Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 năm học 2016-2017

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 năm học 2016-2017 được biên soạn bởi Phòng Giáo dục và đào tạo huyện Nga Sơn, đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh trong quá trình ôn luyện, cũng cố kiến thức môn Toán lớp 8.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 - 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 04/04/2017 Câu 1: (4 điểm)   a  12  2a  4a  a3  4a   : Cho biểu thức M =  a3  a   4a  3a   a  1   a) Rút gọn M b) Tìm a để M > c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu 2: ( điểm) 1) Giải phương trình: x x x6 x8    a) 98 96 94 92 b) x6 - 7x3 - = 2) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 1 x x  2(x  m)    xm xm m2  x 3) Tìm a, b cho f  x   ax3  bx  10x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  Câu 3: ( điểm) 1) Cho: x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính A = x2015 + y2015 + z2015 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau người nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến B định Tính quãng đường AB? Câu 4: (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu 5: (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c 1   P= 2015  a 2016  b 2017  c Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Mơn: Tốn Nội dung Câu a (2đ) Điều kiện: a  0; a  Điểm 0,5  a  1   2a  4a   : a3  4a  a3  a   4a  3a   a  1   Ta có: M =    a  12  2a  4a  4a     =  a  a   a  1 a  a  a   a a    a  1 =    2a  4a  a  a   a  1  a   a 1  0,5  4a a 4 0,5 a3  3a  3a    2a  4a  a  a  4a = a 4  a  1 a  a    a  4a 4a = a 1 a  a 4 4a Vậy M = với a  0; a  a 4 0,5 b) (1đ) M > 4a > 0suy a > kết hợp với ĐKXĐ Vậy M > a > a  c) (1đ) 0,5 = 4.0đ  0,5 0,5    a   a  4a  a  2  4a  1 Ta có M = = a2  a 4 a 4  a  2 Vì 2 a 4 0  a  2 với a nên  Dấu “=” xảy a2   a  2 0,5  với a a2  0a2 0,5 Vậy MaxM = a = a) (1đ) x2 x4 x6 x8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ( 98 96 94 92 1 1 + )=0  ( x + 100 )( 98 96 94 92 1 1  Vì : + 98 96 94 92 Ta có 5,0đ 0,5 Do đó: x + 100 =  x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 b) (1đ) Ta có x6 – 7x3 – =  (x3 + 1)(x3 – 8) =  (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – ) + > x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x, nên (*)  (x + 1)(x – 2) =  x {- 1; 2} 0,5 0,5 0,5 2) (2đ) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm  x x  2( x  m)  (1)   xm xm m2  x 0,5 ĐKXĐ: x+ m  x- m   x  m  (1  x)( x  m)  ( x  2)( x  m)   2( x  m)  (2m  1) x  m  2(*) 3 + Nếu 2m -1=  m  ta có (*) 0x = (vô nghiệm) 2 m2 + Nếu m  ta có (*)  x  2m  - Xét x = m  0,5 0,25đ m2  m  m   2m  m 2m  1   2m  2m    m  m     m     2  2 (Không xảy vế trái ln dương) Xét x= - m m2  m  m   2m2  m  m2   m  1 2m  1 Vậy phương trình vơ nghiệm m  m = 1 0,25đ  0,5đ 3)(1đ) Ta có : g  x   x  x  2=  x 1 x   Vì f  x   ax3  bx  10x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x)  ax  bx  10x  4=  x+2   x-1 q  x  0.25đ 0.25đ Với x=1  a+b+6=0  b=-a-6 1 0.25đ Với x=-2  2a-b+6=0  2 Thay (1) vào (2) Ta có : a=-4 b=-2 0.25đ 1)(2đ) Từ x + y + z =  (x + y + z)3 = Mà: x3 + y3 + z3 = 3 3  (x + y + z) - x - y - z =   x  y  z   z   x3  y   0,25 0,25     x  y  z  z   x  y  z    x  y  z  z  z    x  y  x  xy  y  0,25   x  y   3z  3xy  yz  3xz   0.25đ   x  y   x  y  z  2xy  yz  2xz+xz  yz  z  z  x  xy  y     x  y   y  z  x  z   x  y  x   y   y  z    y  z    x  z   x   z * Nếu x   y  z   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu y   z  x   A  x 2015  y 2015  z 2015  * Nếu x   z  y   A  x 2015  y 2015  z 2015  2) (2điểm) Gọi x (km) độ dài quãng đường AB ĐK x > x (4,0đ) Thời gian dự định hết quãng đường: (giờ) 30 Quãng đường sau giờ: 30 (km) Quãng đường lại : (x-30) (km) x  30 Thời gian quãng đường lại : (giờ) 40 x x  30 1  Lập phương trình : 30 40 0,5 0,5  x  30.5  3( x  30)  x  60 (thỏa mã đk) Vậy quãng đường AB 60km E A B 1 O M H' H D C N a) (2đ) Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC 0,5 Và B1  C1  450 0,5 BE = CM ( gt ) Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) 4(5đ)  OE = OM O1  O3 0,5 Lại có O2  O3  BOC  900 tứ giác ABCD hình vng 0,5 O2  O1  EOM  900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân O b)(1.5đ) Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*)  MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) 0,5 0,5 + AB // CD  AB // CN  Ta có : AM AE   ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) MN EB c)(1.5đ) Gọi H’ giao điểm OM BN Từ ME // BN  OME  MH ' B Mà OME  450 ∆OEM vng cân O 0.5 0,25  MH ' B  450  C1  ∆OMC  ∆BMH’ (g.g) OM MC  , kết hợp OMB  CMH ' ( hai góc đối đỉnh) BM MH ,  ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c)  OBM  MH ' C  450 0,5 0,5 Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  90  CH '  BN Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Ta có 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c    P= 2015  a 2016  b 2017  c b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   = 2015  a 2016  b 2017  c Đặt 2015 + a = x; 2016 + b = y; (2,0đ) 2017 + c = z ; (x,y,z > 0) b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   P= 2015  a 2016  b 2017  c yz zx x y y x x z y z P         x y z x y z x z y y x z x y z 2 2  (Co  si) x y x z z y Dấu “=” xảy x = y = z suy a = 673, b = 672, c = 671 Vậy giá tị nhỏ biểu thức p a = 673, b = 672, c = 671 0,25 0,5 0,5 2 0,5 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016 - 2017 Mơn: Tốn Nội dung Câu a (2đ) Điều kiện: a  0; a  Điểm 0,5  a  1... MaxM = a = a) (1đ) x2 x4 x6 x 8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x 8 +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) ( 98 96 94 92 1 1 + )=0  ( x + 100 )( 98 96 94 92 1 1  Vì : + 98 96 94 92 Ta có 5,0đ 0,5 Do... tị nhỏ biểu thức p a = 673, b = 672, c = 671 0,25 0,5 0,5 2 0,5 Chú ý: Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh chứng minh hình mà khơng vẽ hình khơng chấm điểm hình