Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 năm 2021-2022 có đáp án - Sở GD&ĐT Bắc Ninh” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, bổ sung thêm kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021-2022 Mơn: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (Đề thi có 01 trang) Câu (4,0 điểm) 1) Cho x Tính giá trị biểu thức A x 5x 6x 6x 2) Cho Parabol (P ) : y x đường thẳng (d ) : y mx ( m tham số) Chứng minh đường thẳng (d ) cắt đồ thị (P ) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để diện tích tam giác OAB Câu (4,0 điểm) (x 3)2 4(y 1)(3y x ) 1) Giải hệ phương trình x 5 3y xy 2y 2) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P a b2 c2 a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c Câu (4,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương n cho số n 26 n 11 lập phương số nguyên dương 2) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất ước số tự nhiên p số phương Câu (7,0 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn O; R có B,C cố định Các đường cao AD, BE ,CF tam giác ABC đồng quy H Đường thẳng chứa tia phân giác cắt AB, AC M , N BHC a) Chứng minh tam giác AMN cân AD.BC b) Chứng minh OA vng góc với EF ; DE EF FD R K K A c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác BAC Chứng minh HK qua điểm cố định A thay đổi 2) Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M , N , P,Q thuộc cạnh AB, BC ,CD, DA hình vng Chứng minh S ABCD ≤ AC MN NP PQ QM Câu (1,0 điểm) Cho điểm mặt phẳng tô hai màu xanh, đỏ Chứng minh tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021-2022 Mơn: Tốn - Lớp ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đáp án Điểm UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (Hướng dẫn có 04 trang) Câu 1.1 (2,0 điểm) x x5 A x3 5x 6x 6x A Vậy A 1.2 (2,0 điểm) 6x 1,0 x3 x2 6x 1,0 Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x mx x2 mx Ta có m2 16 , với m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt, suy đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt 1,0 d qua điểm cố định I 0; nằm trục tung Ngoài gọi A x1; y1 , B x ; y2 x1.x nên hai giao điểm A, B nằm hai phía trục tung AH OI hình chiếu vng góc điểm A, B trục Oy Ta có Giả sử x1 OI x ta có SOAB 4, AH SOAB x1 x1 x1 x2 x1, BK x2 SOAI x Suy SOAB x2 x1 x2 x2 x1 1,0 4x1x Theo định lý Viet ta có: Thay vào ta có: SOAB m, x1x BK OI với H , K SOBI m2 16 1)(3y x) 64 m 2.1 (2,0 điểm) 3)2 (x 3y 4(y 1)(3y x xy 2 ;x Điều kiện: y x) 2y 3; 3y 2 x 3)2 Phương trình (1) tương đương (x x2 12y 12y (2y 5)2 12y 12y x 2y (4y 4) x 2y (4y 4) x2 4xy 4x Coi phương trình bậc x ta có: ' suy 6x 4(y 4y 6y 2y 2x(5 2y) 12y 12y 1,0 6y Trường hợp 1: x 6y y suy phương trình vơ nghiệm Do x 2y thay vào phương trình hệ ta có: Trường hợp 2: x 1,0 3y y 2y 2 3y Ta có: 3y y Nghĩa VP VT , suy y Vậy hệ có nghiệm x ; y y 2 3y ;2y y 2y y x 1;2 2.2 (2,0 điểm) Ta có: c a b a P a b 4c 2x P c a x b a x2 4c c c x c b b 2x 3x 1 1,0 c x 3x 15 1,0 15 a Vậy Pmin b 15 ;c 15 3.1 (2,0 điểm) Giả sử x3 n 26 x (1) n 11 y (2) y3 y) x (x 37 Chứng minh x x y 1(3) x Từ suy x với x, y số nguyên dương Lấy (1) trừ (2) vế ta x2 y y2 xy 1,0 y với x, y nguyên dương suy được: xy y2 xy 37 37(4) y thay vào cho y 3; y (loại) thay vào (5) cho x Từ y y 12 tìm giá trị y 1,0 suy n 38 3.2 (2,0 điểm) Gọi p số nguyên tố nên p có ước số tự nhiên 1, p, p 2, p 3, p p Giả sử Ta có (2n) Suy 2p p2 4n p p3 p4 4p n với n (2n ) 4p 2p Bất đẳng thức xảy (2n )2 Từ (1) (2) suy p2 2p 4p 4p p p Vì p số nguyên tố nên p 3 4p p 2p 4p 3 4p (1) 1,0 2 p 4p 4p 4p 4p 4p 5p2 5p 2p 2p (2) 1,0 , ta có: p Đảo lại với p 32 33 34 81 có ước số tự nhiên là: 1, 3, 32, 33, 34 112 121 4.1a (2,0 điểm) A x Q E F O H M P N I J K B Ta có AMN C D ABH MHB ANM ACH NHC Do HM HN phân giác góc BHF CHE ta có BHF MHB NHC Lại có tứ giác BFEC nội tiếp nên FBH Từ ta AMN 4.1.b (2,0 điểm) CHE nên suy CHE ANM nên tam giác AMN cân A Từ A ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) Khi ta có BAx ACB Mặt khác tứ giác BCEF nội tiếp nên ta có AFE ACB Do ta AFE xAB nên Ax//EF mà ta lại có OA EF Hồn tồn tương tự ta có OB DF ;CO DE Từ suy SABC SFOEA R.EF Mà ta có SABC 2,0 SBDOF R.DE AD.BC nên DE 1,0 SCDOE R.FD EF FD R DE AD.BC R EF FD 1,0 4.1.c (2,0 điểm) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt tia phân giác góc MAN K nên AK đường kính đường trịn Từ ta có KMA KNA 90o Từ dẫn đến KM / /CH KN / /BH suy tứ giác HIKJ hình bình hành, HK qua trung điểm IJ IH Do IM / /HF nên theo định lí Talets ta có IB MF HF giác BHF nên ta có MB HB MF Lại có HM phân giác tam MB 1,0 HF HJ HE Hoàn tồn tương tự ta có CJ HC HB HF HE IH HJ Mà tứ giác BCEF nội tiếp nên ta có IB CJ HB HC Từ suy IJ / /BC Theo bổ đề hình thang HK qua trung điểm BC cố định hay HK qua điểm cố định 4.2 (1,0 điểm) Từ ta IH IB M A 1,0 B N I Q K L 1,0 D C P Gọi T , K , L trung điểm MQ, MP, NP theo tính chất đường trung bình trung tuyến tam giác vng ta có MN NP PQ QM 2(KL CL IK AI ) 2AC Từ suy đpcm (1,0 điểm) Trên mặt phẳng lấy điểm tùy ý cho khơng có điểm thẳng hàng Khi đó, dùng màu để tơ màu điểm nên theo ngun lí Dirichlet phải tồn điểm màu Giả sử điểm A, B,C màu đỏ Như ta có tam giác ABC với đỉnh màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chỉ có hai khả xảy ra: 1) Nếu G màu đỏ Khi A, B,C ,G có màu đỏ toán chứng minh 2) Nếu G có màu xanh Kéo dài GA,GB,GC đoạn AA’ 3GA, BB’ 3GB,CC ’ 3GC Khi gọi M , N , P tương ứng trung điểm BC ,CA, AB AA’ 2AM AA’ 3GA 6GM 0,5 B' B P M G C C' N A 0,5 A' Tương tự B’B 2BN ,C ’C 2CP Do tam giác ABC ’ , B’AC ,C ’AB tương ứng nhận A, B,C trọng tâm Mặt khác, ta ’ ’C ’ có trọng tâm G Có hai trường hợp xảy có tam giác ABC AB a) Nếu A’, B’,C ’ màu xanh Khi tam giác AB ’ ’C ’ trọng tâm G có màu xanh ’ ’C ’ có màu đỏ Khơng tính tổng quát giả sử A’ b) Nếu điểm AB ’ màu đỏ Khi tam giác ABC trọng tâm có màu đỏ Vậy khả tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu đỏ Đó đpcm Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm Học sinh trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm học sinh kết đến cuối cịn sai sót giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi khơng làm trịn -Hết - ... DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 202 1-2 022 Mơn: Tốn - Lớp ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đáp án Điểm UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (Hướng dẫn có 04 trang)... A, B,C màu đỏ Như ta có tam giác ABC với đỉnh màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chỉ có hai khả xảy ra: 1) Nếu G màu đỏ Khi A, B,C ,G có màu đỏ toán chứng minh 2) Nếu G có màu xanh Kéo dài GA,GB,GC... ta có KMA KNA 90 o Từ dẫn đến KM / /CH KN / /BH suy tứ giác HIKJ hình bình hành, HK qua trung điểm IJ IH Do IM / /HF nên theo định lí Talets ta có IB MF HF giác BHF nên ta có MB HB MF Lại có