Đề thi HSG Toán 8 Cấp huyện cực hay

Qua O kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F.. b Tính giá trị biểu thức.

a b c M

UBND huyện thanh sơn

PHòNG GD&ĐT THANH SƠN Đề THI HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN

Năm học: 2009-2010 Môn: Toán 8

(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1 ( 4,0 điểm):

a Tính giá trị của biểu thức A = x4 19x3 19x2 19x 20 tại x = 18

b Chứng minh rằng: Với a, b là 2 số nguyên tùy ý ta luôn có 8ab(a2 - b2 +6)  48

Bài 2 ( 4,0 điểm):

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A ab a b (  ) bc b c(  )ac a c(  )

b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 4x2 + 12 là bình phơng của một số tự

nhiên

Bài 3 ( 6,0 điểm):

Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đờng chéo Qua O kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F

a Chứng minh : SAOD  SBOC

b Chứng minh: OE = OF

c Chứng minh: 1  1  2

Bài 4 ( 4,0 điểm): Giải các phơng trình sau

a) 4x2 - 4x -3 = 0

b) (x2x)2  4x2  4x 12

Bài 5 (2,0 điểm):

Cho a+b ạ 0; b+c ạ 0; c +a ạ 0 và thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc

a) Chứng minh a+b+c = 0 hoặc a = b = c

b) Tính giá trị biểu thức

- Hết

-UBND huyện thanh sơn

PHòNG GD&ĐT THANH SƠN HọC SINH NĂNG KHIếU CấP HUYệN hớng dẫn chấm THI

Năm học: 2009-2010 Môn: Toán 8

1 a) Tính giá trị của biểu thức A = x419x319x219x20 tại x = 18. (1,5)

A = x4-18x3-x3+18x2+x2-18x-x+18+2

= x3(x-18)-x2(x-18)+x(x-18)-(x-18)+4

Với x = 18, giá trị của biểu thức A là 2

0,5 0,5 0,5

b) Chứng minh rằng:

Với a, b là 2 số nguyên tùy ý ta luôn có 8ab(a 2 - b 2 + 6)  48 (2,5)

Với a,bZ, ta có ab(a2 - b2 + 6) = ab[(a2-1)-(b2-1)+ 6]

= ab(a2-1) - ab(b2-1) + 6ab= ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1) + 6ab

Ta thấy a(a-1)(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên

a(a-1)(a+1)  3

a(a-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên a(a-1)  2

hay a(a-1)(a+1)  2

Mà (2,3) = 1 => a(a-1)(a+1)  6

Tơng tự b(b-1)(b+1)  6

suy ra ab(a-1)(a+1) - ab(b-1)(b+1)  6 hay ab(a2 - b2)  6

=>ab(a2 - b2) + 6ab  6

Suy ra 8ab(a2 - b2 + 6)  48 (Đpcm)

0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25

a) Phân tích đa thức A ab a b (  ) bc b c(  )ac a c(  )thành nhân

tử

(2)

A ab a b   bc b c ac a c

= a2b + ab2 - b2c - bc2 + ac(a-c)

= b(a2 - c2) + b2(a - c) + ac(a-c)

= b(a-c)(a+c) + b2(a - c) + ac(a-c)

= (a-c)(ab + bc + b2 + ac)

= (a-c)(a+b)(b+c)

0,5 0,5 0,5 0,5

b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho 4x 2 + 12 là bình phơng của

Giả sử có số tự nhiên x thỏa mãn đề bài

Ta có 4x2 + 12 = 4(x2 + 3) là bình phơng của một số tự nhiên

=> x2 + 3 = 4y2 (1) (Với y N)

<=> 4y2 - x2 = 3 <=> (2y-x)(2y+x) = 3 (2)

Theo (1): 4y2 = x2 + 3 > x2 hay (2y)2 > x2

Nhng x, yN nên 2y>x => 2y-x > 0 và 2y+x > 0

Mặt khác (2y+x) - (2y-x) = 2x0 (do x N)

Từ (2) => 2 1

y x

y x

 





 



=> 2y=1 3

2 2



 => y=1 => x =2y-1=1 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x=1 là giá trị duy nhất cần tìm.

0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

F E

a) Kẻ AHCD và AHCD => AHAB (vì AB//CD)

=> Tứ giác AHKB là hình chữ nhật => AH = BK

=> Ta có SADC =1

2 AH.DC =

1

2 BK.DC = SBDC

=> SADC = SBDC => SAOD + SDOC = SBOC + SDOC => SAOD  SBOC

0,5 0,5 0,5

b) Vì OE//CD nênOE AO

CD AC (Hệ quả của Định lí Ta let) (1) Vì OF//CD nênOF OB

CD BD (Hệ quả của Định lí Ta let) (2) Vì AB//CD nên OA OB

OC OD(Hệ quả của Định lí Ta let)

OA OC OB OD(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=>OA OB

AC BD (3) Từ (1), (2) và (3) ta có   

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

c)

Vì OE//AB nên OE ED

AB AD (4)

Mà EF 2OE

AB AB ( Vì OE = OF theo câu a)

= 2ED

AD (Theo (4)) Chứng minh tơng tự EF 2OE 2AE



2ED

AD +

2AE

2CD

2 CD

=> 1  1  2

0,5

0,5

0,5 0,5

a) 4x2 - 4x -3 = 0

<=> 4x2 - 1 - 4x -2 = 0

<=> (2x-1)(2x+1) -2(2x+1)

<=>(2x+1)(2x-3) = 0

<=> x =  1

2 hoặc x =

3 2

0,5 0,5 0,5 0,5 b) (x2x)2 4x2 4x 12(1)

Đặt x2 x = t

(1) <=> t2 + 4t -12 = 0

<=> (t-6)(t+2) = 0

<=> t = 6 hoặc t = -2

Với t = 6 thay vào cách đặt ta đợc

0,25 0,5

x x = 6 <=> (x-3)(x+2) = 0

<=> x = 3 hoặc x = -2

Với t = -2 thay vào cách đặt ta đợc

2

x x = -2 <=> x2 x +2 = 0 (vô nghiệm)

Vì x2 x +2 = 2 1 1 1

2 4 4

x  x    = 1 2 7

x   x

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 3; x = -2

0,5 0,5 0,25

a) Ta chứng minh đẳng thức:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) (1)

Ta có a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b)3 - 3ab(a+b) +c3 - 3abc

= (a+b+c)[(a+b)2 -(a+b)c + c2] -3ab(a+b+c)

= (a+b+c)(a2 +2ab + b2 -ac -bc +c2 -3ab)

= (a+b+c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) (Đpcm)

Theo bài ra a3 + b3 + c3 - 3abc = 0, nên từ (1) suy ra

(a+b+c) = 0 (2) hoặc (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0 (3)

Xét (3): a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0

<=> 2a2 +2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 = 0

Vì (a-b)2 ³ 0; (b-c)2 ³ 0; (c-a)2 ³ 0 => (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 ³ 0

Nên để xảy ra (3) <=> a=b và b=c và c=a <=> a=b=c

Vậy từ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 suy ra a+b+c = 0 hoặc a = b = c

0,25 0,25 0,25

0,25

b) Xét a+b+c = 0 => a+b=-c ; b+c=-a ; c+a=-b khi đó

a + b+ c

-Xét a=b=c, khi đó M= a b c 3

2a+2b+2c=2 Vậy với a+b+c = 0 => M = -3

với a=b=c => M = 3

2

0,25 0,25 0,25 0,25