ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN THANH OAI 20132014

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II NĂM HỌC: 2013 - 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài ( điểm ) Chứng minh rằng: Nếu n số nguyên n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30 x3 Cho f(x) = Hãy tính giá trị biểu thức sau: − 3x + 3x  A= f      2010   2011  + f  + + f  + f   2012   2012   2012   2012  Bài ( điểm )  3 3x − y = x+ y Giải hệ phương trình :  2  x + y = Giải phương trình nghiệm nguyên: 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y) Bài ( điểm ) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điểu kiện 1  1    15 + +  = 10 + +  + 2014 Tìm giá trị lớn biểu thức : b c  a  ab bc ca  1 + + P= 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Bài ( điểm ) Cho hai đường tròn ( O; R) ( O’; R’) cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O ( D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ’) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O ’ M N ( M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a MI.BE = BI.AE b Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE qua điểm cố định Bài ( điểm ) x2 −1 y2 −1 + Cho x, y số nguyên khác thỏa mãn số nguyên Chứng y +1 x +1 minh : x2y22 – chia hết cho x + PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Bài Bài (5đ) Nội dung Điểm 1, A= n5 + 5n3 – 6n = ( n5 – n ) + ( 5n3 – 5n) = n( n - 1)( n + 1)( n2 +1) - 5n( n + 1)( n - 1) Mỗi số hạng A chia hết cho mà ( 5; 6) = nên A 30 1,5đ 1,0đ x3 (1 − x) 2, f(x) = -> f(1- x) = x + (1 − x) x + (1 − x) -> f(x) + f(1 – x) = 1 2 -> x + y = -> f(x) + f(y) = 1, f   = 1,5đ    2011       2010   + f   +  f  + f    2012     2012   2012     2012   A=  f    1005   1007    1006  + +  f  + f   + f   = 1005 + = 1005,5  2012    2012    2012  Bài (5đ)  3 (3 x − y )( x + y ) = (1) 3 x − y = x + y   2 x2 + y2 = (2)  x + y =  Từ (1) (2) -> (3x3 – y3)(x + y) = (x2 + y2 )2 …… ( x – y)(x + 2y)(2x2 + xy + y2) = 1,5đ x− y =0    x + y = 2 x + xy + y = * Nếu x – y = -> x = y thay vào (2) -> x = y = x = y = − 2 1,0đ 2 * Nếu x + 2y = thay vào (2) -> x = x = −2 5 ,y= 5 5 ,y= − 5 * Nếu 2x2 + xy + y2 = -> x = y = loại  2 − − 2 −2 5 2 − 5 ;    ; Vậy (x; y) =  ; ;    ; ;  ;  2 2      5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y) (1) -> 7(x + 2y)  -> x + 2y  , Đặt x + 2y = 5t (t∈ z ) (2) (1) x2 + xy + y2 = 7t (3) Từ (2) -> x = 5t – 2y thay vào (3) có: 3y2 -15ty + 25t2 – 7t = (*) ∆ = 84t – 75t2 Để (*) có nghiệm ∆ ≥ 84t – 75t2 ≥ ≤ t ≤ Bài (3đ) 28 25 1,5đ t ∈ z -> t = Nếu t = từ (*) -> x1 = 0, y1= Nếu t = từ (*) -> x2 = -1, y2 = x3 = 1, y3 = 1 Đặt x = , y= , z= b c a Từ gt có 15(x2 + y2 + z2) = 5( 2xy+2yz+2xz) + 2014 ≤ 10(x2 + y2 + z2) + 2014 -> 5(x2 + y2 + z2) ≤ 2014 Do ( x+y+z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 2014 Có 5a2 + 2ab + 2b2 = 4a2 + 2ab + b2 + (a2 +b2) ≥ 4a2 + 2ab + b2 + 2ab = ( 2a+ b)2 1 2 1 ≤ ≤  +  = ( x + y ) -> 5a + 2ab + 2b 2a + b  a b  Tương tự có : 1,0đ 5b + 2bc + 2c ≤ ( y + z) 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1 5c + 2ca + 2a -> P ≤ ≤ ≤ ( 2z + x) ( 2x + y + y + z + 2z + x) = x + y + z 2014 = -> Max P = 2014 15 2014 15 a = b = c = 1,0đ 15 2014 Bài (6đ) a, BDE = BAE, BAE = BMN -> BDE = BMN -> BDI = BMI -> BDMI tứ giác nội tiếp 1,5đ -> MDI = MBI = ABE BMI = BAE -> ∆MBI ̴ ∆ABE ( g.g) -> đpcm b, Q giao điểm CO DE, K giao điểm OO’ DE, H giao điểm AB OO’ ∆v OCD có OQ.OC = OD2 = R2 ∆vKQO ̴ ∆ CHO (g.g) -> OC.OQ = KO.OH R2 -> KO OH = R -> OK = OH Vì OH cố định, R không đổi -> OK không đổi -> K cố định x −1 a y −1 c ( a; b; c; d ∈ Z ; ( a; b) = 1; (c; d ) = 1, b, d > 0) = , = y +1 b x +1 d Bài (1đ) Đặt 1,5đ 1,5đ 1,5đ x − y − a c ad + bc + = + = =K y +1 x +1 b d bd (K ∈ Z ) -> ad + bc = bdk -> ad + bc  b, ad  b -> d  b ( (a; b) = 1) Tương tự b  d -> b = d 0,5đ a c x2 −1 y2 −1 = = ( x − 1)( y − 1) = m ∈ Z ( Vì x,y ∈ Z) b d y +1 x +1 -> ac = mbd -> ac  b -> c  b ( ( a; b) = 1) -> c  d ( b = d) (c; d) = -> d = -> ( y2 – 1)  ( x + 1) x2y22 – 1= x2(y22 – 1) + x2 - Do y22 –  y2 – -> y22 –  x + -> x2(y22 – 1)  x + mà x2 –  x + -> x2y22 –  x + 0,5đ ... PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG II Năm học 2013 - 2014 Môn thi : Toán Bài Bài (5đ) Nội dung Điểm 1, A= n5 + 5n3 – 6n =