Một số bài toán nâng cao Toán 6 Bài 1: Rút gọn các phân số sau: a) ; b) Đáp án: a) = ; b) = = Bài 2: Tìm phân số bằng biết rằng tổng của tử và mẫu của chúng bằng 2002. Đáp án: Ta có 11 . n + 15 . n = 2002 n = 77. Vậy phân số cần tìm là: = Bài 3: Tìm phân số bằng sao cho tổng của tử và mẫu bằng 60. Đáp án: Rút gọn ta có: = ; ta cần tìm n để 13n + 17n = 60 n = 2 Vậy phân số cần tìm là: = Bài 4: Chứng minh phân số sau đây tối giản: (n N) Đáp án Gọi ƯCLN(12n + 1, 30n + 2) = d. Ta có: 5(12n + 1) 2(30n + 2) = 1 d d = 1, nên 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 5: Tìm số tự nhiên không lớn hơn 10 để phân số sau tối giản: . Đáp án Bằng cách thử ta tìm đợc các giá trị thích hợp là: 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10. Bài 6. Nếu phân số tối giản thì phân số có tối giản không ? Đáp án: Nếu d là ớc của a thì d không là ớc của b (d 1), vì tối giản nên d cũng không là ớc của a + b. Vậy phân số là phân số tối giản. Bài 7. Cho phân số a) Rút gọn phân số. b) Hãy xoá một sô hạng ở trên tử và một số hạng ở dới mẫu để đợc một phân số mới có giá trị bằng phân số cũ. Đáp án a) Ta có: = = b) Từ kết quả trên ta xoá 5 ở trên tử và xoá 15 ở dới mẫu ta đợc phân số mới: = Bài 8: So sánh các phân số sau một cách hợp lí: a) và ; b) và Đáp án: a) = < . Vậy < ; b) = < . Vậy < Bài 9: So sánh: a) A = ; B = b) C = ; D = Đáp án: a) Ta có: nếu < 1 thì < (với n N * ) Do đó: B = < = = = A. Vậy A > B b) Làm tơng tự ta có: C < D. Bài 10: Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có một chữ số và mỗi phân số này lớn hơn và nhỏ hơn Đáp án: Gọi phân số phải tìm là ta có: < < hay < < hay 7b < 9a < 8b, mặt khác 0 < b 9. Thử các giá trị ta đợc các phân số là: ; ; ; Bài 11: Chứng minh rằng: Nếu < thì < < (b, d 0) Đáp án: Ta có: < ad < bc ad + ab < bc + ab a(b +d) < b(a + c) < Mặt khác từ: < ad < bc ad + cd < bc + cd d(a + c) < c(b + d) < . Vậy: < < Bài 12: Tìm một phân số có mẫu bằng 15, biết rằng giá trị của nó không thay đổi nếu cộng tử với 2 và nhân mẫu với 2. Đáp án: Ta có: = 30a = 15 (a + 2) a = 2. Vậy phân số phải tìm là: Bài 13: Một phân số khi cha rút gọn có tổng tử và mẫu bằng 1100, sau khi rút gọn đợc phân số Tìm phân số ban đầu. Đáp án: Phân số phải tìm là: , ta có: 3n + 7n = 1100 n = 110 Vậy phân số phải tìm là: Bài 14: Cho hỗn số 2 Tìm x biết: a) 2 = ; b) 2 = Đáp án: a) 2 = hay 2 = 2 =2 x = 3 ; b) 2 = , Ta có: 2 . 7 + x = 2x + 9 x = 5. Bài 15: Cho hỗn số 11 Tìm x biết: a) 11 = ; b) 11 = Đáp án: a) 11 = 11 = 11 = 11 x = 20; b) 11 = , ta có: 11x + 19 = 272 x = 23; Bµi 16: T×m ph©n sè biÕt r»ng nÕu thªm 6 vµo tö vµ thªm 21 vµo mÉu th× gi¸ trÞ cña ph©n sè ®ã kh«ng ®æi. Cã bao nhiªu ph©n sè nh vËy ? §¸p ¸n: Ta cã: = a(b + 21) = b(a + 6) 21a = 6b hay = = Cã v« sè ph©n sè nh vËy (c¸c ph©n sè nµy cã d¹ng (k N * )) Bµi 17: So s¸nh ph©n sè sau ®©y víi 1: §¸p ¸n: Ta cã: 1985 . 1987 – 1 = 1985 . 1986 + 1985 – 1 = 1985 . 1986 + 1984 1985 . 1986 + 1984 > 1980 + 1985 . 1986 VËy : > 1. . 23; Bµi 16: T×m ph©n sè biÕt r»ng nÕu thªm 6 vµo tö vµ thªm 21 vµo mÉu th× gi¸ trÞ cña ph©n sè ®ã kh«ng ®æi. Cã bao nhiªu ph©n sè nh vËy ? §¸p ¸n: Ta cã: = a(b + 21) = b(a + 6) 21a = 6b hay =. sau ®©y víi 1: §¸p ¸n: Ta cã: 1985 . 1987 – 1 = 1985 . 19 86 + 1985 – 1 = 1985 . 19 86 + 1984 1985 . 19 86 + 1984 > 1980 + 1985 . 19 86 VËy : > 1. . tìm là: = Bài 3: Tìm phân số bằng sao cho tổng của tử và mẫu bằng 60 . Đáp án: Rút gọn ta có: = ; ta cần tìm n để 13n + 17n = 60 n = 2 Vậy phân số cần tìm là: = Bài 4: Chứng minh phân số sau