HSG Toan 10 YP2 nam hoc 2020 2021 Họ và tên thí sinh Số báo danh Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số bậc hai 2 2( 1) 3 4y x m x m= − − − + (1), với m là tham số a) Vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2 m = b) Tìm điểm c[.]
SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ (Đề có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn – Lớp 10 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Thi ngày: 10/3/2021 Họ tên thí sinh: ……………………………………………….……… Số báo danh: ……………………… Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc hai y = x − 2(m − 1)x − 3m + (1), với m tham số a) Vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m c) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x thỏa mãn x1 − 2x = Câu 2: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , với A (2; 3) , B (−2; −1) , C (1;5) a) Tìm tọa điểm D cho DA − DB + 4.DC = b) Viết phương trình đường thẳng qua D tạo với đường thẳng AB góc 45° c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 3: (3,0 điểm) Giải hệ phương trình bất phương trình sau đây: x 2y + 2x + 3y = 15 a) x + y − 2x − 4y = b) 2x − 8x + > x − Câu 4: (2,0 điểm) Cho ba số thực x , y, z ∈ 0; 3 , thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức ( ) P = x + y + z − 2xyz ============= Hết ============= Thí sinh khơng sử dụng tài liệu làm Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG (HDC có 03 trang) NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn – Lớp 10 Lời giải sơ lược Điểm Câu 1: (2,0 điểm) a) Với m = hàm số (1) trở thành y = x − 2x − có đồ thị sau y 1,0 O -1 x -2 -3 b) Gọi M (x ; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m Ta có y = x 02 − 2(m − 1)x − 3m + 4, ∀m ∈ ℝ ⇔ m(2x + 3) + (y − x 02 − 2x − 4) = 0, ∀m ∈ ℝ x = − 2x + = ⇔ ⇔ y0 − x 02 − 2x − = 13 y0 = 0,5 13 Vậy M (− ; ) điểm cố định mà đồ thị hàm số (1) qua với giá trị m c) Phương trình x − 2(m − 1)x − 3m + = có hai nghiệm phân biệt x1, x −1 + 13 −1 − 13 (2) Lúc này, theo m < 2 định lí Viet, ta có x + x = 2(m − 1), x 1x = − 3m ∆ ' = m + m − > ⇔ m > x + x = 2(m − 1) 4m − 2m − ⇔ x1 = , x2 = Nhận thấy , từ vào x1 − 2x = 3 Trang x1x = − 3m biến đổi ta 8m + 9m − 27 = ⇔ m = −9 ± 105 Cả hai 16 −9 ± 105 đồ thị hàm số (1) cắt trục 16 hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x thỏa mãn x − 2x = giá trị thỏa mãn (2) Vậy với m = 0,5 Câu 2: (3,0 điểm) a) Gọi D(x ; y ) DA = (2 − x ; − y0 ), DB = (−2 − x ; −1 − y ), DC = (1 − x ;5 − y0 ), DA − DB + 4.DC = (8 − 4x ;24 − 4y ) Do 1,0 8 − 4x = x = ⇔ DA − DB + 4.DC = ⇔ 24 − 4y = y = Vậy D(2; 6) b) Đường thẳng d qua điểm D(2;6) , có vectơ pháp tuyến n1 = (a ; b ), a + b ≠ Phương trình d có dạng a(x − 2) + b(y − 6) = Vì AB = (−4; −4) nên n = (1; − 1) vectơ pháp tuyến đường thẳng AB a = ⇔ −2ab = ⇔ n1 n 2(a + b ) b = Nếu a = b ≠ nên d có phương trình y − = Nếu b = a ≠ nên d có phương trình x − = Vậy có đường thẳng qua D tạo với đường thẳng AB góc 450 có phương trình x − = 0, y − = Ta có cos 45° = n1.n2 ⇔ = 0,5 a −b c) Với A (2; 3) , B (−2; −1) , C (1; 5) AB = 2, BC = 5,CA = 5, p = (AB + BC + CA) = 2( + 5) Diện tích tam giác ABC 0,5 0,5 S = p(p − AB(p − BC )(p − CA) = Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R = AB.BC CA = 4.S Câu 3: (3,0 điểm) x 2y + 2x + 3y = 15 x 2y + 2x + 3y = 15 ⇔ a) 2 2 x + y − 2x − 4y = 2(x y + 2x + 3y ) + x + y − 2x − 4y = 35 x y + 2x + 3y = 15 x 2y + 2x + 3y = 15 ⇔ ⇔ x + y = (x + y )2 + 2(x + y ) − 35 = x + y = −7 y = − x y = − x x = 2 2 y = x (5 − x ) + 2x + 3(5 − x ) = 15 x (4 − x ) = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x = ±2 y = −7 − x y = −7 − x x (−7 − x ) + 2x + 3(−7 − x ) = 15 −x − 8x = 36 y = 0,5 0,75 0,75 Trang 2x − 8x + ≥ x − < x ≤ − b) 2x − 8x + > x − ⇔ ⇔ 2x − 8x + > (x − 2)2 x > x − ≥ Câu 4: (2,0 điểm) Vì x , y, z ∈ 0; 3 , x + y + z = nên 2xyz + (3 − x )(3 − y )(3 − z ) ≥ 1,5 ⇔ 2xyz + 27 − 9(x + y + z ) + 3(xy + yz + zx ) − xyz ≥ ⇔ 27 − 9.4 + 3(xy + yz + zx ) + xyz ≥ ⇔ 6(xy + yz + zx ) + 2xyz ≥ 18 ⇔ 3(x + y + z ) + 6(xy + yz + zx ) + 2xyz ≥ 18 + 3(x + y + z ) 1,0 ⇔ 3(x + y + z )2 + 2xyz ≥ 18 + 3(x + y + z ) ⇔ 3.42 + 2xyz ≥ 18 + 3(x + y + z ) ⇔ 3(x + y + z ) − 2xyz ≤ 30 Dấu “=” xảy ba số x , y, z có số 0, số số { } Vậy max P = max (x + y + z ) − 2xyz = 30 0,5 0,5 Trang ... 3: (3,0 điểm) x 2y + 2x + 3y = 15 x 2y + 2x + 3y = 15 ⇔ a) 2 2 x + y − 2x − 4y = ? ?2( x y + 2x + 3y ) + x + y − 2x − 4y = 35 x y + 2x + 3y = 15 x 2y + 2x + 3y = 15 ⇔... GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG (HDC có 03 trang) NĂM HỌC 20 20 – 20 21 Mơn: Tốn – Lớp 10 Lời giải sơ lược Điểm Câu 1: (2, 0 điểm) a) Với m = hàm... 13 −1 − 13 (2) Lúc này, theo m < 2 định lí Viet, ta có x + x = 2( m − 1), x 1x = − 3m ∆ '' = m + m − > ⇔ m > x + x = 2( m − 1) 4m − 2m − ⇔ x1 = , x2 = Nhận thấy , từ vào x1 − 2x = 3 Trang