010 đề HSG toán 9 cấp huyện 2012 2013

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề thức Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao bài) Bài (5 điểm)  a   a :  Cho biểu thức: A = 1      a a a  a  a   , với a ≥ a      Rút gon biểu thức A Thính giá trị biểu thức A a = 2010 -2 2009 Bài (4 điểm) Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2  x  y  3( x  y ) Giải hệ phương trình:   x  y  1 Bài (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) Cho tam giác ABC vuông A có phân giác AD Gọi M, N hình chiếu B, C lên đường thẳng AD Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân C Gọi M trung điểm cạnh AB, P điểm cạnh BC; điểm N, L thuộc AP cho CN ┴ AP AL = CN Chứng minh góc MCN góc MAL Chứng minh ∆LMN vng cân Diện tích ∆ ABC gấp lần diện tích ∆MNL, tính góc CAP Bài (2 điểm) Cho a b ab = Chứng minh: a2  b2 4 a b Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên chữ ký giá thị Họ tên chữ ký giám thị KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS PHÒNG GD&ĐT Hướng dẫn chấm mơn tốn Nội dung Câu Câu 1 (3,0đ) 5,0 điểm Với điều kiện a Ta có: Điểm  a   a :  A = 1    1  a a a  a  a  1 a      =  a  a 1  a  :    a 1  a ( a  )(  a )    =  =  1,0 a 1 a 1 a : a 1 (a  1)(1  a )  1,0 a  (a  1)(1  a ) (a  1)( a  1)  1 a 2(2,0 đ) Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2 Thì A = + ( 2009  1)  2009 1,0 1,0 1,0 Câu (2,0đ) Ta có 4,0 điểm (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 (x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2 + x = nghiệm phương trình (1) + Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được: x x (1) ( x   6)( x   9) = 28 Đặt t = x  0,5 x (1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 t2 + 15t + 26 = t  2  t  13 Với t = -2 ta có x  = - x2 + 2x + = PT vô nghiệm x Với t = -2 ta có x  = - 13 x2 +13x + = 0. x = - 13  137 x Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = - 13  137 0,5 0,5 0,5 (2,0 đ) Hệ phương trình:  x  y  3( x  y ) ( x  y )( x  xy  y  3)     x  y  1  x  y  1 Hệ tương đương với tuyển hai hệ phương trình sau: 0,5  x  xy  y   x  y  (I)   (II)   x  y  1  x  y  1 2 0,5 * Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = (  ; ) 0,25 * Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu hệ (II) ta x2 +x -2 = Phương trình có hai nghiệm: x = -1 x = - Từ ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1) 0,5 1 Kết luận: Hệ cho có nghiêm (x;y) l à: (  ; ); (1; - 2); (2; -1) 2 Câu 1(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 4,0 điểm => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 x  Z => x  {-1; -2; 1; 0; 1; 2} Xét trường hợp: + x = => (y - x3)2= => y = + x = => (y - x3)2= 63 => y Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = => (y - x3)2= => y = y = - + x = - => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = -2 => (y - x3)2= =>y = - Vậy nghiệm phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8) 2(2,0đ) Ta có ∆AMB ∆ANC vng cân nên MA = MB NA = NC Nên BM + CN = AM + AN Giả sử: AB ≥AC DC AC  1 DB AB DN DC   => DN ≤ DM ∆CDN ∆BDM nên DM DB 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,5 0,5 Theo tính chất phan giác ta có Câu 5,0điểm Nếu I trung điểm củaMN AD≤ AI AM+AN= 2AI Khi 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm) 1(1,0đ) 0,5 0,5 Đặt ACP = a => ACN = 900 - a MCN = ACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = LAM 2(2,0đ) Do ∆ABC vuông A mà AM trung tuyến nên AM = CM AL = CN (gt) MCN = LAM (c/m trên) Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN AML = CMN =>LMN = 900 - AML + CMN = 900 Vậy tam giác ∆LMN vuông cân M (2,0đ) Do ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên: S∆LMN = MN2 S∆ABC = AC2 AC Gọi Q trung điểm AC QM = QN = AC = MN 0,5 0,5 1,0 1,0 S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ suy MN = => QMN = 600 QNA = 600 - 450 = 15 Mặt khác AQ = NQ nên CAP = QNA = 150 Câu a b (a  b)  2ab 12 Ta có:   a b  2,0 điểm a b a b a b 2 1,0 1,0 Áp dụng bất đảng thức Côsi : a  b  12 12  a  b 4 a b a b 1,0 1,0 ...  1)  1 a 2(2,0 đ) Khi a = 2010 -2 20 09 = ( 20 09 -1)2 Thì A = + ( 20 09  1)  20 09 1,0 1,0 1,0 Câu (2,0đ) Ta có 4,0 điểm (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 (x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2 + x...KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS PHỊNG GD&ĐT Hướng dẫn chấm mơn tốn Nội dung Câu Câu 1 (3,0đ) 5,0 điểm Với điều... + Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được: x x (1) ( x   6)( x   9) = 28 Đặt t = x  0,5 x (1) trở thành (t+6)(t +9) = 28 t2 + 15t + 26 = t  2  t  13 Với t = -2 ta có x  = -