ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (6 điểm) a) Giải phương trình: 2017 2017 x 2016 2018x 2017 2018 b) Rút gọn biểu thức: A 3 2 3 3 2 3 x3 x y c) Giải hệ phương trình: 2 y 3xy Câu 2: (4 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 28 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 5a 5b 2c 12 a 28 12 b2 28 c 28 Câu 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O; R Giả sử điểm B, C cố định A di động đường tròn O cho AB AC AC BC Đường trung thực đoạn thẳng AB cắt AC BC P Q Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N a) Chứng minh rằng: OM ON R2 b) Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường tròn c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN CPQ cắt S T Chứng minh ba điểm S , T , O thẳng hàng Câu 4: (4 điểm) a) Tìm số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 16 x3 y3 15xy 371 b) Giả sử Trung tâm thành phố Bến Tre có tất 2019 bóng đèn chiếu sáng thị, bao gồm 671 bóng đèn ánh sáng trắng, 673 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 675 bóng đèn ánh sáng vàng sậm Người ta thực dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại thay vào hai bóng đèn thuộc loại lại Hỏi theo quy trình trên, đến lúc đó, người ta nhận tất bóng đèn thuộc loại khơng? Giải thích sao? LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE – TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: (6 điểm) a) Giải phương trình: 2017 2017 x 2016 2018x 2017 2018 b) Rút gọn biểu thức: A 3 2 3 3 2 3 x3 x y c) Giải hệ phương trình: 2 y 3xy Lời giải 2017 2018 2017 x 2016 2017 Xét x 1 2017 2017 x 2016 2018 2017 2018 2018 2018 x 2017 a) ĐKXĐ: x 2017 x 2016 2017 2017 x 2016 2018 x 2017 2018 2018 x 2017 Xét x Xét x thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x b) Ta có: A A c) 1 5 3 2 3 3 4 62 1 5 3 2 3 3 4 62 4 1 1 4 1 1 2 1 1 5 x3 x y x3 x y 5 x3 30 x y 35 x3 30 x y 14 y 21xy 2 2 y 3xy 2 y 3xy 14 y 21xy 35 5x3 5x y 35x y 35x y 14 xy 14 y x y 5x 35xy 14 y Xét x y x y thay vào phương trình x3 x2 y ta x3 x y Xét 5x2 35xy 14 y Đặt y xt , ta có: 5x 35x 2t 14 x 2t x 14t 35t 5 Vì x khơng phải nghiệm nên 14t 35t t Với t x3 35 105 35 105 y x thay vào phương trình x x y ta 28 28 98 98 35 105 98 x 3 y 28 91 105 91 105 91 105 Với t x3 35 105 35 105 y x thay vào phương trình x x y ta 28 28 98 98 35 105 98 x 3 y 28 91 105 91 105 91 105 Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1;1 , 98 35 105 98 ; 28 91 105 91 105 Câu 2: 35 105 28 98 35 105 98 ; 28 91 105 91 105 , (4 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 28 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 5a 5b 2c 12 a 28 12 b2 28 c 28 Lời giải Ta có: 12 a 28 12 a ab bc ca a b a c Áp dụng BĐT CauChy a b a c 12 a 28 4a 3b c 1 Tương tự c 28 ab c a b a c 4a 3b c 12 b2 28 4b 3a c 3 Cộng theo vế 1 , 3 được: 12 a 28 12 b2 28 c 28 Do đó: P 5a 5b 2c 15a 15b 6c 15a 15b 6c Vậy GTNN P Câu 3: 28 28 Đạt a b , c5 11 11 (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O; R Giả sử điểm B, C cố định A di động đường tròn O cho AB AC AC BC Đường trung trực đoạn thẳng AB cắt AC BC P Q Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N a) Chứng minh rằng: OM ON R2 b) Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường tròn c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN CPQ cắt S T Chứng minh ba điểm S , T , O thẳng hàng Lời giải a) A O C B N Q P M Xét OBM ONB , ta có: BOM : chung Ta có OMB 90 A Và OBN 180 BOC 90 A Nên OMB OBN Vậy OBM # ONB (g.g) OM OB OB ON ON OM OB2 R2 OM ON R2 b) A O C B N Q P M Chứng minh tương tự câu a, ta có: OP.OQ R2 ON OM OP.OQ OP OM , có MOP chung ON OQ Vậy OPM # ONQ (c.g.c) ONQ OPM Suy tứ giác MNQP nội tiếp hay bốn điểm M , N , P, Q nằm đường tròn c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN CPQ cắt S T Chứng minh ba điểm S , T , O thẳng hàng Ta chứng minh O thuộc đường thẳng ST Thật vậy, giả sử OS cắt hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN CPQ T1 T2 Xét ONS OT1M MOT1 : chung OT1M ONS ( MNST1 nội tiếp) Vậy ONS # OT1M (g.g) ON OS OT1 OM ON OM OS.OT1 1 Chứng minh tương tự, OP.OQ OS.OT2 Mà ON.OM OP.OQ 3 Từ 1 , 3 , suy ra: OS.OT1 OS.OT2 Do T1 trùng với T2 Vậy ba điểm S , T , O thẳng hàng Câu 4: (4 điểm) a) Tìm số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 16 x3 y3 15xy 371 b) Giả sử Trung tâm thành phố Bến Tre có tất 2019 bóng đèn chiếu sáng thị, bao gồm 671 bóng đèn ánh sáng trắng, 673 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 675 bóng đèn ánh sáng vàng sậm Người ta thực dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại thay vào hai bóng đèn thuộc loại lại Hỏi theo quy trình trên, đến lúc đó, người ta nhận tất bóng đèn thuộc loại khơng? Giải thích sao? Lời giải a) Vì x, y nguyên dương nên 16 x3 y3 15xy 371 x y Ta lại có 15xy 16 x3 y3 371 số lẻ nên x, y lẻ suy y 1; x y x Xét x y y thay vào phương trình thỏa mãn Xét x ta có x y , suy 16 x3 y3 16 x3 x 16 x 12 x 8 Mặt khác 15xy 371 15x x 2 371 15x2 30 x 371 Ta chứng minh 16 x 12 x 8 15x 30 x 371 Thật vậy, 16 x2 12 x 8 15x2 30 x 371 81x2 162 x 243 x2 x x 1 x 3 với x Suy 16 x3 y3 15xy 371 với x Vậy phương trình có nghiệm x; y 3;1 b) Ta có 671 chia cho dư ; 673 chia cho dư ; 675 chia cho dư Ta thấy loại bóng đèn có số bóng chia cho số dư khác , 1, Sau bước thay bóng đèn, số bóng đèn loại giảm tăng thêm , số dư chúng chia cho thay đổi sau: - Số chia cho dư sau thay chia cho dư - Số chia cho dư sau thay chia cho dư - Số chia cho dư sau thay chia cho dư Do sau bước thay bóng số bóng đèn loại chia cho có số dư khác , , Vì ln ln có loại bóng đèn có số lượng bóng chia hết cho Giả sử đến lúc tất bóng đèn loại, số bóng đèn loại chia hết cho (mâu thuẫn) Vậy khơng thể thay bóng theo quy trình để tất bóng đèn loại ... giải 2017 2018 2017 x 2016 2017 Xét x 1 2017 2017 x 2016 2018 2017 2018 2018 2018 x 2017 a) ĐKXĐ: x 2017 x 2016 2017 2017 x 2016 2018 x 2017 2018 2018. ..LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BẾN TRE – TỈNH BẾN TRE NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: (6 điểm) a) Giải phương trình: 2017 2017 x 2016 2018x 2017 2018 b) Rút gọn biểu thức:... 3 y 28 91 105 91 105 91 105 Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1;1 , 98 35 105 98 ; 28 91 105 91 105 Câu 2: 35 105 28 98 35 105 98 ; 28 91 105 91 105