên dương nên
2 2
m
n m => 3n > m 3n m +1 n
3
0,25
2 2 1
m +1 = m + m 2.m
3 3 3m 3
0,25
2
2
2
1 1 1
m 2.m m 2.m m
3m 3m 9m 3m
0,25
2
2 1
3n m n > m
3m 3m
=>đpcm
0,25
(5)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS
Mơn thi: Tốn Mã số:
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang
Câu ( điểm)
1) Rút gọn 10
5 1051 + 10 26 13
8
2) Cho số dương x, y thoả mãn
x x - 3y x = 10
y y - 3x y = Tính x + y
Câu ( điểm)
1) Tìm giá trị số thực a để phương trình
2 13
3x - 2a + x + a + =
có nghiệm nguyên
2) Giải hệ phương trình
2
2
2x + xy - y - 5x + y + = x + y + x + y - =
Câu ( điểm)
b) Chứng minh với số nguyên dương lẻ n 20n + 254.3n 391
(6)Câu ( điểm)
Cho hai đường tròn (O) (I) cắt hai điểm A B cho AB cắt OI điểm nằm O I Điểm M thuộc cung lớn AB đường tròn (O), MA MB cắt cung lớn AB đường tròn (I) C D Gọi giao điểm MO CI E a) Chứng minh bốn điểm M, B, E, C nằm đường tròn
b) Gọi F trung điểm MC, P Q điểm cung MB BC không chứa A Chứng minh bốn điểm P, A, F, Q nằm đường tròn
c) Gọi K trung điểm CD, chứng minh điểm M chuyển động cung lớn AB đường trịn (O) đường thẳng MK ln qua điểm cố định
Câu ( điểm)
Chứng minh (a – c)(a – b – c) ≤ (2b – c)2 ≥ 8(2a – c)(a – b – c)
-Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị : Chữ kí giám thị
2 :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS
Hướng dẫn chấm gồm trang
CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM
Câu điểm
1)
1 điểm
10
200
10 10
5 10
5
10 10
51 +10 26
13
408 + 2.40 26 208 + 208 200
13 13
64 64
0,25
4 2
4 10
10 10
8
10 5
10
13 + 10 13
13 13
64
0,25
2 2
4 10 10
4 10
10
8
4 10 8
1
8
5
5
5
5
13 13
13
13 13
(7)2)
1 điểm
3 2
3 2
(1) 100 (3)
(2) 25 (4)
y x x y xy
y y xy x y
2
x x - xy = 10 (1) y y - 3x y = (2)
x x - x = 100 y - 3x y = 25
0,5
Cộng vế (3) (4) ta x3 + 3x2y + 3xy2 = 125 0,25
(x + y)3 = 125 => x + y = 5 0,25
Câu 2 điểm
1)
1 điểm
Giả sử x0 nghiệm phương trình
2 13
3x - 2a + x + a + =
2 , ta có
2
4 a 13 10 (1)
2 0
0 0
13
3x - 2a + x + a + =
2a x x x
0,25
2
2
2(6 13 10) 13 10
2
0 0
0
0
0
Ph ơng tr ì nh bậc hai ẩn a cã nghiƯm vµ chØ ' = 4x x x
x x x x x 0,5 0
x x =
Thay x 8a + = a
Z
2
mµ nê n
vào (1) ta đ ợc 2a
0,25 2) điểm 2 2
2x + xy - y - 5x + y + = (1) x + y + x + y - = (2)
y = - x (1) 2x - y - x + y -
y = 2x - 0,25
- Thay y = – x vào (2) ta 2x2 – 4x + = 0 Phương trình có nghiệm x = => y =
0,25
- Thay y = 2x – vào (2) ta 5x2 – x – = Phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 =
=> y1 = 1,
13
2
y
0,25
Hệ có nghiệm
13 x;y 1;1 , ;
5 0,25 Câu điểm 1) điểm
20n + 254.3n = 20n – 3n + 255.3n 17 20n – 3n 17 255 17 0,25 20n + 254.3n = 20n + 3n + 253.3n 23 20n + 3n 23 (do n lẻ)
253 23
0,25
(8)nên ta đpcm 2)
1 điểm
Giả sử a = 2009qa + (qa, Z < < 2009) b = 2009qb + rb (qb, rb Z < rb < 2009) d = ƯCLN(ra, rb) ( d Z)
0,25
=> tồn hai số nguyên khác a1 b1 cho = da1, rb = db1 ƯCLN(a1, b1) =
=> a = 2009qa + da1 b = 2009qb + db1
0,25
=> ab1 = 2009qab1 + da1b1 ba1 = 2009qba1 + db1a1 => ab1 – ba1 = 2009(qab1 – qba1) 2009
0,25 Đặt m = b1 n = - a1 ƯCLN(m, n) = (do ƯCLN(a1, b1) = 1)
và am + bn 2009
0,25 Câu 4)
3 điểm 1)
1 điểm
E
C
D B
A
O
I M
MOB = 2MAB; BIC = 2BDC
MAB = BDC (Tứ giác ABDC nội tiếp đ ờng tròn (I)) MOB = BIC
0,5
Mặt khác MOB cân O BIC cân I nên BME = BCE
=> đpcm
0,5
2) điểm
Sử dụng tính chất tia phân giác hai góc kề bù để chứng minh
0 (1)
PAQ = 90
0,25
Lấy N đối xứng với M qua p
S đối xứng với C qua Q
=> MBN vuông B BCS vuông B
0 ; 180
90
1
NMB = BCS =
2
NMB BCS
MAB CAB
MAB CAB
NMBBsC
0,5
=> MBN SBC (g.g) n
m T
R K
C
B D A
I O
M
T
S N
Q F
C
B P
A
I O
(9) BM = BN
BS BC
900
TMB TNB
NTM NBM
Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác để chứng minh
PF // NC FQ // MS =>
0 (2)
PFQ = 90
Từ (1) (2) => đpcm
0,25
3) điểm
1
(trong(O))
(trong(I))
CD
AMB
AMB
sđAmB không đổi sđCD sđAmB
2
sđAnB không đổi sđCD không đổi không đổi IK không đổi
0,25
0
0
BOM
OM = OB BMO 90 90 MAB
2
BDC DMR+MDR 90
Tø gi¸c ABDC néi tiếp đ ợc MAB
MR DC
Lại có IK DC => MO // IK
0,5
Gọi T giao điểm MK OI theo đl Talet ta có TI IK
= TO MO
không đổi
OI không đổi => T cố định
0,25
Câu điểm
Chứng minh toán phụ:
“Cho đa thức bậc hai A(x) = ax2 + bx + c
Nếu tồn hai số thực n m cho A(n).A(m) ≤ phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = (*) có nghiệm”
Thật vậy: A(n).A(m) ≤ a ≠ => a2A(n).A(m) ≤ => [aA(n)].[aA(m)] ≤ => hai số [aA(n)]; [aA(m)] không dương
- Nếu aA(n) ≤ => a(ax2 + bx + c) ≤
2 2
b b - 4ac b
an + - 0 an +
2 4
0,25
(10)=> phương trình (*) có nghiệm
Với aA(m) ≤ lập luận tương tự ta có phương trình (*) có nghiệm
Trở lại toán
- Nếu 2a – c = bất đẳng thức hiển nhiên
0,25
- Nếu 2a – c ≠ ta xét phương trình bậc hai
(2a – c)x2 – 2(2b – c)x + 8(a – b – c) =
Đặt A(x) = (2a – c)x2 – 2(2b – c)x + 8(a – b – c) Ta có A(0) = 8(a – b – c) A(-2) = 16(a – c)
A(0).A(- 2) = 128(a – c)(a – b – c) ≤
Áp dụng toán phụ ta có phương trình bậc hai (2a – c)x2 – 2(2b – c)x + 8(a – b – c) = có nghiệm => ’ ≥ => (2b – c)2 - (2a – c).8(a – b – c) ≥ => (2b – c)2 ≥ 8(2a – c)(a – b – c)