tổng hợp đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 12 có kèm đáp án

www.giaoducviet.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: ( 5,0 điểm ) a Giải phương trình sau: x  x    x  x  x  x với x  R   b Giải phương trình: 2sin x  sin x   cos x  sin x Câu 2: ( 5,0 điểm ) a Cho tam giác ABC vuông cân B , cạnh AB  Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2  MB  MC Tìm quỹ tích điểm M b Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN hợp với góc 600 , BM  6, CN  Tính độ dài trung tuyến cịn lại tam giác ABC Câu 3: ( 4,0 điểm ) Cho dãy số  un  xác định u1  un 1  3un  với n  a Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  b Tính tổng S  u12  u22  u32   u2011 Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: M   a  b  c    a  b  c   6abc Câu 5: ( 3,0 điểm )  x   y   x  xy  2m   Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:   x  3x  y  m  với x, y số thực ……………… Hết ……………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… www.giaoducviet.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011 ( Hướng dẫn có 04 trang ) LONG AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Câu Đáp án a ( 3,0 điểm ) (5,0 điểm) Khi phương trình trở thành: Đặt t  x  x  1, t  4t  t  7t   t  6t   t  4t          Thang điểm 0,5  t    t     t  t  t  t   (*) 0,5 t  t   (*)   t  t    0,5 2 1 t  t   có nghiệm t  2 1  21  Với t  t  t   có nghiệm t  2  Với t  0,5  1  1  Khi t  x  x       2x  2x 1     x 0,5 1   1   x  2 Khi  1  21  1  21 t x  x      x  x   21    2   0,5 1  19  21 1  19  21 x  2 b ( 2,0 điểm ) x Phương trình cho viết lại: 3sin x  sin x cos x  cos x     sin x  cos x    sin x  cos x 0,5  0,5 sin x  cos x  0,5 sin x  cos x   sin x  cos x       x    k , k  Z 3 sin x  cos x  phương trình vơ nghiệm sin x  cos x   tan x   a (2,0 điểm ) (5,0 điểm)  Chọn hệ trục tọa độ Bxy vng góc cho tia Bx qua A tia By qua C Ta có: B  0;0  , A  2;0  , C  0;  Giả sử M  x; y   MA  MB  MC 2 0,5    x   y  x2  y  x2    y  2 0,5  x  y  4x  y  0,5  Phương trình phương trình đường trịn tâm I  2; 2  , bán kính R  2 0,5  Vậy quỹ tích điểm M đường tròn tâm I  2; 2  , bán kính 0,5 R2 b ( 3,0 điểm ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC  Xét trường hợp: BGC  1200 Ta có: BC  GB  GC  2GB.GC.cos120  76 MC  GM  GC  2GM GC.cos 60  Vậy AC2 = 112 NB  GB  GN  2GB.GN cos 60  AC  28 AB 2  13 Vậy AB = 52 0,5 0,5 Vậy độ dài trung tuyến lại : ma  AC  AB BC   63  ma  0,5  Xét trường hợp: BGC  600 Ta có : BC  GB2  GC  2GB.GC.cos600  28 AC MC  GM  GC  2GM GC cos120   52 2 0,5 Vậy AC2 = 208 NB  GB  GN  2GB.GN cos120  Vậy AB2 = 148 AB  37 0,5 Vậy độ dài trung tuyến lại : 0,5 AC  AB BC 2 ma    171 ma  171 Câu a 2,0 điểm (4,0 điểm) Dễ thấy un  0, n  N * Đáp án Thang điểm 0,5 2 Từ un 1  3un   un 1  3un  Đặt  un có: 1  3vn   1     1 Đặt xn   ta có: xn 1  xn Từ suy  xn  cấp số nhân với x1  , công bội Nên: xn  2.3n 1   2.3n 1   un  2.3n 1  0,5 0,5 0,5 b 2,0 điểm S  2.30  2.31  2.32   2.32010  2011 0,5   30  31  32   32010   2011 0,5  0,5  32011  1 1  2011 0,5  32011  2012 Chứng minh được:  a  b  c    a  b  c   0,5 Suy ra: a  b  c   a  b  c    a  b  c  0,5 (3,0 điểm) 3  abc  M   a  b  c   6abc      3   Vậy GTLN M (3,0 điểm) 0,5 3 Giá trị đạt a  b  c  0,5 + 0,5  x  x   x  y   2m   Viết lại hệ:  x  2x  x  y  m  0,5 0,5 Đặt u  x  x, v  x  y Dễ có: u  1 u.v  2m  Hệ trở thành:  u  v  m 0,5 Suy ra: u  m  u   2m   u   m  u    u2  với u  1 u2 u  4u   0, u  1 f / u   u  2 u2  m u2 0,5 Xét hàm f  u   0,5 Bảng biến thiên: u f / u  1  + f u   2 Kết luận : m  2 0,5 0,5 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2012 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI Môn thi : Toán - Bảng A Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 02/12/2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3 điểm) Chứng minh dãy số dương (an ) thỏa mãn a2 = an + (n ∈ N∗ ) n+1 có chứa số hạng vơ tỉ Câu (3 điểm) Giải phương trình sau tập số thực : √ x2 − x + = x3 + 2x2 − 3x + x2 + Câu (3 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a + 4a + b + c b + 4b + c + a c ≤√ 4c + a + b Câu (3 điểm) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn : f(xf(y) + x) = xy + 2f(x) − 1, ∀x, y ∈ R Câu (4 điểm) Cho dãy số (xn ) xác định sau : x1 = 24, x2 = 60 xn+1 = xn + xn−1 (n = 2, 3, ) n(n + 1)(n + 2) Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Câu (4 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R, OC bán kính vng góc với AB I trung điểm OC, M điểm di động (O) Tiếp tuyến M (O) cắt tiếp tuyến A, B (O) D E; AE cắt BD N Xác định vị trí điểm M (O) để tam giác NIA có diện tích lớn HẾT • Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay • Giám thị khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2012 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : Tốn - Bảng A bn với gcd(bn , cn ) = cn (0,5 điểm) Từ giả thiết a2 = an + ta có n+1 Câu (3đ) Giả sử trái lại số hạng dãy số hữu tỉ Đặt an = b2 b2 bn b n + cn n+1 n+1 +1⇔ = = cn+1 cn cn+1 cn (0,5 điểm) Do gcd(bn , cn ) = nên gcd(bn + cn , cn ) = (0,5 điểm) Từ ta hai dãy số nguyên dương (bn ) (cn ) thỏa mãn b2 = bn + cn , c2 = cn với n = 1, 2, n+1 n+1 (0,5 điểm) Suy bn = b2 − cn = b2 − c2 = (bn+1 − cn+1 )(bn+1 + cn+1 ) Chú ý n+1 n+1 n+1 bn+1 > cn+1 ⇒ bn+1 − cn+1 ≥ (0,5 điểm) Từ bn ≥ bn+1 + cn+1 > bn+1 với n Như dãy (bn ) dãy giảm số ngun dương Điều vơ lí (0,5 điểm) Câu (3đ) Phương trình cho viết lại √ x2 − x + = x3 + x2 − 2x + (x2 − x + 1) x2 + (1) √ (0,5 điểm) Đặt a = x2 − x + 1, thay vào (1) ta x2 + a = x3 + x2 − 2x + a2 ⇔ a2 − x2 + a + x3 + x2 − 2x = (2) (0,5 điểm) Ta có ∆ = x2 + 2 − x3 + x2 − 2x = x4 − 4x3 + 8x + = x2 − 2x − x2 − 2x + = x2 − 2x − x2 + ± |x2 − 2x − 2| ⇔ • Với a = x + 2, ta có Vậy (2) ⇔ a = √ x2 − x + = x + ⇔ a = x2 − x (0,5 điểm) a = x + x ≥ −2 2 ⇔x = − x − x + = (x + 2) (0,5 điểm) • Với a = x2 − x, ta có √ x2 − x + = x2 − x (3) √ Do a = x2 − x + nên từ (3) ta √ 1+ a≥0 2 a=a −1⇔a −a−1=0 ⇔ a= (0,5 điểm) Từ √ √ √ 1± 3+2 1+ 2 x −x+1= ⇔ 2x − 2x − + = ⇔ x = 2 √ 1± 3+2 Phương trình cho có nghiệm x = − , x = (0,5 điểm) Câu (3 điểm) Theo bất đẳng thức Becnuli ta có 6a = 4a + b + c 6a 4a + b + c 6a ≤ +1− 4a + b + c (1) (0,5 điểm) Theo bất đẳng Cauchy (Cơ-si), ta có 1 a + ≥ ⇒ ≤ a + b + c 3a 4a + b + c 4a + b + c a + a+b+c (0,5 điểm) Kết hợp với (1) ta 6a 3 a ≤ + + (2) 4a + b + c a+b+c (0,5 điểm) Tương tự ta có 6b ≤ 4b + c + a b + a+b+c 3 + (3) 6c ≤ 4c + a + b c + a+b+c 3 + (4) (0,5 điểm) Cộng (2), (3), (4) ta 6a + 4a + b + c 6b + 4b + c + a 6c ≤ (1 + 1) + = 4c + a + b (0,5 điểm) Suy a b c 4 + + ≤√ 4a + b + c 4b + c + a 4c + a + b Dấu xảy ba số a, b, c (0,5 điểm) Câu (3 điểm) Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài, (1) f(xf(y) + x) = xy + 2f(x) − 1, ∀x, y ∈ R Trong (1) thay x = ta f(0) = (0,5 điểm) Trong (1) thay x = ta (2) f (f(y) + 1) = y + 2f(1) − 1, ∀y ∈ R (0,5 điểm) Trong (2) lấy y = −2f(1) ta f (f (−2f(1)) + 1) = −1 Đặt f (−2f(1)) + = a Khi f (a) + = ⇒ xf (a) + x = ⇒ f (xf (a) + x) = f(0) = 1, ∀x ∈ R (0,5 điểm) Vậy theo (1) ta có a = f (xf (a) + x) = ax + 2f(x) − ⇒ f(x) = − x + 1, ∀x ∈ R Suy f(x) có dạng f(x) = cx + 1, với c số (0,5 điểm) Thay vào (1) ta c (xf(y) + x) + = xy + 2(cx + 1) − 1, ∀x, y ∈ R ⇔c [x(cy + 1) + x] = xy + 2cx, ∀x, y ∈ R ⇔c2 xy + 2cx = xy + 2cx, ∀x, y ∈ R Ta c = ±1 (0,5 điểm) Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu đề f(x) = x + 1, ∀x ∈ R ; f(x) = −x + 1, ∀x ∈ R (0,5 điểm) Câu (4 điểm) Dễ thấy xn > 0, ∀n ∈ N∗ , xn+1 ≥ xn , ∀n = 1, 2, Suy dãy số cho dãy số tăng (0,5 điểm) Theo giả thiết ta có: xn−1 (n + 2)(n + 1)n xn−1 = (n + 2)(n + 1)n xn−1 = (n + 2)(n + 1)n xn−1 = (n + 2)(n + 1)n xn+1 = + xn xn−2 + xn−1 (n + 1)n(n − 1) x3 x2 x1 + ··· + + + + x2 6.5.4 5.4.3 4.3.2 x3 + ··· + + 62 6.5.4 + (0,5 điểm) (1) (0,5 điểm) 2480 , ∀n = 3, 4, Ta có Ta chứng minh quy nạp xn < 39 x1 = 24 < 2480 2480 x1 2480 , x2 = 60 < , x3 = x2 + = 60 + = 61 < 39 39 2.3.4 39 (0,5 điểm) 2480 Giả sử xk < , với k cho ≤ k ≤ n Khi từ (1) ta có 39 xn+1 < 2480 x1 x2 + ··· + + + x2 + 39 (n + 2)(n + 1)n 6.5.4 5.4.3 4.3.2 (2) Do x1 = 24, x2 = 60 nên từ (2) suy xn+1 < 2480 + ··· + + 62 39 (n + 2)(n + 1)n 6.5.4 (3) (0,5 điểm) Ta có 1 1 = − (k + 2)(k + 1)k k(k + 1) (k + 1)(k + 2) (0,5 điểm) Vậy từ (3) ta 2480 1 − + 62 39 4.5 (n + 1)(n + 2) 1240 2480 < + 62 = 39 4.5 39 xn+1 < 10 SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Tốn - Vịng II (Khóa ngày 12 tháng 10 năm 2011) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất Câu Nội dung x a) I = lim  2011  x  2011 x x 0  Điểm    2011  x   lim  x  x  x 0  x  0,25   0,25 Ta có: lim x  x  x 0 lim    lim 2011  5x  x x0  lim x0 x0  1 5x   1 5x  2011(5x) 1  5x  1  5x   1  5x    1  5x   1  5x   x 5.2011 0,25   1  5x    2011 0,25 Vậy I = - 2011 g: - Đáp án Tốn - Vịng 70    cos x  cos x  cos x  cos x cos x  lim x 0 x 0 x sin x x sin x x x 2sin sin  cos x  lim   lim Ta có: lim x 0 x sin x x 0 x sin x x 0 x x 2cos 2 cos x  cos x cos x 1  cos x  2cos x sin x lim  lim  lim 1 x 0 x 0 x sin x  cos x x sin x x0  cos x x b) J = lim  Vậy J =     0,25 0,25  0,5 0,25 3  x  xy  y  y (1)    3x   y   (2)  ĐK: x   x x Giải (1): (1)  x  xy  y  y      y  y ( y=0 không nghiệm  y y hệ phương trình với x) Xét hàm số f (t )  t  t , t  R f '(t )  3t   0t  R Vậy hàm số đồng biến R 0,5 x x Ta có: f    f ( y )   y  x  y y  y Thay vào (2) ta có: x   x    x   x  10 x   16 x   x  10 x    x    x 1 x  10 x   x  24 x  36  Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; -1) (1; 1) 0,5 0,5 0,25 Ta có: 0,5    b2  c2 b2  c2 1 b  c  1 3 a 2b  a c 2 2  a 1 b  c  a  Tương tự: 2 g: - Đáp án Toán - Vòng 0,25 71 0,5 b 2c  b a c a  c 2b 2 2 b 1 c  a  b  ; c 1 a  b  c  3 2 Do đó: VT  a  b  c  (đpcm) Dấu xảy a  b  c  3 2 0,5 0,25 S I H A 0,5 D M O B C a) Ta có AC(SBD)ACSD Kẻ CH vng góc AI H  CHSD (vì (ACD)(SAD)) Suy SD(ACI) 0,25 0,5 b) Gọi O giao điểm AC BD, M trung điểm CD  OMCD, SMCD  ((SCD), (ABCD))  (SM, OM)  SMO  SMO   0,25 Gọi a độ dài cạnh đáy, suy SO  a tan  a tan   ,SD  2 Ta có SD(ACI) SDAI  OD  DI.SD  0,25 0,25 DI OD 2   2 SD SD tan   V1 DI   VSACD DS tan   VSABCD  2VSACD  0,25 V1 V1 1     cos  2 V tan   V  V1 tan   g: - Đáp án Tốn - Vịng 0,25 72 Giả sử n  a1a2 a3a4b1b2b3b4 số thú vị Do chữ số khác nên n hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Tổng số 36 nên n chia hết cho Do 1111 có ước số chung lớn nên n chia hết cho 9999 Đặt x  a1a2 a3a4 ; y  b1b2b3b4 , ta có: n  x.104  y  9999 x  ( x  y ) chia hết cho 9999 nên (x+y) chia hết cho 9999 Ta có  x  y  2.9999  x  y  9999 Do a1  b1  a2  b2  a3  b3  a4  b4  Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có cặp (1; 8), (2; 7), (3; 6), (4; 5) Số hoán vị cặp 4! Với cặp ta có cách chọn Vậy số số thú vị 4!.24  384 g: - Đáp án Tốn - Vịng 73 0,5 0,5 0,5 www.giaoducviet.net TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ———–***———– ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: Toán học Ngày thi thứ Thời gian làm bài: 180 phút Câu Giải hệ phương trình  x2 + y + = y + +    √ √ y2 + z2 + = z2 + +    √ z + x + = √x2 + + 2n − an−1 với 2n , với n = 1, 2, 3, Chứng minh Câu Cho dãy số (an )n≥1 xác định a1 = an = n n ≥ Ta lập dãy số (bn )n≥1 sau: bn = i=1 dãy số (bn )n≥1 có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Câu Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, có trực tâm H Đường trịn với tâm trung điểm BC qua H cắt đường thẳng BC điểm A1 , A2 ; đường tròn với tâm trung điểm CA qua H cắt đường thẳng CA điểm B1 , B2 ; đường tròn với tâm trung điểm AB qua H cắt đường thẳng AB điểm C1 , C2 Chứng minh điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 nằm đường trịn Câu Xét lưới vng vơ hạn Hai gọi kề chúng có cạnh chung Ta cần tô mầu n ô cho với tơ mầu có số lẻ kề với tơ mầu Hỏi thực hay khơng (1) n = 2010 (2) n = 2011 74 www.giaoducviet.net TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ———–***———– ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: Tốn học Ngày thi thứ hai Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho a, b, c ba số dương, chứng minh (a + b + c)3 4(a + b + c) − ≥c − ab(a + c) a b a+c n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Câu Mỗi số n nguyên dương, ta kí hiệu T (n) = Hàm số f : Z → Z gọi may mắn phương trình T (x) = f (y) vơ T (y) nghiệm có số hữu hạn nghiệm nguyên dương (x, y) (1) Chứng minh f (x) = k với x ∈ Z, k > số nguyên cho trước f may mắn n (2) Cho q(x) = j=0 aj xj đa thức hệ số nguyên thỏa mãn q − = an lẻ Chứng minh hàm số g(x) = (x + 1)(x + 3) (q(x))2 (với x ∈ Z) may mắn Câu Cho tam giác không ABC Đường tròn nội tiếp tâm I tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng A0 , B0 , C0 Gọi A1 , B1 , C1 theo thứ tự chân đường phân giác góc I tam giác IBC, ICA, IAB; A2 , B2 , C2 theo thứ tự chân đường phân giác góc A0 , B0 , C0 tam giác A0 B0 C0 I0 tâm đường tròn nội tiếp tam giác A0 B0 C0 Chứng minh (1) IA1 song song với I0 A2 (2) Các đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy điểm nằm đường thẳng II0 Câu Có hai đội quần vợt thi đấu với nhau, đội có n đấu thủ (10 ≤ n < 210 ) Biết hai đấu thủ thuộc hai đội gặp trận, khơng có kết hịa Chứng minh có 10 đấu thủ thuộc đội mà đấu thủ thuộc đội cịn lại phải thua 10 đấu thủ 75 www.giaoducviet.net 76 www.giaoducviet.net 77 www.giaoducviet.net 78 www.giaoducviet.net 79 www.giaoducviet.net 80 www.giaoducviet.net 81 www.giaoducviet.net 82 www.giaoducviet.net 83 www.giaoducviet.net 84 ... THUẬN (Đề thi thức) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 – 2 012 Khóa ngày: 17 / 11 / 2011 Mơn thi: TỐN Cấp: THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ: (Đề thi có. .. TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2 012 MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) x2 có đồ thị (C) điểm... HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011 ( Hướng dẫn có 04 trang ) LONG AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Nếu thí sinh làm không