DE THI HOC SINH GIOI CAP TRUONG

PHẦN HÌNH HỌC Câu 4: 4đ Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.. Chứng minh rằng:.[r]

SỞ GD&ĐT THANH HÓA Trường THPT THẠCH THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề) I PHẦN GIẢI TÍCH    1  x     x    16 0 x x   Câu 1: a)(1.5đ) Giải phương trình:  b) (1.5đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm phương trình: x   2m  1 x  4m  0 là nhỏ Câu 2: (1.5đ) Tìm tập hợp các giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: y  2x  x 3x  11  x  3x  2x  Câu 3: (1.5đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì a, b, c, d Chứng minh số A a b c d    a  b  c a  b  d b  c  d a  c  d không phải là số nguyên II PHẦN HÌNH HỌC Câu 4: (4đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm tam giác MCD  1  IG  AB  DM a Chứng minh rằng:    b Lấy J thỏa 2CJ 2AB  JM Chứng minh IJ song song với AB     AB  a, BC  2a u ABC  60 c Giả sử và Tính độ dài AB  2AC      2EA  3EB  5EC 2 ED  EG d Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: Hết Họ tên thí sinh……………………………………Số báo danh ……………… Chữ kí giám thị Chữ kí giám thị ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2012-2013 Câu 4:    1  x     x    16 0 x x   Câu 1: a)  (1) x  ĐK: t x  Đặt 1  x  t  x x  t    t 5  (1)  2t  3t  20 0 A G  t   x    b) B  x 2  5  x t  2 C M H I R J x   2m  1 x  4m  0 (2) D  (2) có nghiệm   0  4m  12m  13 0 F   2m  3  0, m  x1  x2 2m   x x  4m   Theo viet:   A  x12  x22 4m  m   2m  1  6 A 6  m   y Câu 2:  2x  x 3x  11  x  3x  2x  2 3  2x 0  3x  11 0  1  x 0    x  3x2  2x  0  y có nghĩa  x 2   x  11    x 1    x    3x  2x  0       1    IG AG  AI  AB  AC  AC  AD  AM a     1   AB  2DM  DM  AB  DM 3     b.        2CJ JM  2AB  2AJ  2AC AM  AJ  2AB         3AJ 2AB  2AC  AM 5AM  AJ  AM MJ 2 Mà M là trung điểmcủa AD nên JD MI 2 Gọi K là trung điểm CD, ta có IK MJ MI   IJ // CD // AB Vậy ta có: JD IK c Kẻ AH vuông góc với BC Ta có: BH AB.cos600  a a AH AB.sin600  2,    x 1 Từ đó ta có Câu 3: Vì a, b, c, d  Z nên  A a b c d    abc abd bc d acd a b c d     a bcd a b cd abc d ab c d 1  x , y, z   x x xz x   1  y 1 y y  z y  Mà Thật vậy,  xy  xz  yz  xy  xz  xy  yz  x  y  z  y  x  z x xz  y yz a ad  Nên a  b  c a  b  c  d  3a  AC  AH  CH a 2  BC AB  AC2 CH BC  BH  Vậy tam giác ABCvuông  tạiA.   Dựng BF 2AC  AB  2AC AB  BF AF và BF 2AC 2a   u  AB  2AC AF  AB2  BF2 a 13     d Lấy điểm S cho 2SA  3SB  5SC 0  5   AS  AC  AB  S là điểm cố định 4 Gọi  Rlà trung  điểm  DG Khi đó, ta có: 2EA  3EB  5EC 2 ED  EG    4ES 2 2ER  ES ER Vậy ta suy tập hợp điểm E là đường trung trực đoạn thẳng SR b bc  a b d a b c d c ac  bcd abcd d d b  acd abcd Suy A  Do đó  A   A không phải là số nguyên (Học sinh làm bài cách khác mà đúng cho điểm tối đa)