Câu 1. (6 điểm)a) Rút gọn biểu thức: A = b) Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1Câu 2. (2 điểm) Cho . Tính Câu 3. (4 điểm) Giải các ph¬ương trình sau : a) x2 2012x 2013 = 0b) Câu 4. ( 6 điểm) Cho hình vuông . Gọi là một điểm trên cạnh ( khác và ). Qua kẻ vuông góc với , cắt tại . Trung tuyến của tam giác cắt ở . Đường thẳng kẻ qua , song song với cắt ở . a) Chứng minh = và tứ giác là hình thoi. b) Chứng minh đồng dạng với và = c) Khi thay đổi trên , chứng minh chu vi tam giác không đổi.Câu 5. (2điểm) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
Trang 1UBND HUYỆN YÊN LẬP
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN, LỚP 8
Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (6 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = +
− +
−
+
+
−
+
10 2 : 2
1 3
6
6 4
2 3
2
x
x x
x x x
x x
b) Cho biểu thức A =2 2 31 3
2 +
+ +
x
x x
Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
c) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1
Câu 2 (2 điểm) Cho 1 1 1 0( , ,x y z 0)
x+ + =y z ≠ Tính yz2 xz2 xy2
x + y + z
Câu 3 (4 điểm) Giải các phương trình sau :
a) x2 - 2012x - 2013 = 0
b)
1 2
1 5 2
1
1
2
+
+
−
−
= + +
+
−
x
x x x
x
x
Câu 4 ( 6 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC ( E
khác B và C ) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đường thẳng kẻ qua E , song song với
AB cắt AI ở G
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh ∆AKF đồng dạng với ∆CAF và AF = 2 FK FC.
c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 5 (2điểm) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:
b a c a c b c b
a+ − + + − + + −
1 1
1
≥
c b a
1 1
1 + +
Hết
Họ và tên học sinh:………, Số báo danh:………….
Trang 2UBND HUYỆN YÊN LẬP
PHÒNG GD&ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN, LỚP 8
Ngày thi:………
Câu 1 (6điểm)
a) (2điểm) Rút gon biểu thức: A = +
− +
−
+
+
−
+
10 2 : 2
1 3
6
6 4
2 3
2
x
x x
x x x
x x
A =
2
6 : 2
1 2
2 4
+
+
−
+
x
x
6 : 2 2
2 2
2
+ +
−
− + +
−
x x
x
x x
x
(1điểm)
x x
+ +
−
−
2
1 6
2 2
2
6
(1điểm) b) (2điểm) Cho biểu thức A =2 2 31 3
2 +
+ +
x
x x
Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên Ta có ĐKXĐ x ≠ -1/2
A = (x + 1) +
1 2
2
+
x (0,5điểm)
vì x∈ Z nên để A nguyên thì
1 2
2
+
x nguyên Hay 2x+1 là ước của 2 Vậy :
2x+1 = 2 ⇒x=1/2 ( loại ) (0,25điểm)
2x+1 = 1 ⇒ x = 0 (0,25điểm)
2x+1 = -1 ⇒ x = -1 (0,25điểm)
2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( loại ) (0,25điểm)
KL : Với x = 0 , x= -1 thì A nhận giá trị nguyên (0,5điểm)
c) (2điểm) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2+x+1
Ta có : x2+x+1 = (x+
2
1 )2 + 4
3
≥
4
3 (1điểm) Giá trị nhỏ nhất là
4
3 khi (x+
2
1 )2=0 Tức x =
-2
1 (1điểm)
Câu 2.(2điểm) .
Cho 1 1 1 0( , ,x y z 0)
x+ + =y z ≠ Tính yz2 xz2 xy2
x + y + z
0
+ + = ⇒ = − + ÷
Trang 33 3
3
(0,5điểm)
3.
⇒ + + = Do đó : xyz( 13
x + 3
1
y + 13
z )= 3 (0,5điểm)
⇔ + + = ⇔ + + = (0,5điểm)
Câu 3 (4điểm) Giải phương trình
a) x2 - 2012x - 2013 = 0
Phân tích vế trái bằng (x-20013)(x+1) = 0 (1điểm)
⇔(x-2013)(x+1) = 0 ⇒ x1 = -1 ; x2 = 2013 (1điểm)
b)
1 2
1 5 2
1
1
2
+
+
−
−
= + +
+
−
x
x x x
x
x
ĐKXĐ :
2
1
;
−
x (0,5điểm)
1 2
1 5 1
1
1
2
= + +
+
− + + +
+
−
⇔
x
x x x
x x
0 1 2
2 3 1
2
2
= +
+
− + +
+
−
⇔
x
x x x
x
x
(0,5điểm)
(x 1) (x 2 3) ( x 2) 0
⇔ − − + = (0,5điểm)
⇔x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy PT đã cho có tập nghiệm S =
3
2
; 2
;
1 (0,5điểm)
Câu 4 (6điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC (
E khác B và C ) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đường thẳng kẻ qua E, song song với
AB cắt AI ở G
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh ∆AKF đồng dạng với ∆CAF và AF = 2 FK FC.
c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Trang 4- Vẽ hình đúng, chính xác: (0,5điểm)
a) (2điểm)Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, ·BAE DAF=·
( Cùng phụ với ·DAE ) Vậy ∆ABE = ∆ADF ⇒ AE= AF (0,5điểm)
Vì AE =AF và AI là trung tuyến của tam giác AEF
AI
⇒ ⊥EF Hai tam giác (0,5điểm)
vuông IEG và IFK có IE=IF, ·IEG IFK= · ( So le trong) nên ∆IEG= ∆IFK
⇒EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nên
là hình bình hành
(0,5điểm)
Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK và EF vuông góc nên là hình thoi (0,5điểm)
b) (2điểm)Xét hai tam giác AKF và CAF có ·AFK CFA=· ( góc chung) (0,5điểm) ·KAF =·ACF =450 (0,5điểm) (AC là đường chéo hình vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông cân AEF)
Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF (0,5điểm)
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta có:
2
FC = AF ⇔ = (0,5điểm)
c)( 1,5điểm) Theo ý a, ta có ABE∆ = ∆ADF nên EB = FD (0,5điểm)
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF (0,5điểm)
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng
EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi) (0,5điểm)
Câu 5 (2điểm)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:
b a c a c b c b
a+ − + + − + + −
1 1
1
≥
c b a
1 1
1 + +
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên
C D
E
F x
I K G
Trang 5a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 (0,5điểm)
y
x
y
x+ ≥ +
4
1
1
với x,y > 0
b b a c b
c
b
a
2 2
4 1
1
=
≥
− +
+
−
+ (0,5điểm)
c b a c
a
c
b
2 1
− +
+
−
+
a c b a
b
a
c
2 1
− +
+
−
+ (0,5điểm)
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta được điều phải chứng minh Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c (0,5điểm)