Đang tải... (xem toàn văn)
Tham khảo Tài liệu ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Yên Lâm để bổ sung kiến thức, nâng cao tư duy và rèn luyện kỹ năng giải đề chuẩn bị thật tốt cho kì thi HSG sắp tới các em nhé! Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn – Lớp ĐỀ BÀI: A ĐẠI SỐ: Câu 1: a/ Phân tích đa thức: ( x y 5) x y 16 xy 16 thành nhân tử b/ Cho P=1+x+x2+…+x2004+x2005 Chứng minh rằng: x.P - P=x2006 - Câu 2: a/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị số nguyên: x3 x x 1 b/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x x Câu 3: a/ So sánh hai số: A 332 B (3 1)(32 1)(34 1)(38 1)(316 1) b/ Chứng minh rằng: n 6n 8n chia hết cho 48 với số chẵn n Câu 4: a/ Cho a b c Rút gọn biểu thức: M a b c(a b ) abc b/ Chứng minh rằng: ( x 3)( x 11) 2003 luôn dương với giá trị x Câu 5: a/ Thực phép tính: (2710 5.814.312 4.98.38 ) : 41.324 b/ Tìm số tự nhiên n để (5x n2 y 8x n2 y ) chia hết cho 5x y n1 Câu 6: Thực phép tính: 1 1 x( x y ) y ( x y ) x( x y ) y ( y x) 1 b/ (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a/ Câu 7: Cho a b c a, b, c khác Rút gọn biểu thức: M ab bc ac 2 2 a b c b c a c a2 b2 Câu 8: a/ Cho 12 2 32 10 385 Tính 2 20 b/ Tính nhanh: 1 1 2.3 3.4 2003.2004 Câu 9: Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS n Lâm –n Định - Thanh Hóa a/ Tìm a cho đa thức: x ax 5x chia hết cho đa thức x 2x b/ Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng bình phương hai biểu thức: x 2( x 1) 3( x 2) 4( x 3) Câu 10: a/ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến 5(3x n1 y n1 ) 3( x n1 y n1 ) 5(3x n1 y n1 ) (3x n1 10) b/ Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 Chứng minh rằng: a b c 3 3abc 1 Tính giá trị biểu thức: a b c bc ca ab M a b c Câu 11: Cho Câu 12: Rút gọn biểu thức ( n số nguyên dương) 1 1 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 1 1 b/ B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)n 2 a/ A Câu 13: a/ Tìm số a b cho phân thức x2 viết thành x3 3x a b x ( x 1) b/ Rút gọn phân thức sau: M x 40 x 30 x 20 x10 x 45 x 40 x 35 x Câu 14: Thực phép tính: a/ 1 16 1 x 1 x 1 x 1 x x x16 b/ Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 x+y+z=xyz x y z x y z Câu 15: Cho phân thức: M x x x x 3x x 2x a/ Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b/ Rút gọn phân thức c/ Tìm giá trị x để giá trị phân thức Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa B HÌNH HỌC: Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 60 , đường phân giác BD CE cắt I Qua E kẻ đường vng góc với BD, cắt BC F Chứng minh rằng: a/ E F đối xứng với qua BD b/ IF tia phân giác BIC c/ D F đối xứng với qua IC Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O trực tâm tam giác Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, AC, R, S,T trung điểm đoạn OA, OB, OC a/ Chứng minh tứ giác MPTS hình chữ nhật b/ Chứng minh ba đoạn RN, MT, SP cắt trung điểm đường Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác góc hình bình hành cắt tạo thành tứ giác EFGH a/ Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh EG = FH hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD Bài 4: Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm M, tia đối tia CB lấy điểm N, tia đối tia DC lấy điểm P, tia đối tia AD lấy điểm Q cho BM= CN = DP = AQ a/ Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b/ Chứng minh hình bình hành MNPQ hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB Từ C kẻ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M kẻ MF CE, MF cắt BC N a/ Tứ giác MNCD hình gì? Vì sao? b/ Tam giác EMC tam giác gì? Vì sao? c/ Chứng minh BAD AEM Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa ĐÁP ÁN: Câu 1: a/ ( x y 5) x y 16 xy 16 = ( x y 5) 4( x y xy 4) = ( x y 5) 4( xy 2) ( x y 5) [2( xy 2)]2 = ( x xy y ) 1[( x xy y ) 9] [( x y) 1][( x y) 9] = ( x y 1)( x y 1)( x y 3)( x y 3) b/ Ta có: P=1+x+x2+…+x2004+x2005 2005 +x2006 x.P= x+x +x +…+x 2005 +x2006) - ( 1+x+x2+…+x2004+x2005) x.P – P = (x+x +x +…+x = x+x2+x3+…+x2005+x2005-1-x-x2-…-x2004-x2005) 2006 =x -1 Câu 2: a/ Chia tử thức cho mẫu thức ta thương x2 dư x3 x 2 = x2+ x 1 x 1 Để P(x) có giá trị ngun phải số ngun (Vì x2 ln ngun, x ) x 1 x-1 phải ước (hay phải chia hết cho x-1) x-1 1;1;2;2 x 2;0;3;1 Vậy với x= 2; 0; 3; -1 biểu thức P(x) có giá trị ngun Do đó: P(x)= b/ A x2 x x2 x (3x)2 2.3x.1 12 (3x 1)2 Vì 3x 12 với x nên 3x 12 Vậy A có giá trị nhỏ 3x x Câu 3: a/ Ta có: A 332 (316 1)(316 1) (316 1)(38 1)(38 1) = (316 1)(38 1)(34 1)(34 1) (316 1)(38 1)(34 1)(32 1)(32 1) = (316 1)(38 1)(34 1)(32 1)(3 1)(3 1) = 2(3 1)(32 1)(34 1)(38 1)(316 1) Vậy A = 2.B b/ n 6n 8n 48 với số chẵn n Ta có: n 6n 8n = n(n 6n 8) n(n 4n 2n 8) = n[n(n 4) 2(n 4)] n(n 2)(n 4) Đặt n 2k ( n chẵn) Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Do đó: n(n 2)(n 4) 2k (2k 2)(2k 4) 2.2.2.k.(k 1)(k 2) = 8(k 2)(k 1)k 48 ( k 2(k 1)k tích ba số nguyên liên tiếp nên 6k ) Vậy n 6n 8n 48 với số chẵn n Câu 4: a/ M a b c(a b ) abc a b a c b c abc = (a a c) (b b c) abc a (a c) b (b c) abc = a (b) b (a) abc ( Vì a b c a c b, b c a) = ab(a b c) b/ ( x 3)( x 11) 2003 x 8x 33 2003 x 8x 1970 = ( x 8x 16) 1954 ( x 4) 1954 Vì x 42 0x x 42 1954 0x Vậy ( x 3)( x 11) 2003 > với x Câu 5: a/ (2710 5.814.312 4.98.38 ) : 41.324 = (330 5.316.312 4.316.38 ) : 41.324 = (330 5.328 4.324 ) : 41.324 324 (36 5.34 4) : 41.324 = 328 : 41 = b/ Để (5x n2 y 8x n2 y ) chia hết cho 5x y n1 thì: n n n n n n n n n n Vậy n =5, n=6 Câu 6: 1 1 x( x y ) y ( x y ) x( x y ) y ( y x) yx yx 1 0 = xy ( x y) xy ( x y ) xy xy 1 b/ (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) (b c) (a c) (a b) b c a c a b 0 = (a b)(a c)(b c) (a b)(a c)(b c) a/ Câu 7: a/ Vì a b c a b c Bình phương hai vế ta được: a 2ab b c a b c 2ab Tương tự: b c a 2bc c a b 2ac Đề thi mơn Tốn Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Do đó: A ab bc ac 1 1 2ab 2bc 2ac 2 2 Câu 8: a/ Ta có: 2 20 = 2 ( 12 2 32 10 ) 4.385 1540 1 1 2.3 3.4 2003.2004 1 1 1 1 2003 = 1 2 3 2003 2004 2004 2004 b/ Câu 9: a/ - x 2x x ax x x x 3x a 2x xa2 2x (a 2) x (2a 4) x 3a 6 2ax 3a Để đa thức x ax 5x chia hết cho đa thức x x đa thức 6 2a a3 9 3a dư với giá trị x, đó: Vậy với a=3 đa thức x ax 5x chia hết cho đa thức x x b/ Ta có x 2( x 1) 3( x 2) 4( x 3) = x 2( x x 1) 3( x x 4) 4( x x 9) = x 2x 4x 3x 12x 12 4x 24x 36 = 10 x 40 x 50 ( x 10 x 25) (9 x 30 x 25) = x 52 3x 52 Câu 10: a/ 5(3x n1 y n1 ) 3( x n1 y n1 ) 5(3x n1 y n1 ) (3x n1 10) = 15x n1 y n1 3x n1 15 y n1 15x n1 10 y n1 3x n1 10 = 10 Vậy giá trị biểu thức cho không phụ thuộc vào giá trị biến x, y b/ Ta có: a+b+c = a+b = -c (a b)3 (c)3 a3 b3 3a 2b 3ab2 c3 a3 b3 +3ab(a+b) = c a3 b3 +3ab(-c)= c hay a3 b3 - 3abc= c a b3 c3 3abc (đpcm) Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa bc ca ab bc ca ab 1 1 1 = a b c a b c abc abc abc 1 1 a b c = a b c a b c 1 Vì nên M = -3 a b c Câu 11: M Câu 12: 1 1 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 1 1 1 1 = ( ) 3 5 2n n 1 2n n = 1 2n 2 n n 1 1 b/ B 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)n 2 1 1 1 1 = 1.2 2.3 2.3 3.4 nn 1 n 1n 2 a/ A 11 n 3n nn 3 = n 1n 2 2n 1n 2 4n 1n 2 Câu 13: a/ (Dùng phương pháp hệ số bất định ) Ta có: a b a( x 1) b( x 2) ax (2a b) x (a 2b) x ( x 1) ( x 2)( x 1) x3 3x x2 Đồng hệ số với phân thức ta có: x 3x a 1 a 1 2a b b 2 a 2b Vậy x2 = x 3x x ( x 1) x 40 x 30 x 20 x10 x 45 x 40 x 35 x x 40 x 30 x 20 x10 = 40 30 20 10 x x x x x 1 x 40 x 30 x 20 x10 1 b/ M = x 40 x 30 x 20 x10 1 40 30 20 10 x x x x 1 x 1 x 1 Câu 14: Đề thi môn Toán Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa 1 16 1 x 1 x 1 x 1 x x x16 2 16 = 2 1 x 1 x 1 x x x16 4 16 8 16 = 4 16 8 1 x 1 x 1 x 1 x x x x16 16 16 32 = 16 16 1 x 1 x x 32 1 1 1 b/ Ta có: ( )2 x y z x y z 1 1 1 )4 2( x y z xy yz zx a/ x2 x x x y2 y y y z2 z z z 2( x y z ) 4 xyz xyz ( Vì x+y=z=xyz ) xyz xyz 4 xyz 42 x x x x 3x Câu 15: M x 2x a/ Giá trị phân thức M xác định khi: x x x x x 1 x 2x 4 x x x x 4 Vậy với điều kiện x x 4 giá trị phân thức M xác định b/ Ta có: x x x 4x 3x = x x 2 x x 2 3x 2 x 2x x 3 = x 2 x 1 x 2x 3x 1x 1 Vậy M x 2x 3x 1x 1 x 3x 1x 1 x 2x 4 x4 c/ Giá trị phân thức M tử mẫu khác Do đó: x 3x 1x 1 x x (vì x 0x) x x 1( thỏa điều kiện) Vậy với x 1, x 1 M = HÌNH HỌC Đề thi mơn Tốn Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 60 , đường phân giác BD CE cắt I Qua E kẻ đường vng góc với BD, cắt BC F Chứng minh rằng: a/ E F đối xứng với qua BD b/ IF tia phân giác BIC c/ D F đối xứng với qua IC Chứng minh: A 60 D E I O12 F B C Gt ABC , A = 60 , BD CE đường phân Kl giác BD CE = I, EF BD( F BC ) a/ E F đối xứng với qua BD b/ IF tia phân giác BIC c/ D F đối xứng với qua IC a/ v EOB v FOB (cạnh gv- gn) EBF cân B Do BD tia phân giác B nên BD đường trung trực EF Vậy E F đối xứng với qua BD b/ Do A = 60 B1 + C = 60 BIC = 120 I = 60 I = 60 I = 60 Vậy IF tia phân giác BIC c/ IDC IFC (g-c-g) IF = ID, CF = CD Do CI đường trung trực DF Vậy D F đối xứng với qua CI Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O trực tâm tam giác Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, AC, R, S,T trung điểm đoạn OA, OB, OC a/ Chứng minh tứ giác MPTS hình chữ nhật b/ Chứng minh ba đoạn RN, MT, SP cắt trung điểm đường Chứng minh: A M S R T O B P N C GT ABC , O trực tâm tam giác M, N, P trung điểm AB, BC, AC R, S, T trung điểm OA, OB, OC KL a/ Tứ giác MPTS hình chữ nhật b/ Ba đoạn RN, MT, SP cắt trung điểm đường a/ Trong ABC có MP đường trung bình MP // BC MP BC (1) BOC có ST đường trung bình (2) ST // BC ST BC Từ (1) (2) MP // ST MP = ST Do tứ giác MPTS hình bình hành Do MP // BC MS // AO Mà AO BC (gt) Nên MP MS hay SMP 90 Vậy hình bình hành MPTS có góc vng nên hình chữ nhật b/ Chứng minh tương tự, tứ giác MRTN hình chữ nhật Hai hình chữ nhật MPTS MRTN có chung đường chéo MT Nên ba đoạn MT, SP, RN cắt trung điểm đường Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác góc hình bình hành cắt tạo thành tứ giác EFGH a/ Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh EG = FH hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD Chứng minh: M B C F E A G H D N GT ABCD hình bình hành Các tia phân giác góc hình bình hành cắt tạo thành tứ giác EFGH KL a/ Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? b/ EG = FH hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD a/ Trong AFD ta có: A1 D1 ( A D) 180 90 2 Nên AFD = 90 Tương tự BHC = 90 , AEB 90 Do đó: HEF 90 Vậy tứ giác EFGH có ba góc vng nên hình chữ nhật b/ Do EFGH hình chữ nhật nên: EG = FH EF // HG AM // NC, MC // AN (gt) Tứ giác ANNC hình bình hành ABM có BE vừa đường cao vừa đường phân giác nên ABM cân B Do E trung điểm AM (1) Tương tự G trung điểm CN (2) Đề thi mơn Tốn Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Từ (1) (2) EG đường trung bình hình bình hành AMCN Nên EG = ( MC AN ) MC Do ABM cân B nên BM = BA Vì CM = CB – BM = CB – BA Vậy EG = FH = CB – BA Bài 4: Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm M, tia đối tia CB lấy điểm N, tia đối tia DC lấy điểm P, tia đối tia AD lấy điểm Q cho BM= CN = DP = AQ a/ Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b/ Chứng minh hình bình hành MNPQ hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng Chứng minh: Q A P O B M C D N ABCD hình thoi, M tia đối tia BA GT N tia đối tia CB, P tia đối tia DC, Q tia đối tia AD cho BM = CN = DP = AQ KL a/ Tứ giác MNPQ hình bình hành b/ Hình bình hành MNPQ hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng a/ BMN = DPQ (c.g.c) MN = PQ AMQ = CPN (c.g.c) QM = NP Tứ giác MNPQ có cạnh đối nên hình bình hành b/ Tứ giác ABCD hình thoi nên AC BD cắt trung điểm O đường (1) Đề thi môn Toán Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Tứ giác AQCN hình hành (AQ // NC AQ = NC) Nên hai đường chéo AC NQ cắt trung điểm O đường (2) Tứ giác MNPQ hình bình hành nên hai đường chéo MP NQ cắt trung điểm O đường (3) Từ (1), (2) (3) O giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD O giao điểm hai đường chéo hình hành MNPQ nên O tâm đối xứng chung hai hình Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB Từ C kẻ CE vng góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M kẻ MF CE, MF cắt BC N a/ Tứ giác MNCD hình gì? Vì sao? b/ Tam giác EMC tam giác gì? Vì sao? c/ Chứng minh BAD AEM Chứng minh: E F B C N A M D ABCD hình bình hành, AD = 2AB, GT CE AB, M trung điểm AD, nối EM, MF CE, MF cắt BC N KL a/ Tứ giác MNCD hình gì? Vì sao? b/ Tam giác EMC tam giác gì? Vì sao? c/ Chứng minh BAD AEM a/ Ta có AB // CD AE EC (gt) MF CE AE // MF Nên AE // MF // DC, AD = 2AB MN = MD = DC = NC Nên Tứ giác MNCD hình thoi b/ MEC cân tai M có MF đường cao Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa Có EF = FC nên đường trung tuyến c/ MC đường chéo hình thoi MNCD Nên MC đường phân giác NMD Ta có M = M M = E1 ( so le trong) Do A = NMD = M + M = M + M = E1 Vậy BAD AEM (đpcm) -Hết Yên Lâm, ngày 02/12/2018 GV biên soạn: Nguyễn Việt Tồn Trịnh Ngọc Qúy Đề thi mơn Tốn ... phân giác BIC c/ IDC IFC (g-c-g) IF = ID, CF = CD Do CI đường trung trực DF Vậy D F đối xứng với qua CI Đề thi môn Toán Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm Yên Định - Thanh Hóa Bài 2: Cho tam giác... thi mơn Tốn Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm Yên Định - Thanh Hóa Do đó: n(n 2)(n 4) 2k (2k 2)(2k 4) 2.2.2.k.(k 1)(k 2) = 8( k 2)(k 1)k 48 ( k 2(k 1)k tích ba số nguyên... Đề thi mơn Tốn Tổ Tốn - Trường THCS Yên Lâm Yên Định - Thanh Hóa Do đó: A ab bc ac 1 1 2ab 2bc 2ac 2 2 Câu 8: a/ Ta có: 2 20 = 2 ( 12 2 32 10 ) 4. 385