Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1. (6 điểm)a) Rút gọn biểu thức: A = b) Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1Câu 2. (2 điểm) Cho . Tính Câu 3. (4 điểm) Giải các ph¬ương trình sau : a) x2 2012x 2013 = 0b) Câu 4. ( 6 điểm) Cho hình vuông . Gọi là một điểm trên cạnh ( khác và ). Qua kẻ vuông góc với , cắt tại . Trung tuyến của tam giác cắt ở . Đường thẳng kẻ qua , song song với cắt ở . a) Chứng minh = và tứ giác là hình thoi. b) Chứng minh đồng dạng với và = c) Khi thay đổi trên , chứng minh chu vi tam giác không đổi.Câu 5. (2điểm) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
UBND HUYỆN YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN, LỚP Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề) Câu (6 điểm) x2 10 − x + + : x − + a) Rút gọn biểu thức: A = x + x − x − 3x x + x + 3x + b) Cho biểu thức A = Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị 2x + nguyên c) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ : x2 +x+1 1 yz xz xy Câu (2 điểm) Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) Tính + + x y z Câu (4 điểm) Giải phương trình sau : a) x2 - 2012x - 2013 = x − 4x + x − 5x + +2=− b) x +1 2x + Câu ( điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C ) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng kẻ qua E , song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF AF = FK FC c) Khi E thay đổi BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu (2điểm) Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + a+b−c b+c−a c+a−b a b c Hết Họ tên học sinh:…………………………………, Số báo danh:………… UBND HUYỆN YÊN LẬP HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH PHÒNG GD&ĐT GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN, LỚP Ngày thi:……… Câu (6điểm) a) (2điểm) Rút gon biểu thức: A = x2 10 − x : x − + + + x+2 x − x − 3x x + x + + : x −4 2− x x + 2 x + x − 2( x + ) + x − = ( x − 2)( x + 2) : x + A= −6 x+2 (1điểm) = ( x − )( x + ) = − x (1điểm) x + 3x + b) (2điểm) Cho biểu thức A = 2x + Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Ta có ĐKXĐ x ≠ -1/2 A = (x + 1) + 2x + (0,5điểm) x∈ Z nên để A nguyên nguyên Hay 2x+1 ước 2x + Vậy : 2x+1 = ⇒ x=1/2 ( loại ) (0,25điểm) 2x+1 = ⇒ x = (0,25điểm) 2x+1 = -1 ⇒ x = -1 (0,25điểm) 2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( loại ) (0,25điểm) KL : Với x = , x= -1 A nhận giá trị nguyên (0,5điểm) c) (2điểm) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ : x2+x+1 Ta có : x2+x+1 = (x+ )2 + Giá trị nhỏ 3 ≥ 4 (x+ )2=0 (1điểm) Tức x = - Câu 2.(2điểm) 1 yz xz xy Cho x + y + z = 0( x, y, z ≠ 0) Tính + + x y z 1 1 1 1 + + = ⇒ = − + ÷ x y z z x y (1điểm) 1 1 1 1 1 1 ⇒ = − + ÷ ⇒ = − + + + ÷ z z x y x y y x y x (0,5điểm) ⇒ 1 1 1 1 + + = −3 + ÷ x y z x y x y (0,5điểm) ⇒ 1 1 1 + + = Do : xyz( 3 + + )= x y z xyz y x z (0,5điểm) ⇔ xyz xyz xyz yz zx xy + + =3⇔ + + =3 x y z x y z (0,5điểm) Câu (4điểm) Giải phương trình a) x2 - 2012x - 2013 = Phân tích vế trái (x-20013)(x+1) = (1điểm) ⇔ (x-2013)(x+1) = ⇒ x1 = -1 ; x2 = 2013 (1điểm) x − 4x + x − 5x + +2=− x +1 2x + 1 ĐKXĐ : x ≠ −1; x ≠ − b) PT ⇔ ⇔ (0,5điểm) x − 4x + x − 5x + +1+ +1 = x +1 2x + x − 3x + x − 3x + + =0 x +1 2x + (0,5điểm) ⇔ ( x − 3x + ) + ÷= x +1 2x +1 ⇔ ( x − 1) ( x − ) ( x + ) = (0,5điểm) ⇔ x =1 ; x = ; x = - 2/ Cả giá trị thỏa mãn ĐKXĐ 2 Vậy PT cho có tập nghiệm S = 1;2;− 3 (0,5điểm) Câu (6điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C ) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng kẻ qua E , song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh ∆ AKF đồng dạng với ∆ CAF AF = FK FC c) Khi E thay đổi BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi B A - Vẽ hình đúng, xác: (0,5điểm) E G I F D K C x · · a) (2điểm)Xét hai tam giác vuông ABE ADF có AB = AD, BAE = DAF · ( Cùng phụ với DAE ) Vậy ∆ABE = ∆ADF ⇒ AE = AF (0,5điểm) Vì AE = AF AI trung tuyến tam giác AEF (0,5điểm) ⇒ AI ⊥ EF Hai tam giác · · vuông IEG IFK có IE=IF, IEG ( So le trong) nên ∆ IEG= ∆ IFK = IFK ⇒ EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành (0,5điểm) Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vuông góc nên hình thoi (0,5điểm) · b) (2điểm)Xét hai tam giác AKF CAF có ·AFK = CFA ( góc chung) (0,5điểm) · (0,5điểm) KAF = ·ACF = 450 (AC đường chéo hình vuông ABCD, AK trung tuyến tam giác vuông cân AEF) Suy tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF (0,5điểm) Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có: AF FK = ⇔ AF = FK FC (0,5điểm) FC AF c)( 1,5điểm) Theo ý a, ta có ∆ABE = ∆ADF nên EB = FD (0,5điểm) Tứ giác EGFK hình thoi nên EK=KF (0,5điểm) Do đó, chu vi tam giác EKC EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi) (0,5điểm) Câu (2điểm) Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + a+b−c b+c−a c+a−b a b c Vì a,b,c độ dài cạnh tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > (0,5điểm) 1 + ≥ với x,y > x y x+ y 1 + ≥ = a + b − c b + c − a 2b b 1 + ≥ b+c−a c+a −b c 1 + ≥ c+a−b a+b−c a (0,5điểm) (0,5điểm) Cộng vế bất đẳng thức chia cho ta điều phải chứng minh Xảy dấu đẳng thức a = b = c (0,5điểm) ...UBND HUYỆN YÊN LẬP HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH PHÒNG GD&ĐT GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN, LỚP Ngày thi: ……… Câu (6điểm) a) (2điểm) Rút gon biểu thức: A =