đề thi hsg toan 7

Phòng giáo dục đào tạo tam đảo Trờng THCS nguyễn traĩ Đề thi khảo sát chất lợng hsg Môn :Toán 7 Năm học :2005-2006 Ngời ra đề:lê quang hà Đề bài Câu I:Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời mà em chọn: 1. 257.255 1 )12)(12( 1 5.3 1 2.1 1 ++ + +++ nn Bằng: A. 255 127 B. 255 128 C. 257 128 D. 257 129 2.Cho hai số khác 0 có hiệu,tổng và tích tỉ lệ với 1:7:24 .Vậy tích của chúng là: A.6 B.12 C.24 D.48 E.96 3.Tìm x với x:0,(3) = 0,(12) đợc x bằng: A. 0,4 B. 0,(36) C. 99 4 D. 33 1 4.Có bao nhiêu số thực x sao cho 2 )1( + x là một số thực? A.Không có số nào B.Một C.Hai B.Nhiều hơn hai số E.Vô số 5Cho tam giác ABC cân tại A,kẻ ).( ACDACBD Biết AD=1cm,CD=8cm. Độ dài cạnh bc bằng bao nhiêu centimet? A.9 B.12 C. 162 D. 88 E. 146 6.Giá trị của đa thức x+x 3 +x 4 + +x 2005 +x 2006 tại x =-1 bằng: A 2006 B.2006 C.1 D.0 E 1 Câu II: a.Với giá trị nào của x thì biểu thức: P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy? b.Tìm số nguyên tố P có một chữ số để P5 7 viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn. Câu III.Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho tổng của tất cả các ớc số tự nhiên của số P 4 là một số chính phơng. Câu IV: Cho tam giác ABC (giả sử AB<AC) trên hai cạnh BA và CA lấy hai điểm M và N di động ,sao cho BM=CN. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn BC và MN. DDờng thẳng ị cắt các đờng thẳng AB và AC tại E và F. Chứng minh : BEI = CFI __________________________ đáp án(toán 7) Câu I:(3 điểm).Mỗi ý đúng 0,5 điểm 1- C 2- D 3- C 4- B 5- B 6-A Câu II : (1,5 điểm) a)(1 đ) P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = [ ][ ] )3)(2()6)(1( +++ xxxx =(x 2 +6x-x-6)(x 2 +3x+2x+6) =(x 2 +5x-6)(x 2 +5x+6) =(x 2 +5x) 2 -36 Ta có (x 2 +5x) 2 0 Qx nên với P= (x 2 +5x) 2 -36 thì P đạt giá trị nhất khi (x 2 +5x) 2 =0 Lúc đó ta có x 2 +5x 2 =0 0)5( =+ xx 0 = x hoặc x=-5 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -36 khi x=0 hoặc x=5. b)(0,5 đ) Để P7 5 viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn thì P=2, hoặc P=5,hoặc P=7. CâuIII:(2 điểm) . Số P 4 có 5 ớc số tự nhiên là 1 ,P ,P 2 ,P 3 ,P 4 . Ta có : 1+P +P 2 +P 3 +P 4 =n 2 (n N ). Suy ra : 4n 2 =4P 4 +4P 3 +4P 2 +4P+4>4P 4 +4P 3 +P 2 =(2P 2 +P) 2 Và 4n 2 < 4P 4 +P 2 +4+4P 3 +8P 2 +4P=(2P 2 +P+2) 2 . Vậy : (2P 2 +P) 2 < (2n) 2 < (2P 2 +P+2) 2 . Suy ra :(2n) 2 = (2P 2 +P+2) 2 = 4P 4 + 4P 3 +5P 2 +2P+1. Vậy 4P 4 + 4P 3 +5P 2 +2P+1= 4P 4 + 4P 3 +4P 2 +4P+4.(vì cùng bằng 4n 2 ) 0)3) (1(032 2 =+= PPPP Do P > 1,suy ra :P-3=0 hay P=3.(Thử lại P=3 thoả mãn bài toán) CâuV: Vẽ hình chính xác (0,5 điểm) Gọi K là trung điểm của MC.Tam giác CMB có KI là đờng trung bình Suy ra KI // MB , KI = 2 1 MB Tơng tự KJ// AC , KJ = 2 1 CN Suy ra tam giác IKJ cân , KJI = KIJ Ta có : BEI = KIJ (So le trong) CFI = KJI (đồng vị) Suy ra BEI = CFI B E A M I C N F K J Phòng giáo dục đào tạo tam đảo Trờng THCS Bồ lý Đề thi khảo sát chất lợng hsg Môn :Toán 7 Năm học :2005-2006 Ngời ra đề:Nguyễn Phúc Cờng Đề bài: C âu I. Tìm giá trị nhỏ nhất của các phân số có dạng: bdac ab + trong đó a,b,c,d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a+b = c+d = 2006. Câu II. Chứng minh rằng 1, nNn ta có: G(n) = 3 2n +3 +40n -27 .64 C âu III. Chứng minh rằng A= 2x 2 +y 2 +5z 2 4xy+7xz+4yz > 0 , Rzyx ,, thoả mãn : x+y+z < 0 và 4xz > y 2 . Câu IV. Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho CD = 2BD. So sánh số đo hai góc : BAD và 2 1 CAD . Câu V. Cho tam giác ABC vuông tại A.Biết AB =c,AC =b, b>c .Kẻ trung tuyến AM,BN .Tìm một hệ thức liên hệ giữa b, c để ta có: AM BN. Phòng giáo dục đào tạo tam đảo Trờng THCS Bồ lý Đáp án Đề thi khảo sát chất lợng hsg Môn :Toán 7 Năm học :2005-2006 Ngời ra đề:Nguyễn Phúc Cờng. CâuI.Đặt M = bdac ab + .64 M 1 = . a d b c ab bdac += + NX: M đạt giá trị nhỏ nhất khi: M 1 đạt giá trị lớn nhất (Vì M>0 ). Ta có :a+b =c+d =2006 nên : 1 .2005,,, dcba Ta có : b c và a d bao giờ cũng có một phân số không vợt quá 1. (vì nếu b c > 1 và a d >1 thì c+d >a+b ). Giả sử b c 1 : -Nếu d 2004 thì a d 2004 (Vì a 1 ). Khi đó : M 1 = b c + a d 20041+ = 2005. (1) - Nếu d=2005 thì c=1 abM 200511 += + Với a>1 thì có 2 2005 1 1 + M <1005. (2) + Với a=1 thì b=2005 và 2005 4020026 1 2005 2005 11 =+= M (3) Từ NX trên và (1,2,3) ta thấy : Giá trị nhỏ nhất của M là: 4020026 2005 và đạt đợc khi a=c =1 và b=d =2005 hoặc a=c=2005 và b=d =1. Câu II. Ta có G(1) =256 .64 Giả sử G(n)= 3 2n+3 +40n -27 .64 . Cần chứng minh G(n+1) = 3 2(n+1)+3 +40(n+1) -27 .64 Xét hiệu G(n+1) G(n) =3 2(n+1) +3 -3 2n+3 +40(n+1) -40n = =8.3 2n+3 +40 = 8(3 2n+3 +5) 8 G(n+1) G(n) .64 H(n) = 3 2n+3 +5 8 . Tơng tự nh trên ,ta có : H(1)=248 8 . H(n+1) H(n) = 3 2(n+1)+3 -3 2n+3 = 3 2n+3 (3 2 -1) =8.3 2n+3 8 . (Đpcm). Câu III.Ta có : A= x 2 + y 2 + z 2 +2xy+2xz+2yz+ x 2 +4z 2 +2xy +5xz +2yz = (x+y+z) 2 + (x 2 +2xy+ y 2 ) +(4z 2 +2yz+ 4 2 y ) + (5xz - 4 2 y )= = (x+y+z) 2 +(x+y) 2 + (2z+ 2 y ) 2 + 4 5 (4xz y 2 ) )4( 4 5 2 yxz >0 ( Do 4xz > y 2 ). (Đpcm) Câu IV. Gọi M là trung điểm của DC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =MA. Ta có EMDAMC = (MD = MC, MA =ME , EMDAMC = ,đối đỉnh) Suy ra : DE = AC (Hai cạnh tơng ứng) và AE = 3 . Mặt khác : D 1> B (Tính chất góc ngoài của tam giác ) Mà B = C (gt) nên D 1 > C . Suy ra : AC >AD ADDE > AE = 2 > E hay A 2 > A 3  B D C M E V× A∠ 3 = A∠ 1 (Do ) , cgcACMABD ∆=∆ nªn A∠ 2 + A∠ 3 > A∠ 1 + A∠ 3 ⇔ 2 A∠ 1 < A∠ 2 + A∠ 3 hay 2 CADBAD ∠<∠ VËy BADCAD ∠>∠ 2 1 . C©u V. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. BC = a .Ta cã : GM = 3 1 AM ⇒ GM = 6 a ⇒ GM 2 = 36 2 a (1) BM = 2 1 BC ⇒ BM = 2 a ⇒ BM 2 = 4 2 a (2) GB = 3 2 BN ⇒ BG 2 = 9 4 BN 2 . Trong tam gi¸c vu«ng ABN cã BN 2 =AN 2 + AB 2 (Theo ®.lý Pitago) ⇒ BN 2 =c 2 + 4 2 b ⇒ GB 2 = 9 4 (c 2 + 4 2 b ) §Ó BN AM⊥ th× BGM∆ vu«ng t¹i G. Lóc ®ã ,theo ®.lý Pitago ta cã BM 2 = BG 2 +GM 2 (4) Tõ (1,2,3,4) ta cã : 4 2 a = 9 4 (c 2 + 4 2 b ) + 36 2 a ⇒ a 2 = 2(c 2 + 4 2 b ) ABC ∆ vu«ng t¹i A cho ta a 2 = b 2 + c 2 . VËy b 2 + c 2 =2(c 2 + 4 2 b ) ⇒ b 2 =2c 2 ⇒ b =2 c KL: §Ó BN AM⊥ th× ®iÒu kiÖn lµ : b =2 c . A B C M N G . THCS nguyễn traĩ Đề thi khảo sát chất lợng hsg Môn :Toán 7 Năm học :2005-2006 Ngời ra đề: lê quang hà Đề bài Câu I:Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời mà em chọn: 1. 2 57. 255 1 )12)(12( 1 . B E A M I C N F K J Phòng giáo dục đào tạo tam đảo Trờng THCS Bồ lý Đề thi khảo sát chất lợng hsg Môn :Toán 7 Năm học :2005-2006 Ngời ra đề: Nguyễn Phúc Cờng Đề bài: C âu I. Tìm giá trị nhỏ nhất của các phân. BN. Phòng giáo dục đào tạo tam đảo Trờng THCS Bồ lý Đáp án Đề thi khảo sát chất lợng hsg Môn :Toán 7 Năm học :2005-2006 Ngời ra đề: Nguyễn Phúc Cờng. CâuI.Đặt M = bdac ab + .64 M 1 = . a d b c ab bdac += + NX: