đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8; đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;đề hsg toán 8; tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8;ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01ĐỀ BÀICâu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.b) Rút gọn biểu thức A.c) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dương.Câu 2. (4,0 điểm): a) Giải phương trình: b) Tìm các số nguyên x, y sao cho: 3x2 + 4y2 = 6x +13Câu 3. (3,0 điểm): a) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho: (Với n ; n >2).b) Cho M = với x > 0. Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.Câu 4. (5,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, E là một điểm thuộc cạnh AC và không trùng với A, K là trung điểm của đoạn AE. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với đường thẳng AB tại F cắt đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng BC tại điểm D.a) Chứng minh tứ giác BCKF là hình thang cân.b) Chứng minh: EK.EC = ED.EFc) Xác định vị trí của điểm E sao cho đoạn KD có độ dài nhỏ nhất.Câu 5. (2,0 điểm): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, gọi I là điểm bất kì trên cạnh BC. Đường thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng đi qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh: DE = BK.Câu 6. (2,0 điểm): Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng: đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8; đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;đề hsg toán 8; tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8;ĐỀ THI HỌCđề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8; đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết);đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8;đề hsg toán 8; tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8;ĐỀ THI HỌC
“Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 01 ĐỀ BÀI x + 1 − x 16 x 16 x − x − − ÷: Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức A = − x + x 4x − 4x − 4x + a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị dương Câu (4,0 điểm): x x + 10 x + 2015 a) Giải phương trình: = x + x + 2015 x + 8x + 2015 b) Tìm số nguyên x, y cho: 3x2 + 4y2 = 6x +13 Câu (3,0 điểm): a) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho: abc = n -1 (Với n ∈ Z ; n >2) cba = (n − 2) x − x + 2015 b) Cho M = với x > Tìm x để M có giá trị nhỏ Tìm giá trị x2 nhỏ Câu (5,0 điểm): Cho tam giác ABC, E điểm thuộc cạnh AC không trùng với A, K trung điểm đoạn AE Đường thẳng qua E vuông góc với đường thẳng AB F cắt đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng BC điểm D a) Chứng minh tứ giác BCKF hình thang cân b) Chứng minh: EK.EC = ED.EF c) Xác định vị trí điểm E cho đoạn KD có độ dài nhỏ Câu (2,0 điểm): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, gọi I điểm cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K, đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D E Chứng minh: DE = BK Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c số dương thỏa mãn: abc = Chứng minh rằng: 1+ ≥ a + b + c ab + bc + ca Hết “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 01 Câu Câu (4,0 điểm) Biểu điểm Nội dung a) (1,0 điểm) : x + 1 − x 16 x 16 x3 − x − − ÷: Ta có A = 1− 2x 1+ 2x 4x − 4x − 4x + 2x +1 − 2x 16 x − + = 1− 2x 1+ 2x ( 1− 2x) ( 1+ 2x ) ĐKXĐ: x ≠ ± ; x ≠ x(4 x − 1) : ÷ ÷ (2 x − 1) 1,0đ b) (1,5 điểm): Với điều kiện câu a ta có: ( x + 1) − ( − x ) + 16 x x(2 x − 1)(2 x + 1) ÷: A = ÷ 1− 2x ) ( + 2x) (2 x − 1) ( 8x 2x −1 16 x + x x (2 x + 1) : = = − x x(2 x + 1) (1 − x)(1 + x) 2x −1 c) (1,5 điểm) : −2 >0 2x +1 ⇔ 2x +1 < −1 Vậy x < −1 a) (2,0 điểm): x x + 10x + 2015 = x + 9x + 2015 x + 8x + 2015 Đặt x + 9x + 2015 = y (ĐK: y ≠ ) Câu x y+x ⇔ xy − x = y + xy (4,0 điểm) ⇒ = y 1,5đ 0,5đ A> ⇔ ⇔x< −2 = 2x +1 y−x ⇔ x2 + y = ⇔ x2 = y = ⇔ x = y = khơng t/m điều kiện Vậy phương trình cho vô nghiệm 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” b) (2,0 điểm): Biến đổi 3x2 + 4y2 = 6x +13 ⇔ 3(x-1)2 = 16 – 4y2 = 4(4 – y2 ) Vì VT ≥ nên VP ≥ suy (4 – y2 ) ≥ Suy y ∈ { - ;-1; 0; 1; 2} Thay giá trị y ta tìm cặp nghiệm sau: (x,y) ∈ { (1;−2); (3,−1); (−1;−1); (1,2); (3;1); (−1;1);} a) (1,5 điểm): Ta có : abc = 100a + 10b + c = n2 - = 100c + 10b + a = (n - 2)2 cba ⇒ 99(a - c) = n2 - - n2 + 4n - = 4n - ⇒ 4n - 99 ( a - c số nguyên) Câu (3,0 điểm) Lại có : 100 ≤ n2 - ≤ 999 ⇒ 101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇒ 11 ≤ n ≤ 31 ⇒ 39 ≤ 4n - ≤ 119 Vì 4n - 99 nên 4n - = 99 n = 26 ⇒ abc = 675 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ b) (1,5 điểm): 2014 x − x + 2015 x − x + 2015 2014 M= = + 2015 2015 x2 x2 2014 x − x + 2015 2014 ⇔M=( )+ 2015 2015 x 2 2014 x − x.2015 + 2015 ⇔M = + 2015 2015 x ( x − 2015) 2014 2014 ⇔ x =2015 ≥ + 2015 2015 2015 x 2014 ⇔ x =2015 Vậy giá trị nhỏ M = 2015 0,25đ 1,0đ ⇔M = Câu (5,0 điểm) a) (1,5 điểm): 0,25đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Vì tam giác AFE vng F K trung điểm AE, nên FK = KA suy tam giác AFK FK song song với BC Suy tứ giác BCKF hình thang cân b) (1,5 điểm): Chứng minh tam giác EKF đồng dạng với tam giác EDC ⇒ EK EF = ⇒ EK ×EC = ED ×EF ED EC 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ c) (2,0 điểm): Chứng minh hai tam giác EKD EFC đồng dạng KD KE = CF EF AE AE AE 2 2 Mà KE = ; EF + AF = AE ⇒ EF + ÷ = AE ⇒ EF = 2 ⇒ ⇒ KD AE AE 1 = : = ⇒ KD = ×CF CF 2 3 Do KD nhỏ CF nhỏ hay F hình chiếu C AB Khi E trùng với C 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ A E G K Câu (2,0 điểm) D B C I M Từ M kẻ MG//IE ta có : MG DE = AG AE Vì IK//AC nên BK AB = (1) IK AC MG AB = Ta lại có MG//AB ⇒ GC AC 0,5đ mặt khác ta lại có :AG =GC (do M trung điểm BC MG//AB) DE MG MG AB (2) ⇒ = = = 0,5đ AE AG GC AC BK DE = Từ (1) (2) suy , IK AE mà KI = AE (do AKIE hình bình hành) nên BK = DE Vậy BK = DE (đpcm) a b 0,5đ 0,5đ 0.25đ c Đặt x = , y = , z = ⇒ xyz = Câu 0.25đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” (2,0 điểm) BĐT cần chứng minh tương đương với + xy + yz + zx ≥ x + y + z Ta có: x + y ≥ xy, y + z ≥ yz , z + x ≥ zx ⇒ x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇒ ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) ⇒ ≥ xy + yz + zx ( x + y + z ) 2 2 2 ⇒ 1+ ≥ 1+ xy + yz + zx ( x + y + z) 2 0.25đ 0.25đ (*) ≥ ( **) Mặt khác 1 − ÷ ≥ hay + ( x + y + z) x + y + z x+ y+z Từ (*) (**) suy + xy + yz + zx ≥ x + y + z Dấu "=" xảy ⇔ x = y = z = hay a = b = c = ⇒ (Đpcm) Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 02 ĐỀ BÀI Câu (4,0 điểm): x2 10 − x + + : x − + Cho biểu thức: A = x+2 x − x − 3x x + a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A với giá trị x thoả mãn |x+1| = |- 1| c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu (4,0 điểm): x +1 x −1 − = a) Giải phương trình: x + x + x − x + x x + x + ( ) b) Tìm số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + Câu (3,0 điểm): a) Chứng minh m; n số tự nhiên thỏa mãn: 4m + m = 5n + n thì: (m - n) (5m + 5n + ) số phương b) Cho số a; b; c thỏa mãn: 12a − b = 12b − c = 12c − a = 2015 670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b + + Tính giá trị biểu thức: P = a b c Câu (5,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: Góc EAD = góc ECB b) Cho góc BMC = 1200 SAED = 36cm2 Tính SEBC? c) Kẻ DH ⊥ BC (H ∈ BC) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH DH Chứng minh CQ ⊥ PD Câu (2,0 điểm): Cho điểm D thay đổi cạnh BC tam giác nhọn ABC (D khác B C) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC điểm N Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB điểm M Tìm vị trí D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ Câu (2,0 điểm): Tìm số có chữ số: a1a a thoã mãn đồng thời điều kiện sau: ( a1a 2a = a 7a ) ( ) a 4a a 6a a = a a Hết “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ĐỀ SỐ: 02 Biểu điểm Nội dung a) (2,0 điểm): ĐKXĐ : x ≠ 0, x ≠ ± Rút gọn A = 0,5đ 1,5đ 2−x Câu (4,0 điểm) b) (1, điểm): |x+1 | = | - 1| ⇔ x = -2 x = Với x = x = -2 khơng thoả mãn ĐKXĐ nên A khơng có giá trị c) (1,0 điểm): Vì x nguyên nên để A có giá trị ngun - x ∈{1;−1} ⇒x ∈{1;3} 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ a) (2,0 điểm): 2 2 Câu Ta có: x + x + = x + ÷ + > ; x − x + = x − ÷ + > (4,0 1 điểm) x + x + = x + ÷ + > nên p.trình xác định với x ≠ 3 2 x +1 x −1 Phương trình x + x + − x − x + = x x + x + 0,5đ ⇔ ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) − ( x − 1) ( x + x + 1) x3 (x +1− ( x ) + x +1 x − x +1 −1 x + x +1 )( )= ( = 0,5đ ) x x + x2 + ( 0,5đ 0,25đ ) 4 ⇔ = 2 x + x + x x + x2 + x x + x +1 ( ) ( ) ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) 0,25đ Vậy phương trình cho có nghiệm x = b) (2,0 điểm): Với x = ta có: 0y = (phương trình vơ nghiệm) x2 + Xét x ≠ ta có : y = =x+1+ x −1 x −1 Vì x, y ∈ Z nên x – ước Ta có trường hợp sau: ⇒ y = (thỏa mãn) • x–1=1 ⇔x=2 • x – = -1 ⇔ x = ⇒ y = -2 (thỏa mãn) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ⇒ y = (thỏa mãn) • x– = ⇔ x = • x – = -3 ⇔ x = -2 ⇒ y = -2 (thỏa mãn) Vậy (x, y) ∈ {(4, 6), (2, 6) , (-2, -2), (0,-2)} a) (1,5 điểm): Ta có 4m + m = 5n + n ⇔ 5( m − n ) + m − n = m ⇔ ( m − n )( 5m + 5n + 1) = m (*) Câu Gọi d ƯCLN(m - n; 5m + 5n + 1) (3,0 điểm) ⇒ (m - n) d (5m + 5n + 1) d 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (m - n) d ⇒ 5m - 5n d ⇒ (5m + 5n + 1) + (5m - 5n) d 0,5đ ⇒ 10m + 1 d Mặt khác từ (*) ta có: m Md ⇒ m d Mà 10m + 1 d nên 1 d 0,5đ ⇒ d = (Vì d số tự nhiên) Vậy (m - n);(5m + 5n + 1) số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương b) (1,5 điểm): 12a − b = 2015 12a = 2015 + b a > 4 Vì 12b − c = 2015 ⇔ 12b = 2015 + c ⇒ b > 12c − a = 2015 12c = 2015 + a c > - Giả sử a < b ⇔ 12a < 12b ⇔ 12a – 12b < mà 12a – 12b = b4 – c4 ⇒ b4 – c4 < ⇔ b4 < c4 ⇔ b < c ( b ; c > ) (1) ⇔ 12b < 12c ⇔ 12b - 12c < Lại có: 12b – 12c = c4 – a4 ⇒ c4 – a4 < ⇔ c4 < a4 ⇔ c < a ( c; a > ) (2) Từ (1) (2) ta có: b < c < a ⇒ Trái với giả sử - Giả sử a > b Chứng minh tương tự ta b > c > a ⇒ Trái với giả sử Vậy a = b ⇒ 12a – 12b = ⇒ b4 – c4 = ⇒ b = c ( b; c > 0) ⇒ a=b=c 670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b ⇒ P= + + a b c 672a 672b 672c + + = 672 + 672 + 672 = 2016 = a b c 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” E D A Câu (5,0 điểm) M Q B P I C H a) (2,0 điểm): - Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (g-g) EB ED = ⇒ EA.EB = ED.EC - Từ suy EC EA - Chứng minh ∆ EAD đồng dạng với ∆ ECB (c-g-c) - Suy góc EAD = góc ECB 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) (1,5 điểm): - Từ góc BMC = 120o ⇒ góc AMB = 60o ⇒ góc ABM = 30o - Xét ∆ EDB vng D có góc B= 30 o ⇒ ED = EB ⇒ ED = EB 2 S ED - Lý luận cho EAD = ÷ từ S ECB EB ⇒ SECB = 144 cm2 c) (1,5 điểm): - Chứng minh PQ đường trung bình tam giác BHD ⇒ PQ // BD - Mặt khác: BD ⊥ CD (Giả thiết) - Suy ra: PQ ⊥ DC ⇒ Q trực tâm tam giác DPC Hay CQ ⊥ PD 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Câu (2,0 điểm) Dựng hình bình hành ABEC, gọi F giao DN AE BM BD = Theo định lý TaLet có: Từ DM // AC ⇒ AB BC BD AN = DN // AB ⇒ BC AC AN FN = NF // CE ⇒ AC EC BM FN = Từ suy ra: (1) AB EC Do AB = CE nên từ (1) ta có BM = FN Theo gt BM // FN nên BMNF hình bình hành, MN = BF Vậy MN nhỏ BF nhỏ Do B điểm cố định, AE cố định nên BF ngắn F chân đường vng góc hạ từ B xuống AE Từ điểm D xác định sau: Từ B hạ BF ⊥ AE, dựng đường thẳng qua F song song với AB cắt BC D Ta có: a1a a = ( a a ) (1) ( a 4a 5a 6a a = a a ) (2) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Từ (1) (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 Câu (2) => (a7 a8 )3 = a4 a5 a6 00 + a7 a8 (a7 a8 )3 - a7 a8 = a4 a5 a6 00 (2,0 điểm) ( a7 a8 - 1) a7 a8 ( a7 a8 + 1) = 4.25 a4 a5 a6 Nhưng ( a7 a8 - 1) ; a7 a8 ; ( a7 a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho 25, số nhỏ 50 (vì tích 48.49.50 = 117600 > a4 a5 a6 00 ) Suy có số 25 Nên có có khả năng: + a7 a8 + = 25 => a7 a8 = 24 => a1a a số 57613824 + a7 a8 = 25 => a1a a số 62515625 + a7 a8 - = 25 => a7 a8 = 26 => Không thỏa mãn Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết -10 0,5đ 0,5đ 0,5đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 07 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 đ): Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 + 6x + b) x3 + y3 + z3 – 3xyz c) (x2 – x + 1)( x2 – x +2 ) – 12 d) 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + Câu 2: (6,0đ): Cho biểu thức M= x − 16 x − x + x − 16 x + 16 a) Tìm TXĐ M rút gọn M b) Tìm giá trị x để M = c) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên Câu 3: (4,0 đ) x2 + x + = 2,9 a) Giải phương trình: x x +1 b) Cho f(x) = x100 – x99 + x +1; g(x) = x2 – Tìm đa thức dư f(x): g(x)? Câu 4: (5,0 đ): Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD BI cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh rằng: a) EF song song với AB b) AB2 = CD.EF Câu 5: (1,0 đ): Tìm giá trị nguyên a, b, c, d cho: a − b + b − c + c − d + d − a = 2017 Hết 28 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ĐỀ SỐ: 07 Nội dung 2 a) x + 6x +5 = x + x + 5x + = x( x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5) Điểm 1,0đ b) Ta có: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy3 + y3 0,25đ 3 3 => x + y + z – 3xyz = (x + y) + z – 3xy(x + y + z) 0,25đ 2 0,25đ = (x + y + z) [( x + y ) − ( x + y ) z + z ] - 3xy(x + y +z) 2 0,25đ = (x + y + z)(x + y + z – xy – yz – xz) c) Đặt t = x2 – x + Khi : (x2 – x + 1)( x2 – x + 2) – 12 0,25đ 2 (4 đ) = t(t + 1) – 12 = t + t – 12 = (t – 3)(t + 4) = (x – x – 2)( x – x + 5) 0,75đ 4 3 2 d) 2x – 7x – 2x + 13x + = 2x + 2x – 9x – 9x + 7x + 7x + 6x + 0,5 = 2x (x + 1) – 9x (x + 1) + 7x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(2x3 – 9x2 + 7x + 6) = (x + 1)(2x3 – 6x2 – 3x2 + 9x – 2x + 6) 0,5 = (x + 1)[2x2(x – 3) – 3x(x – 3) – 2(x – 3)] = (x + 1)(x – 3)(2x2 – 3x – 2) = (x + 1)(x – 3)(2x + 1)(x – 2) Sau phân tích ta có: (6,0đ) (x − 2)(x + 2)(x2 + 4) x+ a) M = , ĐKXĐ: x ≠ Vậy M = 2 x− (x − 2) (x + 4) b) M = ⇒ x = -2 c) M = + M nguyên x - ước x− Ước = ± 4; ± 2; ± ⇒ x = -2, 0, 1, 3, 4, x2 + ta nhận phương trình t + = 2,9 ta phương t x (4,0đ) trình t − 2,9t + = suy t = 0, 4; t = 2 x +1 = 0, hay x − 0, x + = phương Với t = 0, ta có phương trình x 2,0 đ 2,0đ 1,0đ 1,0đ a, Đặt t = 0,5đ trình khơng có nghiệm x +1 = hay x − x + = , phương ta có phương trình x trình có nghiệm x = 2; x = 0,5 Phương trình có nghiệm 0,5 Với t = 1,0đ b, Vì đa thức chia g(x) = x2 -1 có bậc 2, nên đa thức dư có dạng ax + b tồn h(x) cho f(x) = g(x).h(x) + ax + b Suy ra: x100 – x99 + x +1 = (x2 – 1).h(x) + ax +b (1) Thay x = vào (1) => a + b =2 (2) Thay x = - vào (1) => - a + b =2 (3) 29 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Từ (2) (3) suy ra: a = 0; b = Vậy đa thức dư A B E D k 0,5 đ i C AE AB = EK KD AF AB = AFB CFI (g.g) suy FC CI AE AF ⇒ EF // KC Vậy AF// AB = Mà KD = CI = CD – AB ⇒ EK FC KD DE = b, AEB KED suy AB EB KD + AB DE + EB DK + KC BD DC DB ⇒ = ⇒ = ⇒ = (1) AB EB AB EB AB EB DB DI DB AB = ⇒ = Do EF // DI ⇒ (2) EB EF EB EF DC AB = ⇒ AB2 = DC.EF Từ (1) (2) ⇒ AB EF Ta có : x + x = 2x x ≥ x + x = x < S a, AEB KED (g.g) suy S 4: 5đ F S 1,0đ Do : x + x số tự nhiên chẵn 0,5 đ 0,5 đ 1đ 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,25đ Vì : a − b + b − c + c − d + d − a = ( a − b + a - b ) + ( b − c + b - c ) + ( c − d + c- d ) + ( d − a + d - a ) = 2017 (*) 0,25đ 0,25đ Nhận thấy vế trái số chẵn, vế phải số lẻ, nên khơng thể xảy đẳng thức (*) Do đó, a − b + b − c + c − d + d − a = 2017 xảy 0,25đ ⇒ Khơng có giá trị a, b, c, d thoả mãn toán Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết 30 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 08 ĐỀ BÀI Bài ( 4,0 điểm): a Tính giá trị biểu thức A = x4 − 19x3 + 19x2 − 19x + 20 x = 18 b Chứng minh rằng: Với a, b số nguyên tùy ý ta ln có 8ab(a2 - b2 + 6) M 48 Bài ( 4,0 điểm): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a + b) − bc (b + c) + ac( a − c) b) Tìm tất số tự nhiên x cho 4x2 + 12 bình phương số tự nhiên Bài ( 6,0 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD E; cắt BC F a Chứng minh : S∆AOD = S∆BOC b Chứng minh: OE = OF 1 + = c Chứng minh: AB CD EF Bài ( 4,0 điểm): Giải phương trình sau a) 4x2 - 4x – = b) (x2 + x)2 - 4x2 - 4x – 12 = Bài (2,0 điểm): Cho a + b ≥ 0; b + c ≥ 0; c + a ≥ thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc a) Chứng minh a + b + c = a = b = c b) Tính giá trị biểu thức M= a b c + + b+ c c + a a+ b Hết 31 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 32 ĐỀ SỐ: 08 Câu Đáp án a) (1,5 đ) 3 (4,0đ) A = x“Tập - 18x - xthi +18x + x2giỏi - 18x x+18+2 10 đề học sinh cấp- huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” = x (x - 18) - x (x - 18) + x(x - 18) - (x - 18) + Với x = 18, giá trị biểu thức A b) (2,5đ) Với a,b ∈ Z, ta có ab(a2 - b2 + 6) = ab[(a2-1)-(b2-1)+ 6] = ab(a2-1) - ab(b2-1) + 6ab = ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1) + 6ab Ta thấy a(a-1)(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên a(a-1)(a+1) M3 a(a-1) tích số nguyên liên tiếp nên a(a-1) M2 hay a(a-1)(a+1) M2 Mà (2,3) = => a(a-1)(a+1) M6 Tương tự b(b-1)(b+1) M6 suy ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1) M6 hay ab(a2 - b2) M6 =>ab(a2 - b2) + 6ab M6 Suy 8ab(a2 - b2 + 6) M 48 (Đpcm) a) (2 đ) (4,0đ) A = ab(a + b) − bc (b + c ) + ac (a − c) = a2b + ab2 - b2c - bc2 + ac(a-c) = b(a2 - c2) + b2(a - c) + ac(a-c) = b(a-c)(a+c) + b2(a - c) + ac(a-c) = (a-c)(ab + bc + b2 + ac) = (a-c)(a+b)(b+c) b) (2 đ) Giả sử có số tự nhiên x thỏa mãn đề Ta có 4x2 + 12 = 4(x2 + 3) bình phương số tự nhiên => x2 + = 4y2 (1) (Với y ∈ N) 4y2 - x2 = (2y - x)(2y + x) = (2) Theo (1): 4y2 = x2 + > x2 hay (2y)2 > x2 Nhưng x, y ∈ N nên 2y>x => 2y-x > 2y+x > Mặt khác (2y+x) - (2y-x) = 2x ≥ (do x ∈ N) 2 y − x = Từ (2) => 2 y + x = 1+ = => y=1 => x =2y-1=1 (Thỏa mãn điều kiện) => 2y= Vậy x=1 giá trị cần tìm A E D 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 B F O H Điểm K C a) Kẻ AH ⊥ CD AH ⊥ CD => AH ⊥ AB (vì AB//CD) => Tứ giác AHKB hình chữ nhật => AH = BK 1 => Ta có SADC = AH.DC = BK.DC = SBDC 2 33 => SADC = SBDC => SAOD + SDOC = SBOC + SDOC => S∆AOD = S∆BOC 0,5 0,5 0,5 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết 34 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 09 ĐỀ BÀI C©u 1:(3 điểm) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Câu 2: (4 điểm) a) Cho x + y = xy ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + b) Chứng minh đẳng thức: x2 + y2 + ≥ xy + x + y (với mi x ;y) Câu (4 im) a) Tìm số d phÐp chia cđa biĨu thøc ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x + 10 x + 21 b) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thøc B ( x) = x − 3x + Câu 4: (2 điểm ) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = 27 − 12 x x2 + Câu 5: (7điểm) Cho Tam giác ABC vuông cân A Điểm M cạnh BC Từ M kẻ ME vng góc với AB, kẻ MF vng góc với AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC ) a Chứng minh: FC BA + CA B E = AB2 b Chứng minh chu vi tứ giác MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí M c Tìm vị trí M để diện tích tứ giác MEAF lớn Hết 35 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Nội dung a) (1,25đ) Câu (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x (3đ) y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 x +1 x + x + x + x + x + ⇔ + + = + + b) (1,75đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ ⇔ Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 0,25 1 1 1 + + − − − )=0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 0,5 ⇔ ( x + 2009)( Vì ĐỀ SỐ: 09 1 1 1 < < < ; ; 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1 + + − − − ( x – y)2 + ( x – 1)2 + ( y – 1)2 ≥ x2 – 2xy + y2 + x2 – 2x + + y2 – 2y + ≥ 2x2 + 2y2 + ≥ 2xy + 2x + 2y 2(x2 + y2 + 1) ≥ 2(xy + x + y) x2 + y2 + ≥ xy + x + y Câu a) (2,0đ) Tìm số dư phép chia: (4đ) Ta có A = (x + )(x + 4)(x + 6)( x + 8) + 2008 = (x + )(x + 8)(x + 4)( x + 6) + 2008 = (x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) + 2008 Đặt x2 + 10x + 21 = a ta có A = ( a – 5)( a + 3) + 2008 = a2 – 2a – 15 + 2008 = a2 – 2a + 1993 Mà a2 – 2a + 1993 chia cho a dư 1993 Vậy (x + )(x + 4)(x + 6)( x + 8) + 2008 chia cho x2 + 10x + 21 có số dư 1993 b) (2,0đ )Ta có x4 – 3x3 + ax + b = ( x2 – 3x + 4)(x2 – 4) + (a –12)x + (b+16) Để x4 – 3x3 + ax + b chia hết cho x2 – 3x + a – 12 = b+16 = Ta có: a – 12 = => a = 12 b +16 = => b = -16 Vậy a = 12 b = -16 27 − 12 x 36 − 12 x + x − − x Câu4 (6 − x ) x + (6 − x ) *) Ta có : A = = = - = -1 (2đ) x +9 x2 + x +9 x +9 x +9 Vì (6 – x)2 ≥ x2 – > nên A = (6 − x ) -1 ≥ -1 x2 + 37 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5 27 − 12 x x + 36 − x − 12 x − x + 36 x + 12 x + − = = x2 + x2 + x +9 x2 + 4( x + 9) (2 x + 3) (2 x + 3) − = 4− = x +9 x +9 x +9 (2 x + 3) ≤ Vì (2x +3)2 ≥ x2+ > nên − x +9 −3 Dấu = xẩy 2x + = hay x = −3 Vậy GTLN A = x = *) A = 0,25 0,25 0,25 0.5 Vậy GTLN A = -1 (6 – x)2 = 0 x = 0,25 0,25 0,25 0,5 0.5 0.5 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” B Câu (7đ) E M 0.5 A F C a Vì MF ⊥ AC (gt) AB ⊥ AC ( ∠ A= 1v) => FC MF = AC AB FC.AB = AC.MF Vì AB=AC(gt) => FC.AB= AB.MF (1) Vì ME ⊥ AC (gt) AC ⊥ AB ( ∠ A = 1v ) => 0.5 AC AB = ME BE AC.BE = ME.AB hay CA.BE = AB.ME (2) Cộng (1) với (2) ta có FC.BA + CA.BE = AB.MF + AB.ME Hay FC.BA + CA.BE = AB(MF + ME) Mà tứ giác AEMF hình chữ nhật( ∠ A= ∠ E = ∠ F = 1v) => MF = AE Mặt khác xét tam giác BEM có ∠ E = 1v ( ME ⊥ AB) ∠ B = 450 ( Tam giác ABC vuông cân A) => tam giác BME vuông cân => BE = ME Do FC.BA + CA.BE = AB(MF + ME) = AB(AE + BE ) = AB2 b Vì tứ giác AEMF hình chữ nhật => chu vi AEMF = 2(AE + ME) hay chu vi AEMF = 2AB mà AB không đổi nên chu vi AEMF không đổi hay khơng phụ thuộc vào vị trí M BC c Ta có SAEMF = ME.EA = BE.EA (vì ME = BE) BE + AE Vì BE > 0; EA> theo CơSi BE.EA ≤ ( ) AB AB hay BE.EA ≤ ( ) hay SAEMF ≤ ( ) 2 Vậy SAEMF lớn BE = EA hay E trung điểm AB mà ME//AC nên SAEMF lớn khic M trung điểm BC Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết 38 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 10 ĐỀ BÀI Câu (6 điểm): 1.Giải phương trình: a (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + b 2018 2017 2016 2015 2014 2013 Giải bất phương trình: x x+2 + >2 x−2 x Câu (5 điểm) Tìm số a,b để: ax + bx + 5x − 50 chia hết cho x + 3x − 10 Cho a, b, c ≠ Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 x2 + y + z x2 y z Biết x,y,z thoả mãn: 2 = + + a +b +c a b c Câu (2 điểm) : Cho a,b,c,d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= a −d d −b b−c c−a + + + d +b b+c c+a a+d Câu (7 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm, O giao điểm đường trung trực ∆ABC , M trung điểm BC, N trung điểm AC HA' HB' HC' + + a Tính tổng AA' BB' CC' b Chứng minh ∆AHB đồng dạng với ∆MON AH = 2.OM c Gọi G trọng tâm ∆ABC Chứng minh điểm H, G, O thẳng hàng Hết 39 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 10 Nội dung Câu Câu1 1/ (4 điểm) : Giải phương trình (6 đ) a/ (2 điểm) ( (x + x) + 4(x + x) = 12 Đặt x + x = t Phương trình trở thành t + 4t − 12 = Điểm 0.5 ⇔ (t − 2)(t + 6) = t = ⇒ t = −6 Với t = ta có pt: x + x − = giải x1 = 1; x = −2 Với x=-6 ta có pt : x + x + = phương trình vơ nghiệm 0,5 0,5 0,25 0,25 Kết luận nghiệm PT x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + b/ (2 điểm) 2018 2017 2016 2015 2014 2013 x+1 x+ x+3 x+4 x+5 x+6 + 1+ + 1+ +1= + 1+ + 1+ +1 2018 2017 2016 2015 2014 2013 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 x + 2019 + + = + + 2018 2017 2016 2015 2014 2013 1 1 1 ( x + 2019)( + + − − − )=0 2018 2017 2016 2015 2014 2013 1 1 1 + + − − − ≠0) => x + 2019 = (do 2018 2017 2016 2015 2014 2013 => x = - 2019 kết luận nghiệm x x+2 + >2 x−2 x 2x − x2 − ⇔ >2 ⇔ >1 x(x − 2) x(x − 2) 0,5 0,5 0,5 0,5 2/ Giải bất phương trình (2 điểm): ⇔ 0,5 x2 − 2(x − 1) −1 > ⇔ >0 x(x − 2) x(x − 2) 0 < x < ⇔ (x − 2)(x − 1)x > ⇔ x > Câu 1/ (2,5điểm) (5đ) Ta có: x + 3x − 10 = x2 + 5x – 2x - 10 = x(x + 5) – 2(x + 5) = (x + 5)(x – 2) Do đó: ax + bx + 5x − 50 chia hết cho x + 3x − 10 40 0,75 Kết luận 0,75 1,0 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ax + bx + 5x − 50 = (x + 5)(x − 2).Q(x) Lần lượt cho x = -5; x = −125a + 25b = 75 −5a + b = a = ⇔ ⇔ kết luận 8a + 4b = 40 2a + b = 10 b = ta x2 + y + z x2 y z 2/ (2,5 điểm) Do x,y,z thoả mãn: 2 = + + a +b +c a b c 2 2 2 x x y y z z ⇔ 2− + 2− + 2− =0 2 2 a a + b + c b a + b + c c a + b2 + c2 1 1 1 ⇔ x2 ( − ) + y2 ( − ) + z2 ( − )=0 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 1 1 1 Do a,b,c ≠ ⇒ − 2 > ; − 2 > ; − 2 > a a +b +c b a +b +c c a +b +c ⇒ x = y = z = => D = a −d d −b b−c c −a a −d d−b b−c c−a Câu3 ⇒ A+4= +1+ +1+ +1+ +1 A= + + + d+b b+c c+a a +d d +b b+c c+a a+d (2đ) a +b d+c b+a c+d 1 1 + + + + ) + (c + d)( + ) A+4 = = (a + b)( d+b b+c c+a a +d d+b c+a b+c a +d 1 + ≥ x y x+ y Chứng minh toán: x;y > Ta có 0,75 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,25 Áp dụng tốn ta có A + ≥ ⇒ A ≥ 0,5 d + b = c + a ⇒a =b=c=d b + c = a + d GTNN A= ⇔ a = b = c = d Dấu đẳng thức xảy Câu (7đ) 1,5 0,25 A B' C' N H G O B A' M C 0,5 Vẽ hình HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC 1.0 41 “Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' HA ' HB' HC' S∆HBC + S∆HAC + S∆HAB S∆ABC ⇒ + + = = =1 AA ' BB' CC' S∆ABC S∆ABC b) c/m MN đường trung bình ∆ ABC nên MN//AB OM//AH( ⊥ BC); ON//BH ( ⊥ AC) ⇒ góc có cạnh tương ứng song song nhọn ⇒ ∆ AHB dồng dạng ∆ MON ⇒ 0,75 0,75 1,0 1,0 AB AH = = ( MN đương trung bình(cmt) ) ⇒ AH = 2MO MN MO c) c/m ∆ HAG đồng dạng ∆ OMG (cgc) ˆ = MGO ˆ ⇒ AGH ˆ + HGM ˆ = 1800 (kề bù) ⇒ HGM ˆ + MGO ˆ = 1800 ⇒ H,G,O thẳng hàng Mà AGH Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết 42 1,0 0,5 0,5 ... ? ?Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)? ?? HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 10. .. 11 ? ?Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)? ?? HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TỐN - LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ:... Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 14 1.0 ? ?Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)? ?? Hết 15 ? ?Tập 10 đề thi học sinh giỏi cấp huyện