III 1 Chứng minh tan sin 93 (3 ), 0;
(2) Cho q(x) = n
TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
———–***———–
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán họcNgày thi thứ hai Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho a, b, c là ba số dương, chứng minh rằng
(a+ b+c)3ab(a+c) − 4(a+ b+c) ab(a+c) − 4(a+ b+c) a ≥ c 4 b − 5 a+c .
Câu 2. Mỗi số n nguyên dương, ta kí hiệu T(n) = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)
4 .
Hàm số f : Z → Z được gọi là may mắn nếu phương trình T(x)
T(y) = f(y) vô
nghiệm hoặc chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên dương (x, y).
(1) Chứng minh rằng nếu f(x) = k2 với mọi x ∈ Z, trong đó k > 1 là một sốnguyên cho trước thì f là may mắn. nguyên cho trước thì f là may mắn.
(2) Cho q(x) = n n
P
j=0
j=0
lẻ. Chứng minh rằng hàm số g(x) = (x+ 1)(x+ 3) (q(x))2 (với x ∈ Z) là maymắn. mắn.
Câu 3. Cho tam giác không đềuABC. Đường tròn nội tiếp tâmI của tam giácABC
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A0, B0, C0. Gọi A1, B1, C1 theo thứtự là chân các đường phân giác trong góc I của các tam giác IBC, ICA, IAB; A2, tự là chân các đường phân giác trong góc I của các tam giác IBC, ICA, IAB; A2,
B2, C2 theo thứ tự là chân các đường phân giác trong của các góc A0, B0, C0 củatam giác A0B0C0 và I0 là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A0B0C0. Chứng tam giác A0B0C0 và I0 là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác A0B0C0. Chứng minh rằng
(1) IA1 song song với I0A2.
(2) Các đường thẳng A1A2, B1B2, C1C2 đồng quy tại một điểm nằm trên đườngthẳng II0. thẳng II0.
Câu 4. Có hai đội quần vợt thi đấu với nhau, mỗi đội có n đấu thủ (10 ≤ n < 210).Biết rằng hai đấu thủ bất kì thuộc hai đội gặp nhau đúng một trận, và không có Biết rằng hai đấu thủ bất kì thuộc hai đội gặp nhau đúng một trận, và không có kết quả hòa. Chứng minh rằng có 10 đấu thủ thuộc cùng một đội nào đó mà một đấu thủ bất kì thuộc đội còn lại phải thua ít nhất một trong 10 đấu thủ trên.
75
www.giaoducviet.netwww.giaoducviet.net www.giaoducviet.net