Đề thi HSG Toán 8 (2009-2010)

PHÒNG GD&ĐT LONG ĐIỀN ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC : 2009-2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 4 điểm) Cho phân thức : 2 3 2 8 4 x x M x x − − = − 1/ Tìm điều kiện xác định của M. 2/ Rút gọn M. 3/ Với giá trị nào của x thì giá trị của M ( sau khi rút gọn) bằng 0. Bài 2 : ( 6 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau : 2 / 3(3 1) 9 6 1a x x x− = − + 2 3 2 1 2 1 / 1 1 1 x b x x x x − = + − + + + 1 4 / 2 2 2 x x c − + ≥ − 2 / 3 2 1 0d x x x − + + − = Bài 3 : ( 4 điểm) Trên quãng đường AB dài 72 km, hai người cùng khởi hành một lúc từ A đến B. Vận tốc của người thứ nhất là 12 km/h, vận tốc của người thứ hai là 15 km/h. Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì người thứ nhất còn cách B một quãng đường gấp đôi quãng đường người thứ hai cách B? Bài 4 : ( 4 điểm) Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB= 5 cm và CD = 15 cm, độ dài hai đường chéo là AC = 16cm và BD = 12cm. Từ A kẻ đường thằng song song với BD cắt CD tại E. 1/ Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A. 2/ Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 5 : ( 2 điểm) 1/ Chứng minh rằng 2009 2009 + 2011 2010 chia hết cho 2010. 2/ Rút gọn biểu thức sau với n là số tự nhiên ( n ≥ 2) : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 4 1 1 . . 2 3 4 n A n − − − − = PHÒNG GD&ĐT LONG ĐIỀN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN CHỌN NĂM HỌC : 2009-2010 HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 4 điểm) Cho phân thức : 2 3 2 8 4 x x M x x − − = − 1/ Biểu thức M tồn tại khi ( ) ( ) ( ) 3 2 4 0 4 0(0,5) 2 2 0(0,5) 0 2(0,5) x x x x x x x x hay x − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ ≠ ≠ ± 2/ Rút gọn M : 2 3 2 8 4 x x M x x − − = − 2 3 2 1 9 4 x x x x − + − = − (0,5 đ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 4 x x x − − = − (0,25đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 2 2 x x x x x − − − + = − + (0,25đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 x x x x x − + = − + (0,25đ) ( ) 4 2 x x x − = − (0,25đ) 3/ Giá trị của biểu thức M bằng 0 khi 4 0 4x hay x − = = (1 đ) Bài 2 : ( 6 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau : 2 / 3(3 1) 9 6 1a x x x − = − + 2 3 2 1 2 1 / 1 1 1 x b x x x x − = + − + + + (1) 2 3(3 1) (3 1)x x⇔ − = − Điều kiện xác định là 1x ≠ − (0,25đ) 2 3(3 1) (3 1) 0x x⇔ − − − = (0,25đ) (1) 2 2( 1) 1 2 1x x x x ⇔ + = − + + − (0,25đ) (3 1)(3 3 1) 0x x⇔ − − + = (0,25đ) 2 1 2 1 2 2 0x x x x ⇔ − + + − − − = (3 1)(4 3 ) 0x x ⇔ − − = (0,25đ) 2 2 0x x ⇔ − − = (3 1) 0 (4 3 ) 0x hay x ⇔ − = − = (0,25đ) 2 2 2 0x x x ⇔ − + − = (0,25đ) 1 4 3 3 x hay x ⇔ = = (0,25đ) ( 1)( 2) 0x x ⇔ + − = (0,25đ) Vậy phương trình có hai nghiệm ( 1) 0 ( 2) 0x hay x ⇔ + = − = 1 à 1 3 x v x = = (0,25đ) 1x ⇔ =− (loại) hay 2x = (nhận) (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình là 2x = (0,25đ) 1 4 / 2 2 2 x x c − + ≥ − 1 4 4x x ⇔ − ≥ + − (0,25đ) 0 1x ⇔ ≥ (0,5đ) Vậy BPT trên vô nghiệm(0,25đ) 2 / 3 2 1 0d x x x − + + − = (1) * Nếu 1x ≥ thì 1 1x x − = − (0,25đ) . Khi đó PT (1) 2 3 2 1 0x x x ⇔ − + + − = 2 2 1 0x x ⇔ − + = 2 ( 1) 0x ⇔ − = (0,25đ) 1 0x ⇔ − = 1x ⇔ = (nhận) (0,25đ) * Nếu x < 1 thì 1 1x x − = − (0,25đ). Khi đó PT (1) 2 3 2 1 0x x x ⇔ − + + − = 2 4 3 0x x ⇔ − + = 2 4 4 1 0x x ⇔ − + − = (0,25đ) 2 ( 2) 1 0x ⇔ − − = (0,25đ) ( 2 1)( 2 1) 0x x ⇔ − − − + = ( 3)( 1) 0x x ⇔ − − = (0,25đ) 3x ⇔ = (loại) hay 1x = (loại) Vậy phương trình (1) có nghiệm là 1x = (0,25đ) Bài 3 : ( 4 điểm) Gọi thời gian cần xác định là x (giờ , x > 0) (0,5đ) Quãng đường người thứ nhất đi được là 12x(km) (0,5đ) Quãng đường người thứ hai đi được là 15x (km) (0,5đ) Quãng đường người thứ nhất còn cách B là 72 – 12x (km) (0,5đ) Quãng đường người thứ hai còn cách B là 72 – 15x (km) (0,5đ) Theo đề bài ta có phương trình : 72 – 12x = 2(72 – 15x) (0,5đ) 72 – 12x = 144 – 30x 18x = 72 x = 4 ( thỏa) (0,5đ) Vậy thời gian cần tìm là 4 giờ. (0,5đ) Bài 4 : ( 4 điểm) Vẽ hình đúng 0,5 đ 1/ ta có AB//DE và AE//BD, suy ra Tứ giác ABDE là HBH => AB=DE= 5cm; AE=BD= 12cm => EC = 15 + 5 = 20cm Xét ∆AEC có : AE 2 + AC 2 = 12 2 + 16 2 = 400 EC 2 = 20 2 = 400 Suy ra AE 2 + AC 2 = EC 2 . Vậy ∆AEC vuông tại A ( định lý đảo Pitago) ( 1,5đ) 2/ Xét hai ∆AED và ∆ABC có ED=AB và có hai đường cao ứng với hai đáy ED, AB bằng nhau ( cùng bằng đường cao của hình thang ABCD) => S ∆AED = S ∆ABC => S ∆AED + S ∆ADC = S ∆ABC + S ∆ADC => S ∆AEC = S ABCD Mà S ∆AEC = 1 2 AE.AC = 1 2 12.16 = 96 (cm 2 ) Vậy S ABCD = 96cm 2 (2đ) Bài 5 : ( 2 điểm) 1/ 2009 2009 + 2011 2010 = (2009 2009 + 1) + (2011 2010 – 1) = (2009 + 1)(2009 2008 - …) + (2011 – 1)(2011 2009 + …) = 2010(2009 2008 - …) + 2010(2011 2009 + …) chia hết cho 2010.(1đ) 2/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 4 1 1 . . 2 3 4 n A n − − − − = 2 2 2 2 1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1) . . 2 3 4 n n A n − + = 1.2.3 ( 1) 3.4.5 ( 1) . 2.3.4 ( 1) 2.3.4 n n n A n n n − + = − 1 1 1 . 2 2 n n A n n + + = = (1đ) Người ra đề: Nguyễn Xuân Tiến A D B C E . LONG ĐIỀN ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC : 2009-2010 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 4 điểm) Cho phân thức : 2 3 2 8 4 x x M x. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN CHỌN NĂM HỌC : 2009-2010 HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 4 điểm) Cho phân thức : 2 3 2 8 4 x x M x. đường người thứ hai còn cách B là 72 – 15x (km) (0,5đ) Theo đề bài ta có phương trình : 72 – 12x = 2(72 – 15x) (0,5đ) 72 – 12x = 144 – 30x 18x = 72 x = 4 ( thỏa) (0,5đ) Vậy thời gian cần tìm là 4