Thông tin tài liệu
Header Page of 128 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN LỚP NĂM 2018-2019 (CĨ ĐÁP ÁN) Footer Page of 128 Header Page of 128 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Con Cng Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hà Trung Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hồi Nhơn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Lai Vung Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-2019 có đáp án - Phòng GD&ĐT Thạch Hà Footer Page of 128 Header Page of 128 PHÒNG GD&ĐT CON CNG KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề thức Câu 1(5 điểm): Cho biểu thức A = x 1 x 25 x với x ≥ x ≠ 4 x x 2 x 2 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = c) Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Câu (4điểm): Giải phương trình sau: a) x x x b) x x x x Chứng minh với số nguyên n n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho Câu (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m+1)x + (m-2)y = (d) (m tham số) a) Tìm giá trị m biết đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -2) b) Tìm m để (d) cắt trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Câu (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB H a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh M,I,H thẳng hàng c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB K Chứng minh diện tích SAMB = AK.KB Câu (1,5 điểm) Cho x; y số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy Chứng minh rằng: 3x 3y2 1 1 HẾT Đề có 01 trang Cán coi thi khơng giải thích thêm Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Footer Page of 128 Header Page of 128 PHỊNG GD&ĐT CON CNG Câu (5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn giải, đáp án Điểm a) x 1 x 25 x 4 x x 2 x 2 ( x 1)( x 2) x ( x 2) (2 x ) ( x 2)( x 2) A= b) x x 2x x x ( x 2)( x 2) 0,5 x ( x 2) x ( x 2)( x 2) x 2 1,0 Với x ≥ x ≠ , x = ( t/m đk ) 9 A 2 2 4 2 3 A nguyên 0,25 0,75 0,5 c)Với x ≥ x ≠ Mặt khác 0,5 0,25 x có giá trị nguyên x 2 x 3 3 x 2 x 2 (vì >0) x 2 Suy ≤ A < Vì A nguyên nên A = ; ; A = giải ta x = ( T/m đk ) A= giải ta x = ( T/m đk ) A = giải ta x = 16 ( T/m đk ) Vậy A nguyên x ∈{ ;1 ;16} 0,25 0,25 0,75 Footer Page of 128 Header Page of 128 Câu x2 x x (4,0 điểm) 0,5 2x 1 2x 1 x 2x 1 2x a) 2 x 2 x 1) 0,5 1 x x 2(kt / m) x b)Đk 0,5 0≤ x ≤ 0,25 x x 2x x x x 2( x 1) (1) 0,25 Vế trái (1) bé ; vế phải lớn x 3 5 x Dấu xẩy x 1 0,25 x (t/mđk) Vậy pt có nghiệm x = Câu (2,5 điểm) n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n n.(n+1)(n+2) tích số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho vừa chia hết n.(n+1)(n+2) chia hết cho 2016n chia hết cho Vậy n3 + 3n2 + 2018 n chia hết cho với n € Z a) Đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -2) nên ta có x = - 1; y = -2 thay vào giải ta m = Để d cắt trục tọa độ m ≠ -1 ; c) Giả sử (d) cắt trục tọa độ điểm A B ta tính tọa độ A ( 3 ) ;0 ) B ( 0; m 1 m2 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 Ta có tam giác OAB vuông O nên 0,25 Footer Page of 128 Header Page of 128 S OAB 1 3 OA.OB 2 m 1 m S OAB 3 2 m 1 m 2 0,25 13 m Giải ta có (t/mđk) 1 m 13 m Vậy ……… 1 m 0,5 y x D M C I A H K O B a) Tam giác AMC vng M có MH đường cao MH = AH BH ( hệ thức lượng… ) = 3.5 15 (cm) a) Vì AC song song với BD nên ta có AC AI CM ( Vì BD ID MD AC=CM; BD =MD) Suy MI// AC Mà MH//AC ( vng góc AB) Suy M, I, H thẳng hàng c)Đặt AB = a; AM = c; BM = b Ta có 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 Footer Page of 128 Header Page of 128 a c b abc ; BK 2 a c b a b c (a c b).(a b c ) AK BK 2 2 2 a (b c) a (b c ) 2bc 2 2 2 AK 2bc bc 2 AM BM S AMB Vậy SAMB = AK.KB (1,5 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Từ (x+1)(y+1) = 4xy x 1 y 1 4 x y 1 (1 )(1 ) x y 1 Đặt a = ; b = y x 0,5 Ta có (1+a)(1+b) = a b ab ( a b ) ab ab ab ab Từ ab 0,5 Áp dụng AM – GM cho số thực dương ta có 3x x 3 x2 a a b ab a a a a ( ) (a b)(a 1) a b a Tương tự ta có 3y 1 a b ( ) a b b 1 0,5 Cộng vế theo vế ta Footer Page of 128 Header Page of 128 3x2 3y2 1 a b a b ( ) a b a b a 1 b 1 2ab a b ab 1 (1 ) (1 ) (1 ) (a 1)(b 1) 2 1 a a a b b Dấu xẩy a b 1 b b a b b x=y=1 Footer Page of 128 Header PHÒNG Page ofGIÁO 128 DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 HÀ TRUNG Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút x− x+ + + x − 10 − x x− 1+ : − x− x− 1− Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức P= x − a Rút gọn biểu thức P b Tính giá trị biểu thức P x= 3+ 2 − 3− 2 3− 2 3+ 2 Câu 2: (4.0 điểm) x + − y − = − a Giải hệ phương trình sau: x + + y − = x+ 1+ b Giải phương trình 4− x + ( x + 1)(4 − x) = c Cho số tự nhiên có chữ số; Nếu xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 5445 đơn vị Tìm số cho Câu 3: (4.0 điểm) n n a Chứng minh A= ( − 1) ( + 1) chia hết cho với số tự nhiên n b Tìm tất số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời điều kiện sau: x+y+z>11 8x+9y+10z=100 c Chứng minh xy+ (1 + x )(1 + y ) = x + y + y + x = Câu 4: (3.0 điểm) a Cho x, y>0 thoả mãn x 2y + = Tìm giá trị lớn P=xy2 1+ x 1+ y b Tìm số tự nhiên n cho B=n2-n+13 số phương Câu 5: (5.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By theo thứ tự C D Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD · a Tính số đo góc COD b Chứng minh OI= CD OI vng góc với AB c Chứng minh: AC.BD = R2 d Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ Đề gồm có trang câu Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG HƯỚNG DẪN CHẤM HSG LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Câu Nội dung Điểm a (2.5 điểm) ĐKXĐ: x ≠ 10 x>1 0.25 x− x+ x− 1+ 1 + − : = x − + x − 10 − x x − x − − x − 1.(10 − x) + ( x + 8)(3 + x − 1) x − + − x − + : = (3 + x − 1)(10 − x) x − 1( x − − 3) P= = (4.0 điểm) 0.5 10 x − − x x − + x + x x − + 24 + x − x− 1+ : (3 + x − 1)(10 − x ) x − 1( x − − 3) 0.5 18 x − + x + 24 x− 1+ 3( x − + 3) x − 1( x − − 3) : = = (3 + x − 1)(10 − x) x − 1( x − − 3) (3 + x − 1)(10 − x) 2( x − + 2) = 3( x − + 3) x − 1( x − − 3) x − 1( x − 10) −3 x− = = 10 − x 2( x − + 2) 2( x − + 2)(10 − x) 2( x − + 2) 0.5 0.75 b (1.5 điểm) x= 3+ 2 − 3− 2 3− 2 ⇒ 3+ 2 = = + 1− + = Vậy P= − 2− −1 = 2( − + 2) Footer Page 10 of 128 (3 + 2) − (3 − 2) = (3 + 2) − (3 − 2) 1.0 0.5 Header Page 22 of 128 PHÒNG GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀ O TẠO HUYỆN LAI VUNG Hướng dẫn chấm gồm 04 trang HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN I HƯỚNG DẪN CHUNG: Học sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm đúng, xác, chặt chẽ cho đủ số điểm câu Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm thi Điểm tồn tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Nội dung Câu I Tính A= ( 5)( 10 0,2) Điểm 4,0 1,0 A ( 5)( 10 0,2) (2 5)( 20) 0,25 (2 2)(2 2) 0,25 (2 5) ( 2) 0,25 = 20 - = 18 0,25 Tìm số tự nhiên n cho B = n 2n 18 số phương 1,5 Đặt n 2n 18 a ( a , n ) 0,25 a (n 1)2 17 0,25 (a n 1)( a n 1) 17 0,25 Vì a , n nên (a n 1) ( a n 1) ; 17 số nguyên tố Suy ra: a n 17 (*) a n hay a n Thay a n vào (*) tính n = 0,25 Với a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 13 dư b chia cho 13 dư a +b chia hết cho 13 Do: a chia cho 13 dư nên a=13x+2 ( x ) 1,5 b chia cho 13 dư nên b=13y+3 ( y ) Suy ra: a +b = (13x+2)2 +(13y+3)2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = 169x +52x+4+169y +78y+9 0,25 = 13(13x +4x+13y +6y+1) 13.K 13 0,25 Footer Page 22Vậy: of 128 a +b chia hết cho 13 (đpcm) 0,25 Nội dung Header Page 23 of 128 Điểm Câu II 4,0 x x -3 2( x - 3) x +3 Tìm điều kiện + x-2 x -3 x +1 3- x xác định rút gọn biểu thức C 2,0 Cho biểu thức C = C= x x -3 2( x -3) x +3 ( x +1)( x -3) x +1 x 3 Điều kiện xác định: x x 0,25 0,25 x x -3 - 2( x -3) - ( x +3)( x +1) ( x +1)( x -3) 0,25 = x x -3 - 2x+12 x - 18 - x - x - ( x +1)( x -3) 0,25 = x x - 3x + x - 24 ( x +1)( x -3) 0,25 = x ( x - 3) + ( x - 3) ( x +1)( x -3) 0,25 C= ( x - 3) (x + 8) ( x +1)( x -3) x+8 = x +1) = 2a) Chứng minh 0,25 0,25 x4 + (x + 4) với số thực x 17 (x +4) > 17(x 1) (x +4)2 >0 17 Mà 17(x 1) (x +4) (4x 1) với x (x +4) Vậy 17(x 1) (x +4)2 hay x +1 17 Dấu “=” xảy x = ± 2b) Cho a, b số thực thỏa mãn a + b Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức D = a +1+ b +1 (a + b +8) Áp dụng kết câu 2a) ta có D 17 1 17 ( + 8) = Mà a + b Suy D 2 17 Ta có x +1 GTNN D Footer Page 23Vậy of 128 17 a = b = 2 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,250,25 Nội dung Header Page 24 of 128 Điểm Câu III 4,0 1a) Giải phương trình: x + 2x = 4x + (1) 1,0 (1) x + 2x + x = x + 4x + 0,25 x (x + 1) = (x + 2) 0,25 x2 = x (x + 1) = x + (2) x (x + 1) = (x + 2) x + 2x + = 0,25 x x + 2x + = (x + 1)2 > 0,25 nên từ (2) suy phương trình cho có nghiệm x 1 + x + = + 2x + (3) x x x0 x0 Điều kiện xác định: x 2 x x 1b) Giải phương trình: (3) x x + = x + x 2x + (1 x) x ( x + 2- 2x + 1) (1 - x) + x (1 - x) (1+ 1-x 0 x + + 2x + x2 ) (4) x + + 2x + 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x0 x2 Do , 1+ nên từ (4) suy phương x x + + 2x + trình cho có nghiệm x = (thỏa điều kiện xác định) 0,25 2) Giải toán cách lập phương trình: An dự định từ A đến B xe đạp điện khoảng thời gian định Nếu An với vận tốc 20 km/h đến B sớm 12 phút Nếu An với vận tốc 12 km/h đến B trễ 20 phút Tính qng đường AB thời gian dự định lúc đầu An 1,5 Gọi x (giờ) thời gian dự định lúc đầu (x>0) 0,25 1 ) = 12(x + ) 20x - = 12x + 8x = x = (nhận) Vậy: Thời gian dự định (giờ) Quãng đường AB dài: 20.(1 ) = 20.( ) =16 (km) Footer Page 24 of 128 5 Theo đề có phương trình: 20(x - 0,5 0,25 0,5 Điểm Nội dung Header Page 25 of 128 Câu IV 4,0 Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Một đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD N 2,0 A B M N C D 1,0 a) Chứng minh BM = DN ABM ADN có: = = ADN = 900 ; BAM DAN = 900 MAD AB=AD; ABM 0,5 Nên ABM = ADN Suy ra: BM=DN b) Tính tỉ số 0,5 AM MN 1,0 Vì ABM = ADN, suy AM = AN hay AMN vuông cân A 0,5 AM AM AM AM 2 = MN 2 MN AN +AM 2AM 0,5 Do đó: Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = BC Tại B kẻ BE AB cho BE = AB (E C thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AB) Tại C kẻ CF AC cho CF = AC (F B thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AC) Chứng minh ba đường thẳng DH, BF CE đồng quy D F I A E C Footer Page 25 of 128 B H 2,0 Điểm Nội dung Header Page 26 of 128 DAC BCF có: = DA= BC (gt) ; AC = CF (gt) ; DAC BCF = 900 ACH = F Nên DAC = BCF Suy C 0,5 0,5 + Mà C C2 = 900 (gt) Suy F + C2 = 900 Gọi I giao điểm BF DC Trong CIF có F + C2 = 900 = 90 hay DC BF Suy CIF 0,5 Chứng minh tương tự ta DB CE 0,25 Trong DBC có DH, CE, BF đường cao nên chúng đồng quy 0,25 Câu V 4,0 Cho đường tròn (O;R) điểm A ngồi đường tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính đường tròn song song với EF cắt ME, MF C D Dây EF cắt OM H, cắt OA B C E M H B A N K O F D Chứng minh OA.OB không đổi OE OF( R) Ta có: OM trung trực EF OM EF ME MF OB OH HOB AOM OA.OB OH.OM (1) OM OA EOM vuông E, đường cao EH nên OE OH.OM (2) Footer Page 26Từ of (1), 128.(2) suy ra: OA.OB = OE = R (không đổi ) 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Nội dung Điểm Chứng minh EF qua điểm cố định M di chuyển đường thẳng d 1,0 Vì OA.OB = R OB R2 mà R khơng đổi, OA khơng đổi OB OA không đổi mà O cố định nên B cố định 0,5 Vậy điểm M di chuyển đường thẳng d EF ln qua điểm cố định B 0,5 Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích HBO lớn 1,0 BO 0,25 Header Page 27 of 128 Gọi K trung điểm OB, mà BHO vuông H nên ta có HK= Do OB khơng đổi nên HK không đổi HN.BO Kẻ HN BO , ta có SBHO Vì BO khơng đổi, nên SHBO lớn HN lớn 0,25 Mà HN HK , dấu “=” xảy N K 0,25 Vậy SHBO lớn HBO vuông cân H MO tạo với OA góc 450 0,25 -Hết - Footer Page 27 of 128 PHÒNG Header Page 28 GD&ĐT of 128 TAM DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức: P = x 1 x 25 x 4 x x 2 x 2 Tìm x để P có giá trị Câu (2,0 điểm) Chứng minh a, b, c số thực thỏa mãn: a + b + c = abc thì: 1 a b c 1 a b2 c Câu (2,0 điểm) Tính tổng: S 1 1 1 2 2 2018 20192 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x2 x 12 x 36 Câu (1,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n2 2n2 3n 2n 10 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2017 x 2018 y 2019 Câu (1,0 điểm) Cho m, n số tự nhiên p số nguyên tố thoả mãn: mn p = Chứng minh n + số phương p m 1 Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn biểu thức: P ab cb 2a b 2c b 1 Tìm giá trị nhỏ b a c Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân b) Chứng minh: ME song song với BN c) Từ C kẻ CH vuông góc với BN H Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu 10 (2,0 điểm) Cần dùng bìa hình tròn có bán kính để phủ kín tam giác có cạnh 3, với giả thiết khơng cắt bìa? ==== HẾT ==== Cán coi thi khơng giải thích thêm! tên28thíofsinh .SBD: .Phòng thi FooterHọ Page 128 Header Page 29 of 128 PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP Năm học: 2018 – 2019 Mơn Tốn Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa -Các câu hình học, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai phần khơng chấm điểm phần Câu Nội dung Điểm 0,25 Biểu thức có nghĩa x 0; x P= x 1 x 25 x = 4x x 2 x 2 x x x 2 x x x x 1 x 2 25 x x2 x 2 25 x x 2 x 2 x 2 x 2 0,5 3x x x 2 x 2 x 2 x 2 0,25 0,25 x x 2x x x x x 1 x x 2 x 2 0,25 0,25 x 2 x x 2 0,25 Do đó: P= x 23 x 2 x 4 x 2 x x 16 (t/m) 1 1 1 2 4 a b c a b c 1 1 2 a b c ab bc ca 1 a bc 2 (*) a b c abc Từ 0,25 0,25 0,25 0,25 mà a + b + c = abc a bc 1 abc 1 Nên từ (*) a b c 1 2 a b c 0,25 0,25 0,5 2 n n 1 n 1 n 1 Với n N ta có: n n 1 n n 1 Footer Page 29 of 128 * 0,25 0,25 n of 1 2n n 1 Header Page 30 n 128 n n 1 n n 1 n n 1 Suy 2 1 n n 1 1 1 1 * 1 0 nN ) (do 2 n n 1 n n 1 n n 1 Áp dụng kết với n = 1; 2;……… ;2019 ta có: 1 1 1 S 1 1 2 3 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2019 Điều kiện : x -1 Đặt t = x (ĐK: t 0) x = t2 - Phương trình cho trở thành : t4 - t2 + 12t - 36 = t –(t–6) =0 (t-2)(t+3)(t –t+6)=0 t t (t / m) t t 3 (loai) 23 với t) (Vì t2 – t + = ( t- )2 + Với t = x = ( thỏa mãn ) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0,25 0,25 Chứng minh: 3n 2n 3n n 10 với n nguyên dương Ta có: 3n n 3n n 3n 3n n n 0,5 3n 32 1 n1 23 3n.10 2n1.10 3n 2n1 10 10 với n nguyên dương 0,5 Ta có: x xy 2017x 2018y 2019 x xy x 2018x 2018y 2018 x(x y 1) 2018(x y 1) (x 2018)(x y 1) Vì 1=1.1=(-1).(-1) nên ta có TH sau: TH 1: TH 2: x 2018 x 2019 x y y 2019 x 2018 1 x 2017 x y 1 y 2019 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 KL: PT có nghiệm nguyên (x;y) là: (2019;-2019) (2017;-2019) 0,25 mn p Theo ra: = p = (m-1)(m+n) p m 1 0,25 số tự nhiên nên m+n > m-1 Footer PageVì 30m, of n128 Mặt khác p số nguyên tố nên có trường hợp: p2 = 1.p2 = p.p 0,25 m 2 n + 2= p m n p m n p Do suy ra: 0,25 m Header Page 31 of 128 Vì p số nguyên tố nên n+2 số phương Vậy có đpcm 1 2ac Vì nên b b a c ac 2ac a a b a 3ac a 3c a c Do đó: a b 2a 2ac 2a 2a ac 2ac c cb c 3ac c 3a a c Và: 2c b 2c 2ac 2c 2c ac ab c b a 3c c 3a ac 3c ac 3a P Suy ra: 2a b 2c b 2a 2c 2ac 2 a c 2ac 3.2ac 2ac 8ac 4 2ac 2ac 2ac Vậy P với a, b, c thỏa mãn đề Dấu xẩy khi: a=b=c Vậy GTNN P a=b=c 0,25 0,25 0,25 0,25 E A 0,25 B 1 O M H' H D C N a) Xét ∆OEB ∆OMC, ta có: OB = OC(vì ABCD hình vng) B1 C1 45 BE = CM (gt) Suy ∆OEB = ∆OMC (c.g.c) OE = OM O1 O3 Lại có O O3 BOC 90 (vì tứ giác ABCD hình vng) O O1 900 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân O AM BM (Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = BC AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : MN EB Footer Page 31 ME of 128 // BN (theo ĐL Ta-lét đảo) b) Vì AB // CD AB // CN c) Gọi H’ giao điểm OM BN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 // BN OME OH'B (cặp góc đồng vị) Header PageTừ 32ME of 128 Mà OME 45 ∆OEM vng cân O ∆BMH’ (g.g) MH'B 45 C1 ∆OMC OM MC , kết hợp với OMB CMH' (hai góc đối đỉnh) OB MH' ∆CMH’ (c.g.c) MH'C OBM 45 ∆OMB Vậy BH'C BH'M MH'C 90 CH' BN H’ Mà CH vng góc với BN H H H’ hay ba điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm) A K J 10 B I C Giả sử ABC tam giác có cạnh Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng song song với cạnh Tam giác ABC chia thành tam giác có cạnh hình vẽ Gọi I, J, K điểm cạnh BC, CA, AB cho BI = CJ = AK = Ba đường tròn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K phủ kín tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ kín ba tam cạnh 1) Như dùng ba bìa hình tròn bán kính phủ kín tam giác ABC * Số bìa phải dùng 3, ngược lại có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình tròn bán kính Điều khơng thể xảy cạnh tam giác ABC bẳng Hết - Footer Page 32 of 128 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Header Page 33 of 128 PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,5 điểm) ( Tính giá trị biểu thức A = + 15 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn (Thời gian làm bài: 150 phút) )( 10 − ) − 15 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: −2019 2018 N= M= x2 − 2x − x − 2x + Câu (3,0 điểm) Cho số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Tính giá trị biểu thức: B = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 20192 Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f(x), tìm dư phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) Biết f(x) chia cho x - dư f(x) chia cho x + dư Giải phương trình: x3 - 3x2 + 2x + = Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + 2 a) b+c c+a a+b 1 ; ; b) độ dài cạnh tam giác a+b b+c c+a Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI Tính HI, IM; biết AC= 4/3AB diện tích tam giác ABC 24 cm2 Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC E D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB AC M N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB BC F H Biết diện tích tam giác ODH, ONE, OMF a2, b2, c2 a) Tính diện tích S tam giác ABC theo a, b, c b) Chứng minh S 3(a2 + b2 +c2) Hết Họ tên học sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi ) Footer Page 33 of 128 Header Page 34 of 128 SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 2019 Mơn: TỐN Đáp án )( 10 − ) − 15 = + 15 ( + A = + 15.1 ( − ) = + 15 ( − ) A = ( + ) ( − ) = - = ( Ta có A = + 15 )( 15 − 15 10 − ) Điều kiện xác định M x − x − ( x + 1)( x − x +1 x +1 x − x − x x −1 2 x + x x + (*) Điều kiện xác định N x − x + x x2 2x + x2 − 2x − (**) x −1 Từ (*) (**) ta x điều kiện xác định M 1 1 1 1 + + Ta có: + + = + + + a b c a b c ab bc bc 1 a b 1 2(a + b + c) 1 c = + + + 2 + + = 2+ 2+ = + + + a b c b c abc a b c abc abc abc a Vậy 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Theo câu a) Ta có 1 1 1 1 + 2+ = + + = + − (*) a b c a b c a b a+b Áp dụng (*) ta có: 1 1 1 1 1 1+ + = + + = + + = + − 2 1 (−2) 1 ( −2) 1 1 (Vì + − ) 1 1 1 + = + − ;… 32 42 1 1 1+ + = + − 2 2018 2019 2018 2019 Tượng tự + 1 1 + = + − ; 22 32 Suy B = 2019 − 4076360 = 2019 2019 x3 - 3x2 + 2x + = Û ( x + 1)( x2 - 4x + 6) = Footer Page 34 of 128 1+ Header Page 35 of 128 Û x + = (1) x2 – 4x + = (2) (1) Û x = - (2) Û ( x - 2)2 + = Do ( x - 2)2 + ¹ " x nên pt vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S= {- 1} Vì ( x - 1)( x + 2) = x2 + x - đa thức bậc nên f(x) : ( x − 1)( x + 2) có đa thức dư dạng ax + b Đặt f ( x) = ( x − 1)( x + 2).q( x) + ax + b Theo đề f(x) : (x - 1) dư f (1) = a + b = (1) f(x) : (x + 2) dư f (−2) = −2a + b = (2) Từ (1) (2) a = b = Vậy f(x) : [( x - 1)( x + 2) ] dư 2x + 5x2 + y2 = 17 – 2xy 4x2 + (x + y)2 = 17 17 x2 số phương nên x2 = 0; 1; x 17 x Nếu x2 = (x + y)2 = 17 (loại) Nếu x2 = (x + y)2 = 13 (loại) Nếu x2 = x = x = - x = (2 + y)2 = y = - y = - x = -2 (-2 + y)2 = y = y = Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1) Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên b + c > a a(b + c) a a(b + c) + ab + ac a + ab + ac a 2a 2a(b + c) a(a + b + c) b+c a+b+c b c 2b 2c Tượng tự ta có: ; b+a a+b+c c+a a+b+c a b c 2a 2b 2c + + + + = (dpcm) Suy ra: b+c c+a a+b a+b+c b+c+a a+b+c Ta có a + b > c 1 1 2 + + = = b + c c + a b + c + a c + a + b a + b + c (a + b ) + (a + b ) a + b Chứng minh tương tự ta có Vậy 1 1 1 + + ; c+a a+b b+c a+b b+c c+a 1 ; ; độ dài cạnh tam giác (Đpcm) a+b b+c c+a Do AC= ¾ AB (gt) AB.AC = 2S = 48, suy AC = (cm); AB = 8(cm) Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABC ta tính BC = 10 cm, suy AM = (cm) (1) Áp dụng tính chất canh đường cao tam giác vng ABC ta tính BH = AB2 = 3,6(cm) (2) BC Áp dụng tính chất đường phân giác cua tam giác ta có Footer Page 35 of 128 Header Page 36 of 128 IB AB IB AB IB 30 cm (3) = = = IB = IC AC IB + IC AB + AC 10 + Từ (1), (2) (3), ta có I nằm B M; H nằm B I 4,8 Vậy: HI = BI - BH = cm MI = BM - BI = cm A B C I M H Ta có tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC Đặt SABC = d2 Ta có: SODH a DH a DH ; = = = BC S ABC d d BC Vậy S = d = (a + b + c) E S EON b2 ON b HC HC ; Tương tự = = = = BC BC S ABC d d BC c BD = d BC a + b + c DH + HC + DB = = 1 d = a + b + c Suy ra: d BC A F c2 O N M a2 B D 2 2 2 Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a + b 2ab; b + c 2bc; a + c 2ac S = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca S a2 + b2 + c2 + (a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) = 3(a2 + b2 + c2 ) Dấu “=” xẩy a = b =c, hay O trọng tâm tam giác ABC Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa; Điểm tồn quy tròn đến 0,5 Footer Page 36 of 128 b2 H C ... 128 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-20 19 có đáp án - Phòng GD&ĐT Con Cng Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-20 19 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hà Trung Đề thi. .. chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-20 19 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hồi Nhơn Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-20 19 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Lai Vung Đề thi chọn học. .. huyện Lai Vung Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-20 19 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn năm 2018-20 19 có đáp án - Phòng GD&ĐT Thạch
Ngày đăng: 01/03/2019, 21:22
Xem thêm:
