Phòng GD & ĐT huyện Thờng Tín Trờng THCS Văn Tự Gv: Bùi Thị Thu Hiền đề kiểm tra học sinh giỏi Năm học 2009-2010 Môn: Toán Thời gian: 120 phút đề bài: Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức: P = 2 2 2 2 2 3 2 8 3 21 2 8 : 1 4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3 x x x x x x x x x x x + + + ữ + + a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 1 2 x = c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình: a) 2 15 1 1 1 12 3 4 4 3 3 x x x x x = + ữ + + b) 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x + + + = c) 2 3 5x + = Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó. Bài 4 (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. d) Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, 9 16 PD PB = . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 2009 2008 + 2011 2010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + + + + đáp án và biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x 2 12x + 5 = (2x 1)(2x 5) 13x 2x 2 20 = (x 4)(5 2x) 21 + 2x 8x 2 = (3 + 2x)(7 4x) 4x 2 + 4x 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ 1 Điều kiện: 1 5 3 7 ; ; ; ; 4 2 2 2 4 x x x x x 0,5đ a) Rút gọn P = 2 3 2 5 x x 2đ b) 1 2 x = 1 2 x = hoặc 1 2 x = +) 1 2 x = P = 1 2 +) 1 2 x = P = 2 3 1đ c) P = 2 3 2 5 x x = 2 1 5x + Ta có: 1 Z Vậy P Z khi 2 5 Z x x 5 Ư (2) Mà Ư (2) = { -2; -1; 1; 2} x 5 = -2 x = 3 (TMĐK) x 5 = -1 x = 4 (KTMĐK) x 5 = 1 x = 6 (TMĐK) x 5 = 2 x = 7 (TMĐK) KL: x {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ d) P = 2 3 2 5 x x = 2 1 5x + 0,25đ Ta có: 1 > 0 Để P > 0 thì 2 5x > 0 x 5 > 0 x > 5 0,5đ Với x > 5 thì P > 0. 0,25 Bài 2: a) 2 15 1 1 1 12 3 4 4 3 3 x x x x x = + ữ + + ( ) ( ) ( ) 15 1 1 1 12 4 1 4 3 1 x x x x x = + ữ ữ + + ĐK: 4; 1x x 3.15x 3(x + 4)(x 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) 3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoặc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK) 2 S = { 0} 1đ b) 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x + + + = 148 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x + + + = ữ ữ ữ ữ (123 x) 1 1 1 1 25 23 21 19 + + + ữ = 0 Do 1 1 1 1 25 23 21 19 + + + ữ > 0 Nên 123 x = 0 => x = 123 S = {123} 1đ c) 2 3 5x + = Ta có: 2 0x x => 2 3x + > 0 nên 2 3 2 3x x + = + PT đợc viết dới dạng: 2 3 5x + = 2x = 5 3 2x = 2 +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là: 3 ( / ) 1 10 3 3 x x km h= (3 h 20 = ( ) 1 3 3 h ) 0,25đ Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là: ( ) 3 5 / 10 x km h + 0,25đ Theo đề bài ta có phơng trình: 3 5 .3 10 x x + = ữ 0,5đ x =150 0,5đ Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là: ( ) 3.150 45 / 10 km h = 3 Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ a) Gọi O là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD. PO là đờng trung bình của tsm giác CAM. AM//PO tứ giác AMDB là hình thang. 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB Gọi I là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA. Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP là đờng trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ c) ( ) MAF DBA g g : nên MF AD FA AB = không đổi. (1đ) d) Nếu 9 16 PD PB = thì 9 , 16 9 16 PD PB k PD k PB k= = = = Nếu CP BD thì ( ) CP PB CBD DCP g g PD CP = : 1đ do đó CP 2 = PB.PD hay (2,4) 2 = 9.16 k 2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC 2 = BP.BD = 16 0,5đ do đó BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 2009 2008 + 2011 2010 = (2009 2008 + 1) + ( 2011 2010 1) Vì 2009 2008 + 1 = (2009 + 1)(2009 2007 - ) = 2010.() chia hết cho 2010 (1) 2011 2010 - 1 = ( 2011 1)(2011 2009 + ) = 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) và (2) ta có đpcm. b) 2 2 1 1 2 1 1 1x y xy + + + + (1) 4 A B C D O M P I E F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 x xy y xy x y x y x y x xy y xy y x xy x y xy ⇔ − + − ≥ ÷ ÷ + + + + − − ⇔ + ≥ + + + + − − ⇔ ≥ + + + V× 1; 1x y ≥ ≥ => 1xy ≥ => 1 0xy − ≥ => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1® Chó ý: C¸c c¸ch gi¶i kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. 5 . Hiền đề kiểm tra học sinh giỏi Năm học 200 9-2 010 Môn: Toán Thời gian: 120 phút đề bài: Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức: P = 2 2 2 2 2 3 2 8 3 21 2 8 : 1 4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3 x x x x x x x. 2 1 5x + Ta có: 1 Z Vậy P Z khi 2 5 Z x x 5 Ư (2) Mà Ư (2) = { -2 ; -1 ; 1; 2} x 5 = -2 x = 3 (TMĐK) x 5 = -1 x = 4 (KTMĐK) x 5 = 1 x = 6 (TMĐK) x 5 = 2 x = 7 (TMĐK) KL:. 3(x + 4)(x 1) = 3. 12(x -1 ) + 12(x + 4) 3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoặc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK) 2 S = { 0} 1đ b) 1 48 169 186 199 10 25 23 21 19 x