DE THI HSG TOAN 8

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút Bài 1:( 4 điểm) Cho biểu thức M =       + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xxxx x :         + − +− 2 10 2 2 x x x a) Rút gọn M b)Tính giá trị của M khi x = 2 1 Bài 2:(4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x 3 – 5x 2 + 8x – 4 b) 11 7 1x x + + c )( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 d )(x 2 +x+1)(x 2 +x + 2 ) –12 Bài 3 : (4điểm ) a)Cho hai số thực x, y thoả mãn 3 2 3 10x xy− = và 3 2 3 30y x y− = . Tính giá trò biểu thức P = 2 2 x y+ . b) Chứng minh rằng :Nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Bài 5) (6 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF c) Chứng minh S 2 FDC ≥ 16 S AMC .S FNA Bài 6) ( 2 điểm) Chứng minh b c a b c a a c c b b a ++≥++ 2 2 2 2 2 2 với mọi số a, b, c khác 0. Đáp án và biểu điểm Bài 1: a) Rút gọn M M=       + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xxxx x :         + − +− 2 10 2 2 x x x =       + + − − +− 2 1 )2(3 6 )2)(2( 2 xxxxx x : 2 6 + x M = 6 2 . )2)(2( 6 + +− − x xx = x − 2 1 ( 2 điểm) b)Tớnh giỏ tr ca M khi x = 2 1 x = 2 1 x = 2 1 hoc x = - 2 1 Vi x = 2 1 ta cú : M = 2 1 2 1 = 2 3 1 = 3 2 Vi x = - 2 1 ta cú : M = 2 1 2 1 + = 2 5 1 = 5 2 ( 2 im) Bi 2: a) ) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 -4x 2 + 4x x 2 +4x 4 = x( x 2 4x + 4) ( x 2 4x + 4) = ( x 1 ) ( x 2 ) 2 ( 1 im) b) 11 7 1x x+ + = (x 11 +x 10 +x 9 )+( x 10 -x 9 x 8 )+(x 8 +x 7 +x 6 )+( x 6 x 5 -x 4 ) +(x 5 +x4 +x 3 ) +(x 3 x 2 x ) + (x 2 +x+1) = x 9 (x 2 +x+1) x 8 (x 2 +x+1) +x 6 (x 2 +x+1)-x 4 (x 2 +x+1) +x 3 (x 2 +x+1) +(x 2 +x+1) =(x 2 +x+1)(x 9 -x 8 +x 6 -x 4 +x 3 +1) (1 im) c) Ta cú : A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - (2bc) 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 -2bc)( b 2 + c 2 - a 2 +2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 im) d) ủaởt y= x 2 +x +1 suy ra x 2 + x+ 2= y+1 . ta ủửụùc :M =y(y+1) 12 =y 2 +y 12 =y 2 -3y +4y 12 =(y-3)(y +4) Thay y =x 2 +x +1 .Ta ủửụùc :M =(9x 2 +x 2 )(x 2 +x+5) =(x-1)(x+2)(x 2 +x+5) (1ủim) Bi 3: a) Ta coự: 3 2 3 10x xy = => ( ) 2 3 2 3 100x xy = => 6 4 2 2 4 6 9 100x x y x y + = vaứ 3 2 3 30y x y = .=> ( ) 2 3 2 3 900y x y = => 6 2 4 4 2 6 9 900y x y x y + = Suy ra: 6 4 2 2 4 6 3 3 1000x x y x y y+ + + = => ( ) 3 2 2 2 2 1000 10x y x y+ = + = ( 2 im ) b) Ta coự : 2 1 1 1 ( ) 4 a b c + + = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2.( ) a b c ab bc ca + + = + + ự 2 2 2 1 1 1 4 2. a b c a b c abc + + + + = Vỡ a+b+c = abc neõn ta coự : 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = ( 2 im) Bi 5 : a : Lý lun c : DF DC AM MC = ( Do AM//DF) (1) DE BD AM BM = ( Do AM // DE) (2) T (1) v (2) 2 DE DF BD DC BC AM BM BM + + = = = ( MB = MC) DE + DF = 2 AM ( 2,25im) b: AMDN l hỡnh bnh hnh N E D M C A B F Ta có NE AE ND AB = NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB = = = = ⇒ NE NF ND ND = => NE = NF ( 2.25 điểm) c: ∆ AMC và ∆ FDC đồng dạng ⇒ 2 AMC FDC S AM S FD   =  ÷   ∆ FNA và ∆ FDC đồng dạng ⇒ 2 FNA FDC S NA S FD   =  ÷   ⇒ 2 AMC FDC S ND S FD   =  ÷   và 2 FNA FDC S DM S DC   =  ÷   ⇒ . AMC FNA FDC FDC S S S S = 2 ND FD    ÷   . 2 DM DC    ÷   4 1 16 ND DM FD DC   ≤ +  ÷   ⇒ S 2 FDC ≥ 16 S AMC .S FNA ( Do ( ) 2 0x y− ≥ ⇔ ( ) 2 4x y xy+ ≥ ⇔ ( ) 4 2 2 16x y x y+ ≥ với x ≥ 0; y ≥ 0) ( 1.5 điểm) Bài 6: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có: c a c a c b b a c b b a 2 2.2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥=≥+ Tương tự: a b a c c b 2 2 2 2 2 ≥+ và b c b a a c 2 2 2 2 2 ≥+ Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta có đpcm . DC AM MC = ( Do AM//DF) (1) DE BD AM BM = ( Do AM // DE) (2) T (1) v (2) 2 DE DF BD DC BC AM BM BM + + = = = ( MB = MC) DE + DF = 2 AM ( 2,25im) b: AMDN. +x 10 +x 9 )+( x 10 -x 9 x 8 )+(x 8 +x 7 +x 6 )+( x 6 x 5 -x 4 ) +(x 5 +x4 +x 3 ) +(x 3 x 2 x ) + (x 2 +x+1) = x 9 (x 2 +x+1) x 8 (x 2 +x+1) +x 6 (x 2 +x+1)-x