KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 3 điểm) a. Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3. b. Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 …+ 5 2004 . Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65. Bài 2 : (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết : a. 2029099 2010) (x 2)(x 1)(x x =++…+++++ b. 210 2x 8 6 4 2 =+…++++ Bài 3: (6,0 điểm) Thực hiện so sánh: a. A = 12009 12009 2009 2008 + + với B = 12009 12009 2010 2009 + + b. C = 1. 3. 5. 7 … 99 với D = 2 100 2 53 . 2 52 . 2 51 c. Chứng minh rằng 2011 10 8+ chia hết cho 72. Bài 4: ( 4 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng 7 3 số còn lại. Cuối năm có thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 3 2 số còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A. Bài 5: (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì 2 CBCA CM + = b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì 2 CBCA CM − = . KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 3 điểm) a)- ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab . 0,75 - Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội của 3. 0,75 Có: 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 = 5(1 + 5 3 ) + 5 2 (1 + 5 3 ) + 5 3 (1 + 5 3 ) = 5. 126 + 5 2 .126 + 5 3 .126 ⇒ 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 chia hết cho 126. 0,50 S = (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 ) + 5 6 (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 ) + … + 5 1998 (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 ). Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126. 0, 25 Có: 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 = 5+ 5 3 + 5(5 + 5 3 ) = 130 + 5. 130. ⇒ 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 chia hết cho 130 . 0,25 S = 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 4 (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 ) + … + 5 2000 (5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 ) Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130. 0,25 Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65. 0,25 Bài 2 : (3,0 điểm) a)- ⇒ 2029099 2010 21 2011x =+…+++ 0,25 - ⇒ 2029099 2 2011.2010 2011 =+x 0, 50 - ⇒ 2 2011.2010 - 20290992011 =x 0,25 - ⇒ = = 2011: 2 2011.2010 - 2029099x 4 0,50 b) ⇒ 210 x) 3 2 2(1 =+…+++ 0,50 - ⇒ 210 2 )1( 2 = +xx 0,25 - ⇒ 210)1( =+xx 0,25 - Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) 0,50 Bài 3: (6,0 điểm) a) Thực hiện qui đồng mẫu số: 0,50 A = )12009)(12009( 1200920092009 )12009)(12009( )12009)(12009( 20102009 200820104018 20102009 20102008 ++ +++ = ++ ++ B = )12009)(12009( 1200920092009 )12009)(12009( )12009)(12009( 20092010 200920094018 20092010 20092009 ++ +++ = ++ ++ 0,50 )12009(200920092009 2200820082010 +=+ )20092009(200920092009 200820092009 +=+ 0,50 Do )12009( 2 + > )20092009( + nên A > B (Có thể chứng tỏ A - B > 0 để kết luận A > B). 0,50 Cách khác: Có thể so sánh 2009 A với 2009 B trước. b) 1. 3. 5. 7 99 .2.4.6 100 C 1. 3. 5. 7 99 2.4.6 100 … = … = 0,50 )2.50) (2.3).(2.2).(2.1( 00.2.4.6 1 99 7 5. 3. 1. … = 0,50 2 2.2.2.50 3.2.1 100 53.52.51.50 3.2.1 = 0,50 2 100 2 53 . 2 52 . 2 51 = = D Vậy C = D 0,50 c) Vì 2011 10 8+ có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng chia hết cho 9 0,75 Lại có 2011 10 8+ có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 0,75 Vậy 2011 10 8+ chia hết cho 72 0,50 Bài 4: ( 1,5 điểm) - Số học sinh giỏi kỳ I bằng 10 3 số học sinh cả lớp. 0,50 - Số học sinh giỏi cuối bằng 5 2 số học sinh cả lớp. 0,25 - 4 học sinh là 5 2 - 10 3 số học sinh cả lớp. 0,50 - 10 1 số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4 : 10 1 = 40. 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) 0,50 CA = MA + CM 0,50 CB = MB - CM 0,25 Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50 ⇒ 2 CBCA CM − = 0,25 0,50 CA = CM + MA 0,50 CB = CM - MB 0,25 Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50 A BM C A BM C ⇒ 2 CBCA CM + = 0,25 . 12009 12009 2010 2009 + + b. C = 1. 3. 5. 7 … 99 với D = 2 100 2 53 . 2 52 . 2 51 c. Chứng minh rằng 2011 10 8+ chia hết cho 72 . Bài 4: ( 4 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng 7 3 số còn lại. Cuối. 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 3 điểm) a)- ababab = ab .10000 + ab .100 + ab = 10101 ab . 0 ,75 - Do 10101 chia. thể so sánh 2009 A với 2009 B trước. b) 1. 3. 5. 7 99 .2.4.6 100 C 1. 3. 5. 7 99 2.4.6 100 … = … = 0,50 )2.50) (2.3).(2.2).(2.1( 00.2.4.6 1 99 7 5. 3. 1. … = 0,50 2 2.2.2.50 3.2.1 100 53.52.51.50