SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK NÔNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN – Vòng Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 30/10/2014 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Bài (5,0 điểm) ( ) 3 xy + y + = x +1 − x Giải hệ phương trình: x (9 y + 1) + 4( x + 1) x = 10 Bài (5,0 điểm) u = (n ∈ N *) Cho dãy số (un) thỏa mãn: u = u − un + n +1 n n ∑ lim Tìm u k =1 k ÷ ÷ Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B, C đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm T, đường thẳng TD EF cắt điểm S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng TB, TC; M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh H, M tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF XTY b) Chứng minh đường thẳng SH qua trung điểm đoạn thẳng BC Bài (5,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: xyz = 2 x8 + y8 y8 + z8 z + x8 + + ≥8 Chứng minh rằng: x + y4 + x2 y2 y4 + z4 + y2 z2 z4 + x4 + z2 x2 ………… Hết…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh: ………………… Chữ ký giám thị 1:………………………….Chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK NÔNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN – Vòng Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 30/10/2014 ĐỀ ĐỀ NGHỊ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Bài Giải hệ phương trình: (5,0 điểm) ĐK: x ≥ Nội dung Điểm ) ( (1 ) 3 xy + y + = x +1 − x x ( y + ) + 4( x + ) x = 10 ( ) Nhận xét: x = không thỏa mãn hệ phương trình Xét x > 0,5 x +1 + x Phương trình (1) ⇔ y + y y + = 0,25 x ⇔ y + y (3 y ) + = + x x + (3) x Từ (1) x > ta có: y > Xét hàm số f(t)= t + t t + , t > Ta có: f’(t) = + t + + t2 t +1 >0 Suy f(t) đồng biến (0; +∞) ⇔ 3y = x x 2 Đặt g(x)= x + x + 4( x + 1) x − 10 , x > Ta có: g’(x) > với x > ⇒ g(x) hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) Phương trình (3) ⇔ f(3y)= f Ta có: g(1) = Vậy phương trình g(x) = có nghiệm x = Với x =1 ⇒ y = 3 Vậy hệ có nghiệm nhất: (1; ) Ta có: un +1 − un = (un − 4un + 4) ≥ 0, ∀n ⇒ Dãy không giảm Khi ta có: L = L – L + ⇔ L = (Vô lý) Bài (5,0 Nếu có số M: un ≤ M với n, tồn lim un = L Vì un ≥ u1 ⇒ L ≥ u1 điểm) ⇒ lim un = + ∞ 2 Ta có: u n − 2u n + = 2u n +1 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 = u n (u n − 2) 2(u n +1 − 2) 1 1 = ⇔ = − ( ∀n ∈ N * ) u n +1 − u n u n − u n +1 − 1 = − u1 − u n +1 − ⇔ u n (u n − 2) = 2(u n +1 − 2) ⇔ 1 − un − un n Do đó: ∑ k =1 u k ⇔ ⇒ lim ∑ k =1 u k n Bài (5,0 điểm) = =2 u1 − H B 1,0 E S X 1,0 Y A F 0,5 0,5 O D M C T a) Do tứ giác BFHD, DHEC CBFE nội tiếp nên · · · · · · FDH = FBH = FBE = FCE = HCE = HDE · Suy DH phân giác góc EDF Tương tự EH phân giác · · góc DEF FH phân giác góc EFD Từ H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF a a.sin A · · · = MCT = BAC ; MB = MC = ⇒ d ( M , BT ) = d ( M , CT ) = Do MBT 2 0,5 0,5 0,5 Ta có: · · · · · · · MEF = HEF + HEM = HAB + HEM = HAB + HBM = 900 − B + 900 − C = A BC a a.sin A ME = = ⇒ d ( M , EF ) = 2 a Do d ( M , TB ) = d ( M , TC ) = d ( M , EF ) = ×sin A nên M tâm đường tròn nội tiếp tam giác XTY b) Do tứ giác AFDC nội tiếp TX tiếp xúc với ( O ) nên · · · · · FDB = FAC = BAC = CBT = DBT Suy TX || DF Tương tự có TY || DE DF Từ đó, với k = phép vị tự tâm S tỷ số k biến tam giác DEF thành tam TX giác TYX Và biến H (tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ) thành M (tâm đường tròn nội tiếp tam giác TYX ) suy S , H , M thẳng hàng 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x.y.z = 2 Bài x8 + y8 y8 + z8 z + x8 (5,0 Chứng minh rằng: + + ≥8 x4 + y4 + x2 y2 y4 + z + y2 z z + x4 + z x2 điểm) Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 a.b.c = 1,0 a2 + b2 3(a + b ) 2 Do ab ≤ nên a + b + ab ≤ Dấu “=” xảy ⇔ a=b 2 0,5 a4 + b4 a4 + b4 a4 + b4 ≥ ≥ (a + b ) 2 Ta có: a + b + ab Ta chứng minh: (1) a + b2 a + b2 2 ( ) ( ) Thật vậy: (1) ⇔ 2( a + b ) ≥ (a + b ) ⇔ (a2 – b2)2 ≥ (luôn đúng) Do ta được: a4 + b4 ≥ (a + b ) Dấu “=” xảy ⇔ a2=b2 ⇔ a=b 2 a + b + ab Áp dụng BĐT ta có: b4 + c4 ≥ (b + c ) Dấu “=” xảy ⇔ b=c 2 b + c + bc c4 + a4 ≥ (c + a ) Dấu “=” xảy ⇔ c=a 2 c + a + ca 0,5 0,5 0,5 0,5 Cộng vế BĐT ta được: a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥ (a + b + c ) (2) Dấu “=” xảy ⇔ 2 2 2 a + b + ab b + c + bc c + a + ca 0,5 a=b=c Theo BĐT Cô-si ta có: 2 (a + b + c ) ≥ 2.3 a b c = Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c 0,5 Do ta có (ĐPCM) Dấu đẳng thức xảy ⇔ x = y = z = 0,5 Ghi chú: Nếu thí sinh làm theo cách khác đáp án cho điểm tối đa Giáo viên đề: Nguyễn Văn Dung