SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN TOÁN – LỚP 12 THPT Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang & 05 bà[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 TỈNH QUẢNG BÌNH MƠN TOÁN – LỚP 12 THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang & 05 tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 22/03/2022 Câu (2,0 điểm) a Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 18 x 16 đoạn 0;3 b Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x 2022 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Câu (2,0 điểm) a Giải phương trình log x x log 1 x x x x b Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp A Tính xác suất để chọn số cho số chia hết cho có chữ số hàng đơn vị Câu (2,0 điểm) a Cho F x nguyên hàm hàm số f x ln x ln x thỏa mãn F 1 Hãy tính F e x b Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y z hai điểm A 3;0;0 , B 4; 2;1 Gọi 2 M điểm thuộc mặt cầu S Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA MB Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB a , AD b , SA vng góc với đáy SA 2a Gọi M điểm nằm cạnh SA cho AM x x 2a a Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng MBC theo a, b x b Tìm x theo a để mặt phẳng MBC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích c Trong trường hợp ABCD hình vng cạnh a, gọi K điểm di động CD, H hình chiếu S lên BK Tìm vị trí điểm K CD để thể tích khối chóp S.ABH lớn Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b với a b Chứng minh ln b ln a ab ba ba 2ab _ HẾT _ LỜI GIẢI THAM KHẢO - Nguyễn Xuân Chung Câu 1a Tìm GTLN, GTNN f ( x ) = ( x − 18) x + 16 [0;3] Ta có f ' ( x ) = x + 16 + x − 18 x = ( x − x + 8) x + 16 x + 16 Xét khoảng ( 0;3) , f ′ ( x ) = ⇔ x = = ( x − )( x − 1) x + 16 Vậy GTNN f ( 3) = −75 , GTLN f (1) = −17 17 Câu 1b Xét y = x − ( m + 1) x + 2022 Ta có= y ' x x − ( m + 1) Hàm số có ba cực trị m + > ⇔ m > −1 m + ( m + 1) Tọa độ điểm cực tiểu bên trái B − ;− + 2022 , tọa độ điểm cực đại A ( 0;2022 ) Tam giác có ba góc nhọn : ( m + 1) y A − yB m + ( m + 1) m +1 Với cos= α > ⇔ > + = t > 0, 16 BA m +1 ta có 4t > ( t + t ) ⇔ t ( t − 1) > ⇒ t > Khi > ⇒ m > Kết hợp ta có điều kiện cần tìm m > 1 Câu 2a Điều kiện x < 2 Ta có PT ⇔ log x2 − x + + x2 − x = + log (1 − x ) + (1 − x ) (*) + > 0, ∀t > , nên f ( t ) đồng biến t ln Do từ (*) suy x − x + = (1 − x ) ⇒ x = (Vì x < ) Vậy phương trình có nghiệm x = Xét hàm số f (= t ) log t + t ⇒ f ' (= t) Câu 2b Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) =9.104 Giả sử chọn số abcd1 abcd1 chia hết cho Số nhỏ thỏa mãn 10031 Số lớn thỏa mãn 99981 Các thương chia hai số cho 1433 14283 Cứ cách 10 đơn vị có số chia hết cho Mặt khác để tận thương có dạng *3 , 1433 ≤ *3 ≤ 14283 Như số thương tìm là: 14283 − 1433 +1 = 1286 10 Vậy có 1286 số thỏa mãn Xác suất cần tìm = p 1286 643 = ≈ 0,0143 9.10 4500 2ln x ln x dx = 2udu dx Đặt ln x + = u ⇒ ln x + = u ⇒ x x ln x 2 Khi ∫ ln x + Hay = + dx = u du u C F = x x + +C ln ( ) ∫ x 3 1 Giả thiết F (1) = ⇒ C = Do = F ( x) ln x + 3 Vậy= F (e) ⇒ F= ( e ) Câu 3b Tìm GTNN MA + MB Mặt cầu có tâm I ( −1; 4;0 ) , bán kính R = 2 Tính IA = ( 4; −4;0 ) Đặt IA =4 IC ⇒ IC =(1; −1;0 ) ⇔ C ( 0;3;0 ) IC = < R= 2 Ta có MA2 =IA − IM =IA2 + IM − IA.IM = 40 − IC.IM Hay MA2= + − IC.IM = MC , suy MA = MC Câu 3a Tìm ∫ ln x + ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) Khi MA + MB = ( MC + MB ) ≥ 2CB = Đạt M = CB ∩ ( S ) Ta có CM =tCB =( 4t ; −t ; t ) , t > , suy M ( 4t ; −t + 3; t ) thay vào mặt cầu ( 4t + 1) + ( t + 1) Suy t = + t2 = −10 + 133 13 + 133 −5 + 133 −5 + 133 ⇒M ; ; 18 18 Vậy ( MA + MB ) = Lời bình Thi tự luận để tìm – max bắt buộc rõ đạt Bất đẳng thức khơng u cầu bắt buộc Câu 4a Tính diện tích thiết diện Ta có BC / / AD ⇒ BC / / mp ( SAD ) , mp ( MBC ) ∩ mp ( SAD ) = MN / / AD Mặt khác AD ⊥ mp ( SAB ) ⇒ MN ⊥ mp ( SAB ) Thiết diện BMNC hình thang vng M B Đặt MN = y b ( 2a − x ) MN SM y 2a − x = ⇔ = ⇒ y= AD SA b 2a 2a ( y + b) b ( 4a − x ) x + a Diện tích= (đvdt) S BMNC x +a = 4a Câu 4b Tìm x theo a để mp ( MBC ) chia khối chóp thành hai phần tích 2 Hạ SK ⊥ BM ⇒ SK ⊥ mp ( BMNC ) nên SK đường cao S BMNC Hai tam giác vuông đồng dạng MKS MAB suy SK = ( 2a − x ) a x2 + a2 VS BMNC = b ( 2a − x )( 4a − x ) = 12 Mặt khác = VS ABCD Vậy x= b ( 2a − x )( 4a − x ) (1) 12 KS MS , đó: = AB MB ba (2) Từ (1) (2) ta có: = 2a.ab ba ⇔ ( 2a − x )( 4a − x ) = 4a ⇒ x = − a ( ) (3 − ) a mp ( MBC ) chia khối chóp thành hai phần tích Câu 4c Xác định vị trí điểm K để thể tích khối chóp S ABH lớn Ta tích khối chóp S ABH lớn diện tích ABH lớn a2 1 2 Mà BK ⊥ ( SAH ) ⇒ BK ⊥ AH nên S ABH = AH HB ≤ ( AH + HB= ) 4 a = AC , H tâm hình vng ABCD 2 Vậy K trùng D thể tích khối chóp S ABH lớn ln b − ln a ab + Chứng minh bất đẳng thức , với < a < b < < b+a b−a 2ab b Đặt =1 + x, ( x > ) ⇒ b = a (1 + x ) ⇒ a + b = a ( + x ) ; ab = a (1 + x ) a ln (1 + x ) ln b − ln a + Khi đó: < ⇔ < ⇔ ( + x ) ln (1 + x ) − x > b+a b−a a (2 + x) ax Dấu có AH = HB = Câu Xét f ( x ) = ( x + ) ln ( x + 1) − x ( 0; + ∞ ) (và hàm số khác), có: x+2 − 2= ln ( x + 1) + −1 x +1 x +1 1 x f '' ( x= − = > 0, ∀x > nên f ' ( x ) đồng biến, suy ra: ) 2 x + ( x + 1) ( x + 1) f ' ( x= ) ln ( x + 1) + (1) f '( x ) > f '( 0) = nên f ( x ) đồng biến, suy f ( x ) > f ( ) = + Mặt khác ab + ab , ta chứng minh ≥ = 2ab 2ab ab ln ( x + 1) ln b − ln a < ⇔ < b−a ax ab a g '( x ) = ln ( x + 1) + 2 x +1 − x +1 Ta có h ' ( x ) = h ( x ) < h ( 0) = ( x + 1) ⇔ g ( x)= x + 1ln ( x + 1) − x < − < ⇔ h ( x ) = + ln ( x + 1) − x + < 1− x +1 = < nên nên h ( x ) nghịch biến, suy x +1 x +1 Do g ( x ) nghịch biến, suy g ( x ) < g ( ) = (2) Từ (1) (2) ta có bất đẳng thức cho chứng minh _ TOANMATH.com _ ... 1) x + 2022 Ta có= y '' x x − ( m + 1) Hàm số có ba cực trị m + > ⇔ m > −1 m + ( m + 1) Tọa độ điểm cực tiểu bên trái B − ;− + 2022 , tọa độ điểm cực đại A ( 0 ;2022 )... dạng *3 , 1433 ≤ *3 ≤ 14283 Như số thương tìm là: 14283 − 1433 +1 = 128 6 10 Vậy có 128 6 số thỏa mãn Xác suất cần tìm = p 128 6 643 = ≈ 0,0143 9.10 4500 2ln x ln x dx = 2udu dx Đặt ln x + =... ; 18 18 Vậy ( MA + MB ) = Lời bình Thi tự luận để tìm – max bắt buộc rõ đạt Bất đẳng thức không yêu cầu bắt buộc Câu 4a Tính diện tích thi? ??t diện Ta có BC / / AD ⇒ BC / / mp ( SAD ) , mp