Đề thi HSG toán 7 (hay)

Phòng GD&ĐT Tam Đảo o0o Đề thi khảo sát chất lợng học sinh giỏi Năm học 2007-2008 Môn: Toán 7. (Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề) Bi 1 : Cho dãy số : 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 a) Tính tng 2009 số hạng đầu của dãy b) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho?. Bi 2 : a) Cho d c b a = . Chng minh rng : 20072007 20072007 2007 2007 )( )( dc ba dc ba + + = . b) Tìm các số nguyên a và b thoả mãn : (2a + 5b + 1)(2 |a| +a 2 + a + b) = 105. Bài 3 : a. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn: 9 2 7 2 5 2 accbba + = + = + . Tìm tỉ lệ các đờng cao tơng ứng của tam giác. b.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm: A(-1;2) ; B(4;1); C(-3;-1). Tính diện tích tam giác ABC. Bi 4 : Cho tam giác ABC có AB > AC v góc A có số đo bằng . đờng thng đi qua A vuông góc vi phân giác trong của góc A cắt đờng thng BC tại M sao cho BM = BA + AC. Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC ? Bài 5: Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và các đờng cao tơng ứng là h a ; h b ; h c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 222 )( cba hhh cba ++ ++ . Khi đó tam giác ABC là tam giác gì? Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1 đề chính thức Hớng dẫn chấm Câu số Nội dung Điểm 1-a(0,5đ) Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: 1 -7+13 -19+25-31+37 =1+(-7+13)+(-19+25)+(-31+37)=1+(-7+13)-- (1004 cặp) =1+6*1004 =6025 (0,25đ) (0,25đ) 1-b(1 đ) Số hạng thứ nhất: a 1 =1 Số hạng thứ hai: a 2 =-7=-(6+1)=(-1) 1 . (6+1) Số hạng thứ ba: a 3 =13= 2.6+1=(-1) 2 .( 2.6+1) Số hạng thứ t: a 4 =-19=-(3.6+1)= (-1) 3 .( 3.6+1) Số hạng thứ năm: a 5 =25=4.6+1= (-1) 4 .( 4.6+1) Số hạng tổng quát là: a n =(-1) n-1 [(n-1).6+1]. 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2-a(0,5 đ) 20072007 20072007 2007 2007 2007 2007 dc ba d b c a d b c a d c b a + + ==== (1) Mặt khác: 2007 2007 2007 2007 2007 2007 )( )( dc ba d b c a dc ba d b c a == == . (2) Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh. 0,25đ 0,25đ 2-b(1,5 đ) Và 105 là số lẻ nên (2a + 5b + 1) và (2 |a| +a 2 + a + b) là số lẻ. Do (2a + 5b + 1) lẻ suy ra b chẵn. Mà a 2 +a=a(a+1) chẵn nên 2 |a| lẻ. Suy ra a=0. Với a=0. Ta có: (5b+1)(b+1)=105=21.5=(-21).(-5) Do (5b+1; 5)= 1 nên 4b hoặc = =+ =+ =+ =+ 51 2115 51 2115 b b b b . Thử lại = = 4 0 b a thoả mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3-a(1,5 đ) áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: 79 2 7 2 5 2 cbaaccbba ++ = + = + = + chỉ ra: ab ca = = 3 cba == 3 . Gọi ba đờng cao của tam giác lần lợt là h a ; h b ; h c . Có: a.h a =b.h b =c.h c (=2.S ABC ). 0,25đ 0,5đ 2 c b a cba cba h h h hhh bhbhbh == == == 3 33 33 :hay 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3-b(1 đ) Vẽ hình chính xác: Dựng hình chữ nhật PQRC. Tính đợc:S PQRC , S PAC , Tính đợc:S QAB , S RBC . Từ đó tính đợc: S ABC = S PQRC -(S PAC + S QAB +S RBC )= 2 1 8 (đvdt) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 4(2đ) vẽ hình tơng đối đúng Trờn tia BA ly D sao cho AD=AC. Khi đó BD=BM Suy ra Tam giỏc BDM cõn, AM vuông góc với phân giác trong nên AM là phân giác ngoài hay MA l phõn giỏc gúc M. Vẽ thêm hình phụ phù hợp với bài: 0,25đ 0,5đ 3 T ú: 3 120^ ) 3 2 60(180)^(^180^ 3 2 60^ 180 4 ^180 90 2 ^ 180^^^ 0 000 0 0 0 0 0 = +=+= = = +++ =++ C ABC B B B AMBBAMB 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5(2 đ) Vẽ hình; ghi GT-KL Gọi ABC là tam giác với BC=a, CA=b, AB=c. Qua C kẻ Cx song song với AB. Dựng điểm D sao cho Cx là đờng trung trực của AD. Theo định lý Pitago ta có: 22 2 2 2 2 2222 )(4 )(4 )( cbah bahc CDBCBDADAB c c + ++ +=+ Tơng tự ta có: 22 2 )(4 acbh a + 22 2 )(4 bach b + Suy ra: (4 2 a h + 2 b h + 2 c h )(a+b+c) 2 Suy ra: 4 1 )( 2 222 ++ ++ cba hhh cba . Dấu = sảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều. Kết luận: 2 222 )( cba hhh cba ++ ++ đạt GTLN bằng 4 1 khi tam giác ABC đều. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4 . a n =(-1) n-1 [(n-1).6+1]. 0,25đ 0,25đ 0,5đ 2-a(0,5 đ) 20 072 0 07 20 072 0 07 20 07 20 07 20 07 20 07 dc ba d b c a d b c a d c b a + + ==== (1) Mặt khác: 20 07 20 07 20 07 20 07 20 07 20 07 )( )( dc ba d b c a dc ba d b c a == == Tam Đảo o0o Đề thi khảo sát chất lợng học sinh giỏi Năm học 20 07- 2008 Môn: Toán 7. (Thời gian: 150phút, không kể thời gian giao đề) Bi 1 : Cho dãy số : 1, -7, 13, -19, 25, -31, 37 a) Tính tng. bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1 đề chính thức Hớng dẫn chấm Câu số Nội dung Điểm 1-a(0,5đ) Xét tổng gồm 2009 số hạng sau: 1 -7+ 13 -19+25-31+ 37 =1+( -7+ 13)+(-19+25)+(-31+ 37) =1+( -7+ 13)--