De thi HSG toan 7 hay

đề thi khảo sát học sinh giỏi Môn : Toán lớp 7 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề ) Câu 1.( 4 điểm ) a,Cho biểu thức N = 4 1 + a a . Tìm số nguyên a để N đạt giá trị nguyên. b, Với mọi số n N*, các phân số sau đây là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? A = n nn 12 93 2 + ; B = 70 200635 + n Câu 2.( 3 điểm ) Tìm số tự nhiên bé nhất có 3 chữ số M thoả mãn điều kiện sau: M = a + b = c + d = e + f Biết a; b; c; d; e; f N* và b a = 14 10 ; d c = 22 14 ; f e = 13 11 Câu 3.( 5 điểm ) a. Cho hàm số y = f(x) = x - 2 + x + 1 + Vẽ đồ thị của hàm số trên + Tính f(x 2 + 2) = ? b. Tìm công thức của hàm số g(x) biết rằng g (1+ x 1 ) = 2 12 x x + Câu 4 ( 3 điểm ) Cho x = by + cz y = ax + cz z = ax + by CMR : P = 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c = 2 Câu 5.( 5 điểm ) Cho góc xOy = 90 o , tia phân giác Oz. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A kẻ AB Ox; AC Oy.( B Ox; C Oy). D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB. Nối AD. Tia phân giác góc CAD cắt Oy tại E. Chứng minh rằng AD = CE + BD. Đáp án - Biểu điểm Câu 1 (4 điểm) a, (2 điểm) Ta có: N = 4 1 + a a = 4 54 + a a = 1 + 4 5 a ( 0,5đ) Để N là số nguyên 4 5 a là số nguyên a - 4 Ư(5) a - 4 -5; -1; 1; 5 ( 0,5 đ) Ta có bảng sau: a - 4 -5 -1 1 5 a -1 3 5 9 a Không có giá trị 9 25 81 ( 0,5 điểm) Vậy với a 9; 25; 81 thì N nguyên ( 0,5 đ) b, ( 2 điểm ) A = n nn 12 93 2 + ; B = 70 200635 + n Ta có A = n nn 12 93 2 + = n nn 12 )3(3 + = 4 )3( + n A là số thập phân hữu hạn (1 đ) Ta thấy 35n + 2006 = 7.5n + 7.286 + 4 = 7(5n + 286) + 4 không chia hết cho 7 mặt khác 70 = 7.10 chia hết cho 7. Vì vậy ở dạng tối giản, số B có chứa thừa số 7 ở mẫu số. Số B là số thập phân vô hạn không tuần hoàn ( 1 đ) Câu 2 (3 điểm ) Từ giả thiết suy ra b a = 7 5 ; d c = 11 7 ; f e = 13 11 ( 0,5đ) 5 a = 7 b = 75 + + ba = 12 M (1) Tơng tự ta có : 7 c = 11 d = 117 + + dc = 18 M (2) 11 e = 13 f = 1311 + + fe = 24 M (3) ( 1 đ) Mặt khác do 5; 7; 11; 13 là số nguyên tố và a; b; c; d; e; f N* nên từ các tỉ lệ thức b a = 7 5 ; d c = 11 7 ; f e = 13 11 suy ra a chia hết cho 5; c chia hết cho 7; e chia hết cho 11 hay giá trị các dãy tỉ số (1); (2); (3) là các số tự nhiên M BC (12; 18; 24) ( 1 đ) Lại do M là số có 3 chữ số M 144; 216; 288; .; 936 Vì M là số bé nhất có 3 chữ số nên M = 144 Đáp số M = 144 ( 0,5 đ) Câu 3 (5 điểm ) a, (3 điểm ) + Với x 2 hàm số có dạng f(x) = 2x - 1 Cho x=2 y = 3 x = 3 y = 5 + với x < 2 hàm số có dạng f(x) = 3 Đồ thị là đờng thẳng song song trục hoành cắt trục tung tại y = 3 Ta có đồ thị hàm số: ( 2 đ) Ta có f(x 2 + 2) = {(x 2 + 2) - 2 { + (x 2 + 2) + 1 = {x 2 { + x 2 + 3 = 2x 2 + 3 Vậy f(x 2 + 2) = 2x 2 + 3 ( 1 đ) b.(2 điểm) Cách 1: Đặt 1 + x 1 = x x 1 + = y ( 0,5đ) Khi đó g (1+ x 1 ) = g (y) = 2 12 x x + = 2 12 x x + +1 - 1 = 2 2 12 x xx ++ -1 = = ( x x 1 + ) 2 - 1 = y 2 - 1 ( 1đ) Hay g(y ) = y 2 - 1 g(x) = x 2 - 1 ( 0,5đ) Cách 2: Đặt 1 + x 1 = y Thế thì x = 1 1 y Thay vào công thức hàm số ta có : g(y) = 2 1 1 1 1 1 2 + y y = y 2 - 1 g(x) = x 2 - 1 câu 4. ( 3 điểm ) Từ giả thiết ta suy ra : x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) ( 1 ) ( 0,5đ) Từ biểu thức x = by + cz ax + x = ax + by + cz x ( a + 1) = ax + by + cz a + 1 = x czbyax ++ 1 1 + a = czbyax x ++ (1đ) Hoàn toàn tơng tự: Từ biểu thức y = ax + cz b + 1 = y czbyax ++ 1 1 + b = czbyax y ++ Từ biểu thức z = ax + by c + 1 = z czbyax ++ 1 1 + c = czbyax z ++ (0,5đ) Suy ra P = 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c = czbyax x ++ + czbyax y ++ + czbyax z ++ = = czbyax zyx ++ ++ (2) ( 0,5đ) từ (1) và (2) ta suy ra P = czbyax czbyax ++ ++ )(2 = 2 ( Đccm) (0,5đ) Bài 5 ( 5 điểm ) y z C A E O D B F x Trên Ox lấy điểm F sao cho BF = CE CE + DB = BF + DB = DF ( 1 đ) dễ chứng minh đợc vuông ACE = vuông ABF ( c.g.c) CEA = BFA.(1) ( 1 đ) Mặt khác CEA = EAB (2)( Hai góc so le trong) Lại có CAE = EAD ( do AE là tia phân giác ) CAE = BAF ( Do vuông ACE = vuông ABF ) EAD = BAF EAB = DAF (3)( cùng cộng với DAB) ( 1 đ) Từ (1); (2); (3) ta có DAF = BFA DAF cân tại D (1đ) AD = DF = CE + DB ( đccm) ( 1đ) . điểm ) Từ giả thi t suy ra b a = 7 5 ; d c = 11 7 ; f e = 13 11 ( 0,5đ) 5 a = 7 b = 75 + + ba = 12 M (1) Tơng tự ta có : 7 c = 11 d = 1 17 + + dc = 18. 7( 5n + 286) + 4 không chia hết cho 7 mặt khác 70 = 7. 10 chia hết cho 7. Vì vậy ở dạng tối giản, số B có chứa thừa số 7 ở mẫu số. Số B là số thập phân vô