Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 7 năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề bài: Câu1(4điểm):Tìm x biết: a) 7,5 x : ( 9 - 6 13 21 ) = 2 13 25 ; b) (3x -1) 2 46 = 2 . 3 3 c) 2 x + 2 x+2 =160 ; d) 1 2 x + + 2x + = 3x Câu 2(3điểm): So sánh: a) 3 500 và 7 300 ; b) 9 1 243 ữ và 13 1 83 ữ c) P = 19 20 10 1 10 1 + + và Q = 20 21 10 1 10 1 + + Câu 3(4điểm): Tìm ba số tự nhiên có tổng các bình phơng là 1201; số thứ nhất và số thứ hai tỉ lệ với 3 và 4; số thứ nhất và số thứ ba tỉ lệ với 5 và 8. Câu 4(8điểm): Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Gọi M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK cùng vuông góc với AE( Hvà K thuộc đờng thẳng AE). Chứng minh rằng: a) BH = AK. b) MBH = MAK. c) Tam giác MHK là tam giác vuông cân. d) Khi E di động trên đoạn thẳng MC thì BH 2 + CK 2 luôn không đổi. Câu 5(1điểm): Cho ba số chính phơng x ; y ; z. Chứng minh rằng: A = (x y)(y z)(z - x) M 12 Hết Đề thi gồm 01 trang Hớng dẫn chấm Môn: Toán 7 Câu ý Nội dung Điểm Câu1 4đ a) 1đ b) 1đ a) 7,5 x : ( 9 - 6 13 21 ) = 2 13 25 7,5 x : 50 21 = 63 25 7,5 x = 63 25 . 50 21 x = 4 5 . Vậy x = 4 5 b) (3x -1) 2 46 = 2 . 3 3 (3x -1) 2 46 = 54 (3x -1) 2 = 100 (3x -1) 2 = 10 2 3x 1 = 10 hoặc 3x 1 = - 10 * Nếu 3x 1 = 10 x = 11 3 * Nếu 3x 1 = -10 x = -3 Vậy x = 11 3 ; x = -3 1 0,5 0,25 0,25 c) 1đ c) 2x + 2x+2 =160 2x(1+ 22) =160 2x = 32 x = 5 Vậy x = 5 0,5 0,5 d) 1đ d) 1 2 x + + 2x + = 3x (*) *) Xét x < 0 VT 0; VP < 0 nên không có giá trị nào của x thoả mãn *) Xét x 0. 1 0 2 x + > và 2 0x + > nên 1 2 x + = 1 2 x + ; 2x + = 2x + Khi đó (*) trở thành: 1 2 x + + 2x + = 3x x = 2 1 2 Vậy x = 2 1 2 0,5 0,5 Câu2 3đ a) 1đ a) 3 500 và 7 300 Ta có: 3 500 = (3 5 ) 100 = 243 100 7 300 = (7 3 ) 100 = 343 100 Vì 243 100 < 343 100 nên 3 500 < 7 300 Vậy 3 500 < 7 300 0,5 0,5 b ) 1đ b) 9 1 243 ữ và 13 1 83 ữ Ta có: 9 1 243 ữ = 9 5 1 3 ữ = 45 1 3 ữ > 52 1 3 ữ = 13 4 1 3 ữ = 13 1 81 ữ > 13 1 83 ữ Vậy 9 1 243 ữ > 13 1 83 ữ 1 c) 1đ c) P = 19 20 10 1 10 1 + + và Q = 20 21 10 1 10 1 + + Ta có: 10P = 20 20 10 10 10 1 + + = 1 + 20 9 10 1+ (1) 10Q = 21 21 10 10 10 1 + + = 1 + 21 9 10 1+ (2) Vì 20 9 10 1+ > 21 9 10 1+ nên từ (1) và (2) suy ra10P > 10Q P > Q Vậy P > Q 0,5 0,5 Câu3 4đ Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là x, y, z. Theo đề bài ta có 3 4 x y = và 5 8 x z = 15 20 24 x y z = = Đặt: 15 20 24 x y z = = = k ( k 0) x =15k; y = 20k; z = 24k x 2 + y 2 + z 2 =(15k) 2 +(20k) 2 + (24k) 2 = 1201k 2 = 1201 k 2 = 1 k =1 ( vì k 0 ) x = 15 ; y = 20 ; z = 24 Vậy: x = 15 ; y = 20 ; z = 24 là ba số phải tìm 1,0 0,75 0,5 0,75 0,5 0,5 Câu4 8đ a) 2, 0đ b) 2, 0đ Xét ABH và CAK có: + H = K = 90 0 (gt) + AB = AC (gt) + ABH = CAK( cùng phụ với BAH ) ABH = CAK( ch gn) BH = AK Dễ thấy: AMB = AMC ( c.g.c) AMB = AMC mà AMB + AMC = 180 0 AMB = AMC = 90 0 AM BC. Do ABC vuông cân nên ABC = 45 0 AMB vuông cân tại M MA = MB. Xét MBH và MAK có: + BH = AK( chứng minh câu a) + MBH = MAK ( cùng phụ với AEB) + MA = MB ( chứng minh trên) MBH = MAK ( c.g.c) 2 1 1 A B C K H M E c) 2đ d) 2đ Theo câu b) MBH = MAK MH = MK ( 1) Và KMA = HMB Mà HMB = 90 0 + HMA KMA = KMH + HMA KMH = 90 0 (2) Từ (1) và (2) MKH vuông cân tại M *Khi E khác M và C: áp dụng định lí Pi - ta - go vào tam giác vuông ACK ta có: AK 2 + KC 2 = AC 2 mà AK = BH AK 2 = BH 2 BH 2 + KC 2 = AC 2 không đổi * Khi E trùng với C thì BH 2 + KC 2 = AB 2 + 0 2 = AB 2 = AC 2 * Khi E trùng với M thì BH 2 + KC 2 = MA 2 + MC 2 = AC 2 Vậy khi E di động trên đoạn thẳng MC thì tổng BH 2 + KC 2 luôn không đổi 2 1 0,5 0,5 Câu5 1đ Theo đề bài x; y; z là 3 số chính phơng. Mà một số chính phơng khi chia cho 3 hoặc cho 4 đều chỉ có thể d 0 hoặc d 1. Do đó trong 3 số chính phơng x; y; z khi chia cho 3 phải có hai số có cùng số d, nên trong 3 số x - y; y - z; z - x phải có ít nhất một số chia hết cho 3 suy ra (x y)(y z)(z - x) M 3 Chứng minh tơng tự ta cũng có (x y)(y z)(z - x) M 4 Mà (3,4) =1 nên A = (x y)(y z)(z - x) M 3.4 Hay A = (x y)(y z)(z - x) M 12 0,25 0,25 0,25 0,25 . giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 7 năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề bài: Câu1(4điểm):Tìm x biết: a) 7, 5 x : ( 9 - 6 13 21 ) =. - x) M 12 Hết Đề thi gồm 01 trang Hớng dẫn chấm Môn: Toán 7 Câu ý Nội dung Điểm Câu1 4đ a) 1đ b) 1đ a) 7, 5 x : ( 9 - 6 13 21 ) = 2 13 25 7, 5 x : 50 21 = 63 25 7, 5 x = 63 25 . 50 21 . 2 1 2 0,5 0,5 Câu2 3đ a) 1đ a) 3 500 và 7 300 Ta có: 3 500 = (3 5 ) 100 = 243 100 7 300 = (7 3 ) 100 = 343 100 Vì 243 100 < 343 100 nên 3 500 < 7 300 Vậy 3 500 < 7 300 0,5 0,5 b ) 1đ