Đè thi HSG Toán 9 Nga Sơn (V1 08-09)

Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 2009 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm) : Cho biểu thức: + + + = 6xx x9 x3 2x x2 3x : 9x x3x 1P a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm giá trị của x để P = 1. Câu2 ( 3 điểm) : Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau: 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m + + = = a) Giải hệ phơng trình với m =1. b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất. Câu 3 ( 3 điểm ): Cho x, y thoả mãn: (x + 2009)2009()2009 22 =+++ yyx . Hãy tính tổng S = x + y. Câu 4 (3 điểm): Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn điều kiện: b bac a acb c cba + = + = + . Hãy tính giá trị của biểu thức: P = + + + c a b c a b 111 . Câu 5 (5 điểm ): Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN. Các đờng thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M và N. Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm MA và NA. a. Chứng minh tứ giác MNNM nội tiếp. b. Chứng minh rằng các đờng cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA. c. Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R. Câu6 : (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: xy1 2 y1 1 x1 1 22 + + + + với x 1, y 1 Hớng dẫn chấm Câ u ý Định Hớng giải Điể m 1 a đk 0,5 4đ 2.5 đ 4x 9x 0x 0x2 09x 0x Ta có: + +++ + = )x3)(x2( x9)x2)(2x()x3)(3x( : 3x)(3x( )3x(x 1P 0,5 = + + x3)(x2( 4xx4 : 3x 3 = + + 2 )x2( )x3)(x2( . 3x 3 1 = 2x 3 Vậy P = 2x 3 0,5 b 1.5 đ Ta thấy P = 1 1 2x 3 = 25x5x32x === 1 Vậy với x = 25 thì P = 1 0,5 2 a. 1đ Với m = 1 hệ phơng trình hai ẩn x, y sau: 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m + + = = trở thành = =+ 1 12 yx yx Giải ra ta đợc x = 0 , y =1 0,5 0.5 b 2đ Hệ luôn có nghiệm duy nhất Vì từ (2) 2 2y m mx = + + Thay vào (1) ta đợc: (m+1)x + m(- m 2 +mx + 2) = 2m -1 (m 2 + m + 1)x = m 3 1 Mà m 2 + m + 1 = 2 1 3 ( ) 0 2 4 m m+ + > Hệ có nghiệm duy nhất là: 1 2 x m y m = = + Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m 2 + 2m + m 2 = 2 9 1 ( 3 ) 4 4 m m + + = 2 3 1 1 ( ) 2 4 4 m + Dấu = xảy ra 3 3 0 2 2 m m = = Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP = 1 3 4 2 m = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 3 3đ Ta có: ( )2009)(2009()2009()2009 2222 ++++++ yyxxyyxx )2009()2009(2009 22 xyyxx ++= 0,5 )2009)()2009(2009 22 ++=<=> yyxx Vậy )2009()2009()2009)(2009( 2222 ++=++++ yyxxyyxx 20092009 22 +=+ xyyx (*) Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0 Nếu x 0 => y 0 từ (*) => 0 2009 2009 2 2 >= + + y x y x => xy < 0 Vậy 2 2 2 2 2009 2009 y x y x = + + => 2009x 2 = 2009y 2 => x 2 = y 2 => (x-y)(x+y) = 0 mà xy < 0 => x - y 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 5 5đ a Ta có: MNN = MBA (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) mà MBA = BMN MNN = BMN MMN + MNN = MMN + BMN = 180 0 Tứ giác MNNM nội tiếp đờng tròn 1 B 2đ Đặt : AM =a 1 ; BM = a ; AN = a 1 ; BN = b Ta có: PQ = 2 11 ba + . MBN vuông tại B, BA MN BA 2 = AM.AN hay a 1 b 1 = 4R 2 . Gọi H là trực tâm BPQ thì H AB Xét hai tam giác: PAH và BAQ có HAP=BAQ = 1v HPA=QBA( Cùng phụ với AQB) PAH BAQ BA PA AQ AH = hay AH: 22 11 ab = : 2R. 2AH = RR R ba 44 4 2 11 = AH = 2 R 0.5 0.5 0.5 0.5 => S = x + y = 0 VËy trùc t©m H cña ∆ BPQ lµ trung ®iÓm cña OA. c) Ta cã S BPQ = PQRPQAB 2 1 = ⇒ S BPQ nhá nhÊt khi PQ nhá nhÊt ⇔ M’N’ nhá nhÊt( V× 2PQ=M’N’) Tõ PQ = 2 11 ba + ⇒ 2PQ = a 1 +b 1 mµ a 1 b 1 = 4R 2 kh«ng ®æi. ⇒ 2PQ = a 1 +b 1 nhá nhÊt khi a 1 = b 1 = 2R ⇒ PQ = 2R ⇔ M’N’ = 4R = 2AB ⇒ AB = 2 1 M’N’ vµ AM’ = AN’ ⇔ ∆ BM’N’ c©n ⇒ ∠BMN = ∠BNM =∠BM’N’=∠BN’M’ ⇒ MN//M’N’ ⇔ MN ⊥ AB t¹i O VËy minS BPQ = 2R 2 khi MN ⊥ AB t¹i O. 0.5 0.5 0.5 0.5 . có: ( )20 09) (20 09( )20 09( )20 09 2222 ++++++ yyxxyyxx )20 09( )20 09( 20 09 22 xyyxx ++= 0,5 )20 09) ()20 09( 20 09 22 ++=<=> yyxx Vậy )20 09( )20 09( )20 09) (20 09( 2222 ++=++++ yyxxyyxx 20 092 0 09 22 +=+ xyyx . đào tạo nga sơn Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 20 09 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm) : Cho biểu thức: + + + = 6xx x9 x3 2x x2 3x : 9x x3x 1P a S = 0 Nếu x 0 => y 0 từ (*) => 0 20 09 20 09 2 2 >= + + y x y x => xy < 0 Vậy 2 2 2 2 20 09 20 09 y x y x = + + => 2009x 2 = 2009y 2 => x 2 = y 2 => (x-y)(x+y) =