Như vậy, có 12 tổng là các số tổng thuộc tập hợp nguyên, nhưng nhận nhiều nhất 11 giá trị khác nhau, nên có ít nhất hai tổng nhận cùng một giá trị đpcm...[r]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút - Ngày thi: 14/4/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) Câu Giải vơ địch bóng đá quốc gia Việt Nam 2016-2017 có 14 đội tham gia Mỗi đội phải thi đấu cới đội lại trận sân nhà trận sân khách Kết thúc mùa giải có tất trận đấu? Câu Trong hộp có 60 viên bi màu, gồm 25 bi màu đỏ, 20 bi màu xanh, 15 bi màu vàng Cần lấy viên bi (mà khơng cần nhìn vào hộp) để có viên bi khác màu? 3 Câu Tìm tập nghiệm nguyên (x; y) phương trình: x y x y 2017 Câu Cho số thực a; b; c đôi khác Tính giá trị biểu thức sau: P ab( a b) ac(c a) bc(b c) (a b)3 (b c)3 (c a)3 Câu Tìm số hạng thứ dãy số: 1; 2; 5; 10; 17;… Câu Tìm nghiệm nguyên dương (x; y) phương trình: 4( x y ) xy 11 Câu Tìm tập nghiệm phương trình: x x 2016.2017 an 3n 3n (n n)3 với n 1, n Tính S a1 a2 a2015 a2016 ? Câu Cho dãy số Câu Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD BC theo thứ tự M N Biết AB = 6cm, CD = 10cm Tính độ dài đoạn thẳng MN Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB, AC Câu 10 BM CN thứ tự lấy điểm M, N cho góc MDN 600 Tính tỉ số AB II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 1 1 1 ).x 10.110 1.11 2.12 100.110 a) Giải phương trình: 1.101 2.102 ( Câu 11: b) Cho số thực x; y; z thỏa mãn đồng thời: x y z 6; ( x 1)3 ( y 2)3 ( z 3)3 0 ( x 1)2017 ( y 2)2017 ( z 3)2017 Tính giá trị biểu thức: P = Câu 12 Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi D, E thứ tự chân đường cao hạ từ đỉnh B, C tam giác ABC a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) Chứng minh rằng: BE.AB + CD.AC = BC2 Câu 13 Ký hiệu S(a) tổng chữ số số tự nhiên a Tìm a, biết: S(a-5) + a = 122 Câu 14 Cho lưới vng có kích thước 5x5 ô Người ta điền vào ô lưới số -1; 0; Xét tổng số theo cột, theo hàng theo hàng chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Hết -Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay SƠ LƯỢC GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN LỚP Đáp án Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Đáp số: 182 trận Đáp số: 46 viên bi Đáp số: S x y x y 2017 x x y y 2017 (x 1) x(x 1) (y 1) y(y 1) 2017 (1) Vố lý, PT (1) có vế trái chia hết cho 3, cịn vế phải không chia hết cho P Đáp số: Đáp số: 50 Ta có: an 1 n (n = 0; 1; 2; 3; ) Đáp số: (x, y) = (9;5); (5;9) Đáp số: S = {-2016; 2017} x x 2016.2017 (x-2016)(x-2017)=0 Đáp số: 1 20173 an Câu 1 n (n 1) Ta có: Đáp số: 7,5 cm OM OD NC ON MN OM ON Ta có: AB BD BC AB OM OD ON OB OM ON ; 1 AB BD CD BD AB CD 1 MN AB CD AB.CD MN AB CD B A M N O D C Đáp số: A Câu 10 B Câu 11a Câu 11b N M D C tam giác MBD DCN đồng dạng (g-g) BM BD BC AB BM CN BM CN BD.CD 4 AB Suy CD CN Đáp số: x = 10 Đặt: 1 1 1 1 A (1 ) 1.101 2.102 10.110 100 101 102 10 110 1 1 1 (1 ) 100 10 101 102 110 1 1 1 1 B (1 ) 1.11 2.12 100.110 10 11 12 100 110 1 1 1 (1 ) 10 10 101 102 110 Vậy phương trình có nghiệm x = 10 Chứng minh: Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc Từ giả thiết suy ra: (x – 1) + (y – 2) + (z – 3) = (*) nên: x 0 (x 1) (y 2) (z 3) 0 3(x 1)(y 2)(z 3) 0 y 0 z 0 3 (*) y ( z 3) (y 2) 2017 (z 3) 2017 0 + Nếu x – = Từ Suy P = + Tương tự cho trường hợp lại Vậy: P = Lưu ý: Học sinh nhầm x = 1, y = 2, z = thay vào P A D E H B Câu 12 F C a) Tam giác ADB tam giác AEC đồng dạng có: ADB AEC 900 BAC chung , AD AE suy ra: AB AC AD AE Hai tam giác ADE ABC đồng dạng vì: AB AC , BAC chung b) Gọi H trực tâm AF đường cao cịn lại, ta có: Tam giác ABF tam giác CBE đồng dạng có góc ABC chung, AFB CEB 90 BF AB BE.AB BF BC (1) , suy ra: BE BC Tương tự, tam giác AFC tam giác BDC đồng dạng, suy ra: CF AC CD AC CF BC (2) CD BC Từ (1) (2) suy ra: BE.AB + CD.AC = BC(BF + CF) = BC2 Từ S(a-5) + a = 122, suy a < 122, tức số a có chữ số Nếu a có chữ số a 99; S(a - 5) 18 S(a - 5) + a 107, suy a có chữ số Đặt a mnq , a < 122 m 1 n = 0, 1, tức a 10q ; 11q ; 12q * Với a 10q - Nếu q 5 S(a 5) S(10q 5) 5 S(a 5) a 122 (loại) Câu 13 - Nếu q 4 S(10q 5) 10q 122 (10 q) 100 q 122 q 4 (TM) * Với a 11q - Nếu q 5 S(11q 5) 11q 122 (q 5) 110 q 122 2q 15 (loại) - Nếu q 4 S(11q 5) 11q 122 (10 q) 110 q 122 q 3 (TM) * Với a 12q - Nếu q 5 a 12q 122 (loại) - Nếu q 4 S(12q 5) 12q 122 (10 q) 120 q 122 2q (loại) Vậy a = 104; 113 Lưới ô vuông kích thước 5x5 có hàng ngang, cột dọc đường chéo (theo ơ), nên có 12 tổng Do số điền vào ô số: -1; 0; nên giá trị Câu 14 5; 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4;5 Như vậy, có 12 tổng số tổng thuộc tập hợp nguyên, nhận nhiều 11 giá trị khác nhau, nên có hai tổng nhận giá trị (đpcm) Tổng - Hết - ... liệu máy tính cầm tay SƠ LƯỢC GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN LỚP Đáp án Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Đáp số: 182 trận Đáp số: 46 viên bi Đáp số: S ... 102 110 Vậy phương trình có nghiệm x = 10 Chứng minh: Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc Từ giả thi? ??t suy ra: (x – 1) + (y – 2) + (z – 3) = (*) nên: x 0 (x 1) (y 2) (z 3) 0 3(x... giác AEC đồng dạng có: ADB AEC 900 BAC chung , AD AE suy ra: AB AC AD AE Hai tam giác ADE ABC đồng dạng vì: AB AC , BAC chung b) Gọi H trực tâm AF đường cao cịn lại, ta có: Tam giác