BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9Tài liệu là tập hợp các đề thi thử học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 kèm đáp án và biểu điểm chi tiết để các thầy cô và học sinh tham giảo ôn luyện.=============================BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 9Tài liệu là tập hợp các đề thi thử học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 kèm đáp án và biểu điểm chi tiết để các thầy cô và học sinh tham giảo ôn luyện.=============================
UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-203 MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1(2,5điểm). a) Không dùng máy tính, chứng minh 6 4 2 3 2 2+ − − là một số nguyên. b) Rút gọn biểu thức: ( ) : ( ) x x y y xy x y x y − + + − với x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y. c) Giải phương trình: 2 1 4 2 3 2 2 2 2 3 3x x x x+ + − − − − − = . Bài 2(3,0 điểm) Cho ba đường thẳng : (d 1 ) có phương trình : x + 2y=3 (d 2 ) có phương trình : y = 2x-1 (d m ) có phương trình : 2mx+y= m+1 a) Tìm giá trị của m để ba đường thẳng trên đồng quy .Khi đó tìm toạ độ giao điểm. b) Biết đường thẳng (d m ) luôn luôn đi qua một điểm cố định I với mọi giá trị của m. Xác định tọa độ I. c) Tìm giá trị của m để (d 1 ), (d 2 ), (d m ) cắt nhau tạo thành một tam giác vuông. Bài 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài lần lượt là BH = 4cm và HC = 9cm. Vẽ đường tròn (O; BH 2 ) cắt AB tại T và đường tròn (O’; CH 2 ) cắt AC tại E. a) Tính độ dài TE. b) Chứng minh TE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) c) Tính diện tích tứ giác TENM. Bài 4 ( 0,5 điểm). 1 Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhọn. Vẽ BM AC⊥ . Chứng minh hệ thức: 2 AM AB 2 MC BC 1 = ÷ − Hết UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 9 Bài Đáp án Điểm 1 a) 6 4 2 3 2 2+ − − = 2 2 (2 2) ( 2 1)+ − − = 2 2 2 1+ − + = 3 Vậy 6 4 2 3 2 2+ − − = 3, là một số nguyên. 0,25 0,25 0,25 b) ( ) :( ) x x y y xy x y x y − + + − = 3 3 ( ) : ( ) x y xy x y x y − + + − = ( )( ) ( ) : ( ) x y x xy y xy x y x y − + + + + − = ( ) : ( )x xy y xy x y+ + + + = 2 ( ) :( )x y x y+ + = x y+ . 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Điều kiện: 3 2 x ≥ . Ta có: 2 1 4 2 3 2 2 2 2 3 3x x x x+ + − − − − − = ⇔ 2 2 ( 2 3 2) ( 2 3 1) 3x x− + + − − = 0,125 2 ⇔ 2 3 2 2 3 1 3x x− + + − − = ⇔ 1 2 3 2 3 1x x− − = − − Do đó 1 2 3 0x− − ≥ ⇔ 2x ≤ . Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 3 2 2 x≤ ≤ . Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là mọi x: 3 2 2 x≤ ≤ . 0,25 0,125 0,25 2 a) Tọa độ giao điểm của (d 1 ), (d 2 ) là nghiệm của hệ phương trình x 2y 3 x 1 y 2x 1 y 1 + = = ⇔ = − = => Giao điểm của (d 1 ), (d 2 ) là (1; 1) (d 1 ), (d 2 ) và (d m ) đồng quy khi (d m ) đi qua điểm (1; 1) Hay: 2m +1 = m+1 m = 0 0,5 0,25 0,25 b) Xét (dm) 2mx+y= m+1 (2x -1)m + y – 1= 0 Gọi I (x 0 , y 0 ) là điểm cố định mà (d m ) luôn đi qua, thế thì (2x 0 -1)m + y 0 – 1= 0 với mọi giá trị của m 0 0 0 0 1 2x 1 0 x 2 y 1 0 y 1 − = = ⇔ ⇔ − = = Vậy (d m ) luôn đi qua một điểm cố định 1 I ;1 2 ÷ khi m thay đổi 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Nhận xét (d 1 ) không vuông góc, không trùng và không song song với (d 2 ), nên (d 1 ), (d 2 ), (d m ) cắt nhau tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi : ( ) ( ) ( ) ( ) m 1 m 2 1 m 1 d d .( 2m) 1 2 1 m d d 2.( 2m) 1 4 ⊥ ⊥ = − − − = − ⇔ ⇔ = − = − Vậy với m = -1; 1 m 4 = thì (d 1 ), (d 2 ), (d m ) cắt nhau tạo thành một tam giác vuông 0,25 0,5 3 2 3 4 1 2 1 2 1 9 4 I T E O' O H A C B 0,25 3 Vẽ hình đúng cho Số câu a a) Tam giác ABC vuông tại A nên ta có hệ thức: AH 2 = BH.CH = 4.9 = 36 ⇒ AH = 36 = 6 (cm). Mặt khác: HT ⊥ AB và HE ⊥ AC nên tứ giác ATHE là hình chữ nhật Suy ra: TE = AH = 6 (cm). 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo hình chữ nhật ATHE; Tam giác EIH cân tại I nên µ µ 2 2 E H = (tính chất tam giác cân) (1) Tam giác EOH có OE = OH (=R) nên là tam giác cân tại O => µ µ 1 1 E H= (2) Mặt khác µ µ 0 1 2 H H 90+ = (gt) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra µ µ 0 1 2 E E 90+ = . Hay · 0 OET 90= Suy ra ET là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E (4) Chứng minh tương tự ta cũng có ET là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại T (5) Từ (4) và (5) suy ra ET là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 c) Vì OE// O’T (cùng vuông góc với ET) và · 0 OET 90= (kq Số câu b) Nên tứ giác EOO’T là hình thang vuông => S EOO’T = 2 (OE O'T).ET (4,5 2).6 19,5(cm ) 2 2 + + = = 0,25 0,25 4 4 Gọi E là điểm đối xứng của C qua A => BEC∆ vuông tại B (vì có trung tuyến BA 1 CE 2 ) => 2 2 BC BC MC CE 2CA = = (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1) Mặt khác: AM = AC – MC = AC - 2 BC 2CA = 2 2 2AC BC 2CA − (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 AM 2AC BC BC : MC 2CA 2CA − ÷ ÷ = ÷ ÷ 2 AB 2 BC 1 = ÷ − 0,25 0,25 Ghi chú : Mọi cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. MÔN: Toán 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 5 E M C B A Bài 1: (1,5đ) Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5− − − = cotg45 0 Bài 2: (2đ) Cho biểu thức ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + − = × − ÷ − − − a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Bài 3: (1,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 4y x x y M xy − + − = Bài 4: (2đ) Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − với , 1, 1, 0, 0, 0x y yz xz x y z ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ thì 1 1 1 x y z x y z + + = + + Bài 5: (1đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45 0 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. Chứng minh rằng: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA 6 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN: Toán 9 Bài Nội dung – Yêu cầu Điể m 1 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 5 3 2 5 3= − − − 5 6 2 5= − − ( ) 2 5 5 1 = − − = 1 = cotg45 0 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2a Q có nghĩa 1x ⇔ > và 2x ≠ 0,5đ 2b ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x Q x x x − − + + − = × − ÷ − − − ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 x x x x x Q x x x − − − + + − + − + − = × − − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x x x Q x x − − + − + − = × − − 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − * Nếu 1 < x < 2 ta có: 0, 5đ 7 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − * Nếu x > 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x − − + − + − = × − − 2 1 Q x = − 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 3 Với điều kiện 1, 4x y ≥ ≥ ta có: M = 4 1 y x x y − − + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 2 2 x x x x + − − = − ≤ = 1 1 2 x x − ⇒ ≤ (vì x dương) Và: ( ) 1 1 4 4 4 4 4 2 2 2 4 y y y y + − − = − ≤ × = 4 1 4 y y − ⇒ ≤ (vì y dương) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 8 Suy ra: M = 4 1 1 1 3 2 4 4 y x x y − − + ≤ + = Vậy giá trị lớn nhất của M là 3 4 ⇔ x = 2, y = 8 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4 ( ) ( ) 2 2 1 1 x yz y xz x yz y xz − − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x yz y xyz y xz x xyz ⇔ − − = − − 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz ⇔ − − + − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 0x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0xy x y xyz x y z x y xyz x y ⇔ − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) 2 0x y xy xyz x y z x y xyz ⇔ − − + + + − = ( ) ( ) 2 0xy xyz x y z x y xyz⇔ − + + + − = (vì 0x y x y ≠ ⇒ − ≠ ) ( ) 2 xy xz yz xyz x y xyz ⇔ + + = + + ( ) 2 xyz x y xyz xy xz yz xyz xyz + + + + ⇔ = (vì 0xyz ≠ ) 1 1 1 x y z x y z ⇔ + + = + + 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 9 F A B C M P Q N K E 0,25đ 5 Kẻ MP ⊥ AB tại P, MQ ⊥ AC tại Q Kẻ Ex // AC, Ex cắt MQ tại K và cắt MF tại N Do ∠ EMF = 45 0 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ 1 2 MEN MEK MPEK S S S ∆ ∆ ⇒ < = và 1 2 FEN QEK QAEK S S S ∆ ∆ < = ( FEN QEK S S ∆ ∆ < vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy EK) Suy ra: 1 1 2 2 MEN FEN APMQ MEF APMQ S S S S S ∆ ∆ ∆ + < ⇔ < (*) Chứng minh được: 1 2 MAP MAB S S ∆ ∆ = 1 2 MAQ MAC S S ∆ ∆ = 1 2 APMQ ABC S S ∆ ⇒ = (**) Từ (*) và (**) ta có: EF 1 4 M ABC S S ∆ ∆ < 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 10 [...]... 20082 + nhiờn 24 20082 2008 cú giỏ tr l mt s t + 20 092 20 09 0.25 0.25 0.25 0.25 Ta cú : B = 1 + 20082 + 20082 2008 + = 20 092 20 09 ( 1 + 2008 ) 2.1.2008 + 2 20082 2008 0.25 + 20 092 20 09 2 2008 20082 2008 2008 2008 = ( 20 09 ) 2.20 09 + + = 20 09 + 2 20 09 20 09 20 09 20 09 ữ 20 09 2 = 20 09 2008 2008 2008 2008 + = 20 09 + = 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 0.25 0.25 Vy B cú giỏ tr l mt s t nhiờn a) x 2 3x... 3 1 1 a+b+c =8 3 abc 8 Ta cú a+b+c=6 abc 3 7 29 1 A 1 + = 512 8 16 0,25im Giỏ tr nh nht ca A bng Cõu 4 (2im) 0,25im 7 29 khi a = b = c = 2 512 b/0,75im 1 + a + b + c = 5 8 + 4a + 2b + c = 10 Từ giả thi t đề bài suy ra 0,25im Trừ theo từng vế của 2 phơng trình của hệ Ta đợc 3a+b = -2 P(12)-P( -9) = [12 3 (9) 3 ] + a(12 3 (9) 2 ) (12 (9) )b 0,25im = 2457+63a+21b =2457+21(3a+b)=2457- 42=2415... + IH 2 + 2OH IH + OH 2 R 2 = MI 2 + IA2 + OH HA R 2 = MA2 + OH 2 + BH 2 R 2 = MA2 + R 2 R 2 = MA2 Vy: MF = MA 0,25im 19 0,25im 0,25im 0,75im ( hc sinh lm cỏch khỏc cng cho im ti a) UBND HUYN THI CHN HC SINH GII PHềNG GIO DC V O TO MễN: TOAN 9 20 Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bi 1: (2,0 im) 1 2x + x 1 2x x + x x 1 + Cho biu thc A = ữ ữ: x 1 x 1+ x x 1 x 1 vi x > 0; x ;... y 4 y 4 2 3 2 0.25 5 2 T ú ta cú M 1 + = , du = xy ra x = 2y Vy GTNN ca M l 5 , t c khi x = 2y 2 0.25 10.0 im Tng UBND HUYN 28 THI CHN HC SINH GII PHềNG GIO DC V O TO MễN: TON 9 Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bi 1: (1,5 im) 1)Rỳt gn biu thc: A= 4 4 94 5 9+ 4 5 B = 4 15 + 4 + 15 2 3 5 Bi 2 (1im) Gii phng trỡnh: 3 + 4x + 2x 3 = 5x Bi 3: (1 im) Trờn cựng mt phng to cho ba ng thng... IOP vuụng ti I v PA 0,25 = PB) 0,25 MK2 = MI2 + OI2 OI2 + (PA2 PI2) 0,25 2 2 2 MK = MI + AI ( IAP vuụng ti I) MK2 = MA2 ( IAM vuụng ti I) MK = MA THI CHN hc SINH GII ubnd huyn thy nguyấn phềng gio dc v O to MễN TON 9 Thi gian : 120 (Khụng k thi gian giao ) Bi 1 (1,5im) a)Tớnh giỏ tr ca biu thc : sin 2 120 + 2sin 2 220 3sin 2 320 + sin 2 780 2sin 2 680 + 3sin 2 580 A= + + cos 2150 + cos 2 750... ca ng trũn (O;R) ti M, MB ct CH ti K 29 a) Chng minh 4 im C, H, O, I cựng thuc mt ng trũn b) Chng minh MC l tip tuyn ca (O;R) c) Chng minh K l trung im ca CH d) Xỏc nh v trớ ca C chu vi tam giỏc ACB t giỏ tr ln nht? Tỡm giỏ tr ln nht ú theo R - HT - 30 UBND HUYN HNG DN CHM THI CHN HSG PHềNG GIO DC V O TO MễN: TON 9 Bi Ni dung A= A= A= im 4 4 94 5 9+ 4 5 ( 4 52 ) 2 4 ( 5+2 ) 2 0,25 2... 2R + 2R 2 = 2R 1 + 2 , du "=" xy ra khi M l im 0.25 chớnh gia cung AB ( ) Vy max PACB = 2R 1 + 2 t c khi M l im chớnh gia cung AB 0.25 35 UBND HUYN THY NGUYấN THI CHN HC SINH GII PHềNG GIO DC V O TO MễN: TON 9 Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bi 1 (2,0 im) Cho biu thc 1 2x + x 1 2x x + x x 1 A= + ữ ữ: x 1 x 1+ x x 1 x 1 x > 0; x ; x 1 4 a/ Rỳt gn biu thc A b/ Tớnh giỏ tr ca... biểu thức: P(12) P (9) Bi 5 (3im) a) Cho ABC cõn ti A Trờn ỏy BC ly im D sao cho CD = 2BD So sỏnh s o ã BAD v 1ã CAD 2 b) T mt im A ngoi (O) dng cỏc tip tuyn AB, AC vi (O) Gi H l giao im ca OA vi BC Trờn ng trung trc ca AH ly im M bt k sao cho M nm ngoi (O) v dng tip tuyn MF vi (O) Chng minh: MA = MF (B, C, F l cỏc tip im) 13 HNG DN CHM THI CHN HSG ubnd huyn thy nguyấn MễN : TON 9 phềng gio dc v O... Tỡm giỏ tr ln nht ú theo R Bi 5: (0,75 im) Vi x, y l cỏc s dng tha món iu kin x 2y , tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = x 2 + y2 xy Chỳ ý: Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh - HT - 22 UBND HUYN HNG DN CHM THI CHN HSG PHềNG GIO DC V O TO MễN: TON 9 Bi ỏp ỏn im a) Rỳt gn biu thc (1 im) 1 2x + x 1 2x x + x x 1 1 A= + ữ x > 0;x ;x 1ữ ữ: 1 x ữ 4 x 1+ x x 1 x ( ) x 2x + x 1... y = mx 3x + m + 1 Tỡm giỏ tr ca m th hm s l mt ng thng ct hai trc ta to thnh tam giỏc cú din tớch bng 1(n v din tớch) 20082 2008 b) Chng minh rng Biu thc B = 1 + 2008 + cú giỏ tr l mt s t + 20 092 20 09 nhiờn 2 Bi 3: (1,5 im) Gii phng trỡnh a) x 2 3x + 2 + x + 3 = x 2 + x 2 + 2x 3 b) 4x + 1 3x 2 = x+3 5 Bi 4.(4,0 im) Cho AB l ng kớnh ca ng trũn (O;R) C l mt im thay i trờn ng trũn (C khỏc A . ra =+++ =+++ 10248 51 cba cba Trõ theo tõng vÕ cña 2 ph¬ng tr×nh cña hÖ . Ta ®îc 3a+b = -2 P(12)-P( -9) = [ ] ba ) )9( 12() )9( 12( )9( 12 2333 −−−−−+−− = 2457+63a+21b =2457+21(3a+b)=2457- 42=2415 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 1/Đặt. minh MK = MA 6 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN: Toán 9 Bài Nội dung – Yêu cầu Điể m 1 5 3 29 12 5− − − ( ) 2 5 3 2 5 3= − − − 5 6 2 5= − − ( ) 2 5 5 1 = − − . cân tại O => µ µ 1 1 E H= (2) Mặt khác µ µ 0 1 2 H H 90 + = (gt) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra µ µ 0 1 2 E E 90 + = . Hay · 0 OET 90 = Suy ra ET là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E (4) Chứng